朱勝強(qiáng)

(南京外國語學(xué)校 210008)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》)將數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動作為課程內(nèi)容的四條主線之一，貫穿于必修、選擇性必修和選修課程之中.與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》)的要求相比，數(shù)學(xué)探究活動在課程中的重要性又有了新的提升，相應(yīng)地對教師的要求也定會更高.課題的選擇是有效開展探究活動的關(guān)鍵，而如何獲得適合學(xué)生探究的課題也是教師的困擾所在.

與《標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》配套的教材中都設(shè)計了一定數(shù)量的探究問題或背景材料，這是開展探究活動的重要參考.在具體的教學(xué)實踐中，教學(xué)活動往往受諸多因素影響，因此課本配備的探究資源未必總能很好地契合教學(xué)需求，這勢必影響探究活動的實效.面對這一問題，筆者嘗試了對問題進(jìn)行再設(shè)計，靈活運(yùn)用課本探究資源，使之能更好地服務(wù)于數(shù)學(xué)探究活動.下面談一點做法體會，供大家參考.

1 課本探究素材簡析

如圖1(1)，一個四面體木塊ABCD，在△ABC的面內(nèi)有一點P，要經(jīng)過點P在平面ABC內(nèi)畫一條直線l，使l⊥AD，怎樣畫？寫出作法，并給予證明.

該問題背景比較直觀，易與學(xué)生生活實際建立起聯(lián)系.學(xué)生童年時期一般都有玩積木的體驗，立幾模型與直觀圖相比，更容易引發(fā)學(xué)生對空間幾何關(guān)系的感知與想象.因而，學(xué)生對這樣的問題比較感興趣，愿意自覺地用所學(xué)立體幾何知識進(jìn)行思考.但問題涉及的立體幾何知識較為基礎(chǔ)，且應(yīng)用方式不很復(fù)雜，因此，對于生源質(zhì)量良好的學(xué)校學(xué)生來說，探究的難度不會很大.

圖1

下面是配套的教學(xué)參考書提供的解答：

如圖1(1)，在AD上任取異于A，D的一點Q，過點Q分別在平面ACD和平面ABD內(nèi)作QE⊥AD，QF⊥AD，并分別交AC，AB于E，F(xiàn)兩點.連結(jié)EF，過點P在平面ABC內(nèi)作直線l，使l∥EF，則l即為所求直線.

已有的教學(xué)實踐表明，學(xué)生想到的方案與上述答案大體相仿.由于問題的探究過程沒遇太多曲折，所以探索后學(xué)生總覺得該問題作為“探究拓展”題少了點探究的味道.

教材的編寫須顧及使用者的整體情況，所以不能苛求教材設(shè)計總能適合任一群體的學(xué)生.作為教學(xué)活動主導(dǎo)者的教師在如何用好教材上則應(yīng)發(fā)揮自己的作用.

2 對課本問題的再設(shè)計

為使課本探究資源能更好地符合教學(xué)需求，可考慮對相關(guān)問題進(jìn)行再設(shè)計.如何再設(shè)計呢?《標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀》關(guān)于數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究選題的幾個注意點值得參考:

(1)有研究價值和現(xiàn)實可行性.考慮到學(xué)生年齡特征、知識水平和實際能力；

(2)盡可能結(jié)合學(xué)生的生活實際和學(xué)生們關(guān)注興趣點；

(3)求解過程有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)，有利于綜合利用所學(xué)知識，有利于學(xué)生個性和不同特長的發(fā)揮，有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和創(chuàng)新意識；

(4)可以給學(xué)生一個學(xué)習(xí)和體驗“做研究”的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

因此，本題的再設(shè)計應(yīng)保留能引發(fā)學(xué)生興趣的因素；考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的現(xiàn)狀，及讓學(xué)生有機(jī)會綜合運(yùn)用立幾知識，可讓問題在原有基礎(chǔ)上增加一定的難度；為讓不同層次的學(xué)生都能有所收獲，可讓問題有一定的梯度；為讓學(xué)生獲得較完整的探究體驗，可增加動手操作的環(huán)節(jié).

為此，再設(shè)計后的問題仍以“在四面體模型指定面中畫某棱垂線”的形式出現(xiàn)；針對圖1(1)所示四面體ABCD中，∠BAD與∠CAD是否為銳角，將問題分為不同的類別，既提高挑戰(zhàn)性，又凸顯層次差異；考慮到活動過程的完整性，設(shè)計了模型制作環(huán)節(jié).再設(shè)計后的問題如下：

分別制作如下三類不同的四面體模型ABCD.又P為面ABC內(nèi)的一點P，試經(jīng)過點P在面ABC內(nèi)畫一條直線l，使l⊥AD，怎樣畫？寫出作法，并給予證明.

第一類:∠BAD與∠CAD均為銳角;

第二類:∠BAD與∠CAD均為鈍角;

第三類:∠BAD與∠CAD中一個是銳角,另一個是鈍角.

為盡可能保證探究效果，還給出了探究的一些建議與要求：可按自愿的原則組成活動小組，每組都需針對三類不同的模型進(jìn)行制作與作圖研究；四面體模型可用硬紙板、橡皮泥或泡沫塑料制作，但不宜用鐵絲等制成四面體的框架；在模型上作圖時，僅限用尺規(guī)法，不得借助其它的測量儀器與工具.

3 探究成果展示

經(jīng)過一段時間的自主探究后，探究活動順利結(jié)束.教師組織學(xué)生以適當(dāng)?shù)男问竭M(jìn)行成果展示，并進(jìn)行評價.下面?zhèn)戎亟榻B學(xué)生獲得的主要探究成果.

3.1 第一類模型的新作法

對于第一類四面體模型，學(xué)生想到的除了與教學(xué)參考書相同的方法外，還有學(xué)生想到了依據(jù)三垂線定理來作圖.其思路是這樣:先作出AD在面ABC內(nèi)的射影，然后過點P在面ABC內(nèi)作射影的垂線.

對于第一類四面體，如何作得AD在平面ABC內(nèi)的射影呢?

因為∠BAD與∠CAD均為銳角，所以，在棱AD上取異于A，D的一點Q，過點Q分別在面ACD和平面ABD內(nèi)，作QE⊥AC，QF⊥AB，并分別交AC，AB于E，F(xiàn)兩點.

在面ABC內(nèi)，作EG⊥AC，F(xiàn)G⊥AB.

易知，AC⊥平面QEG，所以，平面QEG⊥平面ABC；

同理可知，平面QFG⊥平面ABC. 注意到，平面QEG∩平面QFG=QG.所以，AC⊥QG，AB⊥QG，所以,QG⊥平面ABC.

因此，G是Q在平面ABC內(nèi)的射影，即AG是AD在平面ABC內(nèi)的射影(如圖2). 這樣,只要過點P作直線AG的垂線，便得所求直線l.

圖2

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下命題：

已知平面α，β，γ，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，則l⊥γ.

3.2 第二類模型的探究

對于第二類模型，因為∠BAD與∠CAD均為鈍角，若在棱AD上任取異于A，D的一點Q，過Q在平面ABD內(nèi)作AD的垂線，應(yīng)與棱BD相交，記交點為F；同理，過Q在平面ACD內(nèi)作AD的垂線，應(yīng)與棱CD相交，記交點為E.由于E，F(xiàn)兩點不在AC與AD上，所以教學(xué)參考書提供的方法不再適用(如圖3).

圖3

如果過Q點在平面ACD內(nèi)作AC的垂線，因為∠CAD是鈍角，所以垂足在CA的延長線上.因此，試圖作出AD在平面ABC內(nèi)射影的方法似乎也行不通了，只得另尋他法.

圖3中由QE，QF兩條相交直線確定的平面是與AD垂直的平面，平面QEF內(nèi)任一條直線都與AD垂直.如果將平面QEF平移至與平面ABC相交，則交線必與AD垂直.

為此，在AC上取一點G，過G在平面ACD內(nèi)作QE的平行線交CD于H.過H在平面BCD內(nèi)作EF的平行線.

若平行線與BD相交，記交點為K，過K在平面ABD內(nèi)作QF的平行線交AB于L.連結(jié)LG,則LG便是平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線(如圖4(1)).

若平行線與BC相交，記交點為K，連結(jié)KG，則KG便是平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線(如圖4(2)).

圖4

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下立幾命題：

如圖5，已知平面α∥β，A∈α，A∈a，b?β，a∥b，則a?α.

真的無法作出AD在面ABC內(nèi)的射影嗎？有人做出了成功的嘗試.

圖5

為直觀起見，這里將圖4中的幾何體的面ABC朝下放置(如圖6).在AD上適當(dāng)位置取一點Q，過Q在平面ACD內(nèi)作AC的平行線交CD于E；在平面ABD內(nèi)，過Q作AB的平行線交BD于F.其中∠AQE與∠AQF均為銳角.

圖6

過A作QE的垂線，交QE于G；過A作QF的垂線，交QF于H.過G作AD平行線交AC于K，過H作AD平行線交AB于L.在平面ABC內(nèi)，作KM⊥AC，作LM⊥AB，則AM便是直線AD在平面ABC內(nèi)的射影.

事實上，在圖6中有一個以AKML為底面，以AQ為側(cè)棱的四棱柱.不妨假設(shè)平面QGH內(nèi)，過G垂直于QG的直線與過H垂直于QH的直線的交點為N，該四棱柱便是四棱柱AKML-QGNH(如圖7).

圖7

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下立幾命題：

在四棱柱AKML-QGNH中，已知AG⊥QG，AH⊥QH，KM⊥AK，LM⊥AL，則平面AQMN⊥平面AKML.

3.3 第三類模型的探究

此類四面體模型中，∠BAD與∠CAD一個為銳角，一個為鈍角，不妨設(shè)∠CAD為銳角，∠BAD為鈍角.此時，若在棱AD上任取異于A，D的一點Q,在面ABD內(nèi)，過Q作AD的垂線，則必與棱BD交于點F.在面ACD內(nèi)，過Q作AD的垂線，則垂線可能與棱CD相交，也可能與棱AC相交.

若所作垂線與棱CD相交，便可得到過Q與AD垂直的截面.此時，仿照第二類四面體解決問題的辦法，平移AD的垂面便可解決問題.

若所作垂線與棱AC相交，記交點為E. 則平面QEF與平面ABC的交線便是平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線.

如果作圖不局限于模型表面，還是有辦法的.許多立體幾何教材中都有類似于這樣的命題：

三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.

依據(jù)給定公理不難證得此命題.該命題可用來確定交線.

考慮三個兩兩相交的平面，即平面ABC，平面ABD，平面QEF.其中平面ABC∩平面ABD=BA，平面ABD∩平面EFQ=FQ.E是平面ABC與平面QEF的一個公共點(如圖8).

圖8

若FQ與AB相交，記交點為T，則平面ABC∩平面QEF=ET.

設(shè)ET與BC的交點為G，則平面EFQ∩平面ABC=EG.

若FQ∥AB，這時平面EFQ與平面ABC的交線也必與AB平行.因此，過E作AB的平行線，可得平面EFQ與面ABC的交線.

當(dāng)然，這種作法不是最終解決問題的方法.應(yīng)考慮到在四面體模型上作圖的局限性，是否可以對這種作法進(jìn)行改進(jìn)呢？

考慮以B為放縮中心，將四面體ABCD適當(dāng)縮小，縮小到圖8中所畫的這些線都可以在模型表面作出.下面僅以FQ與AB相交為例加以說明.

連結(jié)BE交A1C1于點E1，連結(jié)AE1并延長交BC于G(如圖9).

圖9

易知平面AF1G∥平面QEF.所以AG⊥AD，因此AG即為平面ABC內(nèi)與AD垂直的直線.

這一作法本質(zhì)上是通過放縮變換平移平面QEF，得到AD的垂面與平面ABC的交線.

上述探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出如下命題：

已知三棱錐S-ABC，A′，B′，C′是側(cè)棱SA，SB，SC上的點.若SA′∶SA=SB′∶SB=SC′∶SC，則平面ABC∥平面A′B′C′(如圖10).

圖10

4 探究問題再設(shè)計后的思考

《標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》指出，數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究學(xué)習(xí)的過程.因此，數(shù)學(xué)探究是以一類問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動.所以活動組織和設(shè)計的核心是“問題”或“問題串”.尋找好的問題、把求解問題的過程設(shè)計成學(xué)生便于理解、參與的形式，自然成為數(shù)學(xué)探究設(shè)計的首要工作.

作為探究載體的“問題”來源可能多樣，但教材、教學(xué)參考書等現(xiàn)有的與日常教學(xué)相伴的資源卻是不應(yīng)忽視的.這就要求教師在教學(xué)中要有“問題”意識，合理用好問題資源.通過自己的再度加工，將課本的探究資源設(shè)計成學(xué)生感興趣，與能力水平相適應(yīng)，能夠獲得豐富體驗的“好問題”.事實上，這些取自于日常教學(xué)的問題資源，更有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與度，更能提升探究活動的實效.

多數(shù)情況下信手得來的“問題”并非最理想的探究素材，需要教師根據(jù)實際情況進(jìn)行雕琢.但這項工作與教學(xué)例題或考試試題的設(shè)計又不同，要考慮學(xué)生自主探索的可行性與探索之后可能的收獲，這對教師自然是一種考驗.一個理想的探究“問題”也不是僅憑教師頭腦中的想像就自然形成的，往往還需經(jīng)教學(xué)實踐的反復(fù)檢驗.所以，教師要更好地適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，就應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)探究課題的創(chuàng)造者，有比較開闊的數(shù)學(xué)視野，了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有關(guān)的擴(kuò)展知識和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想，認(rèn)真思考其中一些問題，加深對數(shù)學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)能力，為指導(dǎo)學(xué)生一進(jìn)行數(shù)學(xué)探究做好充分準(zhǔn)備，并在教學(xué)實踐中不斷積累指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的資源.這樣，開展數(shù)學(xué)探究活動時其效果便有了基本保障.