葛長(zhǎng)嶺 朱記松

平行四邊形（含特殊平行四邊形）是幾何圖形的重要組成部分，也是中考的必考內(nèi)容之一，幾何中的許多問(wèn)題，若轉(zhuǎn)化為平行四邊形（含特殊平行四邊形）問(wèn)題，借助平行四邊形（含特殊平行四邊形）的邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)解決，則可以化難為易，事半功倍.這一“轉(zhuǎn)化”過(guò)程，通常是通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，來(lái)構(gòu)造平行四邊形（含特殊平行四邊形）.

一構(gòu)造一般平行四邊形

例1圖1中的①②③分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線（箭頭表示行進(jìn)的方向）.其中，H為AB的中點(diǎn)，AE>EB.三人行進(jìn)路線長(zhǎng)度的大小關(guān)系為（

）.

A.甲<乙<丙

B.丙<乙<甲

C.乙<丙<甲

D.甲=乙=丙

解析：對(duì)于②，延長(zhǎng)AG，BK交于點(diǎn)N，得□GEKN，如圖2.AG+GE+EK+KB=AG+GN+NK+KB=AN+NB.

同理，對(duì)于③，AD+DH+HF+FB=AD+DM+MF+FB=AM+MB，如圖3.由“角邊角”可以判定△ABC≌△ABN≌△ABM.所以有AC=AN=AM，CB=NB=MB.故甲、乙、丙三人行走路線的長(zhǎng)度相等，選D.

二構(gòu)造菱形

例2如圖4，AB=AC=BD，∠A=100°，∠/B=20°.求∠C的大小.

解析：以AC，AB為邊構(gòu)造□ABEC.如圖5.因AB=AC，故□ABEC是菱形.因∠A=100°，故∠ABE=∠ACE=80°.因∠B=20°.故∠EBD=80°-20°=60°.又AB=BD，AB=BE，則BD=BE，△BED是等邊三角形，∠BED=600.所以∠DEC=∠BEC-∠BED=100°-60°=40°.而CE=BE=DF，所以∠ECD=180°-40°/2=70°.所以∠ACD=80°-70°=10°.即為所求.

三構(gòu)造矩形

例3如圖6所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC.∠BCD=124°.∠DEF=80°.求∠AFE的度數(shù).

解析：構(gòu)造如圖7所示的矩形GHMN.∠BCD=124°.可求得∠1=56°.∠G=∠H=90°.∠1+∠GBC=90°.AB⊥BC， ∠ABC=90°.因∠2+∠GBC=90°，故∠1=∠2.∠CDE=∠BAF=∠2+∠H=146°.因六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為720°，∠DEF=80°，所以∠AFE=134°.

點(diǎn)撥：要求∠AFE的度數(shù)，關(guān)鍵是求∠CDE，∠BAF的度數(shù).由CD∥AF，AB⊥BC，聯(lián)想到“一線三直角”模型，通過(guò)構(gòu)造矩形，將六邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形中的矩形問(wèn)題.事實(shí)上，若注意到CD//AF，∠CDE=∠BAF，通過(guò)延長(zhǎng)AB，DC及AF，DE，構(gòu)造平行四邊形，同樣可以使問(wèn)題解決.