章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在“預備知識”中學習的集合語言、常用邏輯用語和不等式的相關(guān)知識及由內(nèi)容所反映的數(shù)學思想和方法，為函數(shù)的一般概念和性質(zhì)的學習做好了比較充分的認知準備.根據(jù)課程標準的安排，接下來的內(nèi)容是必修課程的“主題二 函數(shù)”，內(nèi)容包括：函數(shù)概念與性質(zhì)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，函數(shù)應用.正如課程標準指出的，函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線.所以，本主題在高中數(shù)學課程中的重中之重.

整體上，高中階段函數(shù)主線的基本架構(gòu)是：

函數(shù)的概念與性質(zhì)——基本初等函數(shù)——函數(shù)的應用——離散函數(shù)(數(shù)列)——導數(shù)及其應用.

下面按上述基本線索展開討論，首先討論函數(shù)的概念和性質(zhì).

1 課程定位

課程標準規(guī)定的本單元核心任務(wù)是：幫助學生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學語言和工具，也把函數(shù)理解為實數(shù)集合之間的對應關(guān)系；能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)；在現(xiàn)實問題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問題.內(nèi)容包括：函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的形成與發(fā)展.

分析課程標準的這一表述，需要注意如下幾點：

第一，“完整的函數(shù)概念”包括“變量說”和“對應關(guān)系說”.可以認為，這是認識函數(shù)概念的兩個角度，但更重要的是兩個抽象層次.“變量說”比較形象、直觀，與“變化過程”聯(lián)系緊密；“對應關(guān)系說”進一步舍棄了運動變化背景，抽象為兩個實數(shù)集元素之間的對應關(guān)系，這樣就不僅可以研究一類函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)之間的關(guān)系(例如y=kx+b中，k，b取不同的值對函數(shù)圖象、變化快慢的影響等)，還可以研究不同函數(shù)類的關(guān)系，對不同函數(shù)類進行運算等，從而極大地拓展了函數(shù)的研究視野，函數(shù)的應用范圍也得到擴展.

第二，函數(shù)性質(zhì)的研究方法，強調(diào)代數(shù)運算和函數(shù)圖象的綜合運用，也就是要進一步加強數(shù)形結(jié)合的方法.實際上，初中主要是通過圖象直觀給出函數(shù)性質(zhì)的定性描述，顯然這是比較“粗糙”的.高中階段應該在圖象直觀的基礎(chǔ)上加強代數(shù)運算的方法，由此得到函數(shù)性質(zhì)的定量刻畫.進一步地，還要在選擇性必修課程中利用導數(shù)進行研究，實現(xiàn)對函數(shù)性質(zhì)的精確刻畫.

第三，本單元的學習路徑是：函數(shù)的概念→函數(shù)的性質(zhì)→函數(shù)的應用.另外，“函數(shù)的形成與發(fā)展”是從數(shù)學史和數(shù)學文化的角度提出學習任務(wù)，借此使學生感悟數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，了解函數(shù)在人類生活、科學技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，以及與函數(shù)相關(guān)的人文活動.

2 課程標準提出的內(nèi)容和要求

2.1 函數(shù)的概念

(1)在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.

(2)在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

(3)通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.

2.2 函數(shù)性質(zhì)

(1)借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.

(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.

(3)結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.

2.3 函數(shù)概念的形成與發(fā)展

收集函數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫論文，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻.

上述內(nèi)容和要求，體現(xiàn)了數(shù)學概念抽象的層次性，與學生的認知水平相適應.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的一條主線，所以本單元在高中數(shù)學中有奠基地位.定義抽象、符號抽象、具體函數(shù)類型多且復雜(連續(xù)的、離散的)、相關(guān)知識的聯(lián)系性增強、用更多的工具(代數(shù)運算、幾何直觀、導數(shù))討論函數(shù)性質(zhì)等是高中函數(shù)學習的特點.引入具有一般性的抽象符號f(x)，使學生能通過建立模型刻畫現(xiàn)實問題的數(shù)量關(guān)系，并通過討論函數(shù)的性質(zhì)而認識、把握和解釋它的變化規(guī)律，這是學習函數(shù)的重要意義所在.本單元有利于學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模等素養(yǎng)的發(fā)展.

3 核心內(nèi)容的理解與教學思考

本單元要在初中的基礎(chǔ)上，引導學生利用“變量說”對典型事例進行分析，體悟引入“對應關(guān)系說”的必要性，并通過對具體實例共性的歸納，抽象概括出函數(shù)概念；引導學生體會不同表示法的特點，能根據(jù)問題的特點選擇合適的表示法表示函數(shù)；讓學生學會用嚴謹?shù)姆栒Z言刻畫函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的方法，并能用函數(shù)的概念與性質(zhì)解決簡單的問題.

3.1 本章學習的認知基礎(chǔ)在哪里

(1)在初中學習的基礎(chǔ)上展開新內(nèi)容.初中階段，學生已經(jīng)歷了“函數(shù)的一般概念——一次函數(shù)——二次函數(shù)——反比例函數(shù)”的學習過程.其中，函數(shù)的概念如下：

在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值.

(2)利用學生熟悉的現(xiàn)實問題引入新內(nèi)容.現(xiàn)實中存在著大量蘊含函數(shù)關(guān)系的事例，它們都是有利于學生理解函數(shù)概念的素材.利用好這些素材，不僅可以使學生領(lǐng)悟函數(shù)概念的內(nèi)涵，而且可以提高學習興趣.教學中需要認真思考的是如何選擇實例才能更有利于學生展開概念的抽象活動.一般而言，典型、簡單、豐富是基本指標，人教A版中的4個實例就是從這幾個角度考慮的.“典型”實例的本質(zhì)特征突出，有利于學生觀察與發(fā)現(xiàn)，教學中可以適當采用強化的辦法突出有關(guān)特征；“簡單”是為了避免因為背景的復雜化而導致理解困難，以利于學生把注意力集中到關(guān)鍵特征上；“豐富”的實例應該涵蓋各種變式，以利于學生在非本質(zhì)屬性的變化中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)屬性.

3.2 如何設(shè)計函數(shù)概念的抽象概括活動

我們知道，概念形成和概念同化是學生獲得概念的兩種基本方式.學生在初中完整地學習了“變量說”，函數(shù)的本質(zhì)特征是對應關(guān)系，具體實例中的對應關(guān)系一般都可以用這一“話語體系”進行刻畫.“對應關(guān)系說”是刻畫對應關(guān)系的另一套“話語體系”，用集合語言、對應關(guān)系并引入抽象符號表述函數(shù)概念是非常數(shù)學化的，要求學生自己想到如此刻畫函數(shù)本質(zhì)特征的方式難度較大.

課程標準指出，函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具.根據(jù)語言和工具的學習規(guī)律，從模仿、重復、記憶開始，在運用中加深理解，在理解的基礎(chǔ)上強化記憶，形成技能，然后逐步走向靈活運用.對于學生而言，他們不必自己創(chuàng)造這些語言和工具，只要能夠理解語言的涵義，領(lǐng)會定義的精神實質(zhì)，知道工具的特點和使用方法，能夠在遇到問題時用出來就可以了.當然，為了有利于理解，需要經(jīng)歷一定的過程，使學生體會語言和工具的構(gòu)成方式、使用方法等等.

根據(jù)以上分析，人教A版安排了如下概念學習活動：

第一步，用“變量說”分析問題(1)：

S=350t．

在確認S是t的函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出問題：

如果有人說：“根據(jù)對應關(guān)系y=300x，這趟列車加速到300 kmh后，運行1 h就前進了300km．”你認為這個說法正確嗎？

再分析、歸納出這一說法不正確的原因是“沒有關(guān)注到t的變化范圍”，然后給出實數(shù)集之間對應關(guān)系的表述：

列車行進的路程S與運行時間t的對應關(guān)系是

S=350t．

①

其中，t的變化范圍是數(shù)集A1={t|0≤t≤0.5}，S的變化范圍是數(shù)集B1={S|0≤S≤175}．對于數(shù)集A1中的任一時刻t，按照對應關(guān)系①，在數(shù)集B1中都有唯一確定的路程S和它對應．

第二步，給出變式問題(2)～(4)，其中問題(2)與問題(1)解析式相同但定義域不同(在分析過程中要求學生對兩者是否為同一個函數(shù)進行辨析)，問題(3)是北京市某天的空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖(只能用圖象表示)，問題(4)是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況表(沒有解析式)，讓學生模仿刻畫問題(1)的語言進行重復敘述，從中體會函數(shù)定義中的對應關(guān)系的本質(zhì)特征，以逐步熟悉這種“話語方式”.

第三步，提出問題：

上述實例(1)～實例(4)中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？

引導學生得出共同特征：

(1)都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；(2)都有一個對應關(guān)系；(3)盡管對應關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應.

接著指出：

事實上，除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對應關(guān)系的方法．為了表示方便，我們引進符號f統(tǒng)一表示對應關(guān)系．

第四步，給出“對應關(guān)系說”.

上述四個步驟，既使學生體會用“對應關(guān)系說”重新定義函數(shù)的必要性，又給出了用更高層次的數(shù)學語言抽象具體問題中對應關(guān)系的示范.然后，在變化的情境中引導學生用同樣的語言描述相應的變量關(guān)系和規(guī)律，認識函數(shù)的內(nèi)涵(主要是對應關(guān)系的特征)，從而形成歸納概括概念所需要的素材.在充分的具體事例鋪墊的基礎(chǔ)上，再給出形式化的函數(shù)定義.

順便提及，有人認為，“稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)”中的B本身就是一個抽象的集合，而且在函數(shù)的后續(xù)研究中，集合B再無用處，真正重要的是值域，所以這里的B應該統(tǒng)一規(guī)定為實數(shù)集R，即函數(shù)的定義可以改為：

設(shè)A是非空的數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f：A→R，都有唯一確定的實數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→R為一個函數(shù)，記作

y=f(x)，x∈A.

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

這樣定義確實簡單而且不失嚴謹，避免了無關(guān)因素的干擾，但有一點瑕疵是符號f：A→R重復出現(xiàn).如何改進函數(shù)的定義，廣大讀者可以展開討論.

3.3 如何引導學生辨析概念

根據(jù)認知心理學理論，概念辨析是獲得概念的必須步驟，其目的是通過具體實例進一步理解概念關(guān)鍵詞的涵義，明確區(qū)分類似概念，避免模棱兩可、似是而非，使新概念具有清晰性、可辨別性、可利用性.

實際上，在概念抽象環(huán)節(jié)，具體實例的選擇就要注意到有利于學生認識概念的本質(zhì)特征.例如，人教A版中的四個實例，涵蓋了最常見的函數(shù)表示類型，包括解析式、圖象和表格，連續(xù)的、離散的，值域C包含于集合B的等等，通過這些例子讓學生感受到函數(shù)的豐富性.在給出定義后，教材通過如下幾個方面引導學生進行辨析：

(1)用新知識解釋一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)定義(可以讓學生獨立完成)；

(2)回到實際去：構(gòu)建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10-x)的對應關(guān)系，這是從抽象到具體的過程(實踐表明，因為學生的現(xiàn)實經(jīng)驗不夠豐富，所以他們根據(jù)解析式構(gòu)建的實際問題情境較單一，教學時應鼓勵學生舉更多的例子)；

(3)對應關(guān)系的結(jié)果性.通過問題：

下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？

使學生理解，對于函數(shù)y=f(x)，x∈A和函數(shù)u=g(v)，v∈B，如果A=B且?a∈A，都有f(a) =g(a)，那么這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)，稱它們相等.

通過這個問題的辨析，可以讓學生進一步體會函數(shù)的本質(zhì)是兩個數(shù)集元素之間的對應關(guān)系，而用什么符號或形式表示是非本質(zhì)的.數(shù)學中，“相等”是非常重要的一種關(guān)系，兩個函數(shù)相等的充要條件是對應關(guān)系一致、定義域相同，這里“對應關(guān)系一致”的含義是“任意一個自變量所對應的函數(shù)值相等”.

函數(shù)概念的辨析要圍繞函數(shù)三要素這個整體，要聚焦在對應關(guān)系這個核心.

有人說，定義域相同對應關(guān)系不同的兩個函數(shù)也可以是相同的函數(shù)，例如：y=x+1，x∈{0，1}和y=x2+1，x∈{0，1}.你認為呢？

3.4 “函數(shù)的表示”有怎樣的教學價值

一般而言，給出數(shù)學對象的表示方法是定義數(shù)學概念的一部分，不需要專門討論，而且數(shù)學對象的不同表示法之間可以互相轉(zhuǎn)化.但對于函數(shù)概念，因為圖像法、列表法、解析法等不同表示法各有特點，而且有的函數(shù)只能采取某種表示法(這時不同表示法之間不能轉(zhuǎn)化)，因此在函數(shù)概念的學習中需要專門討論表示法，其重點是根據(jù)具體問題的需要選擇恰當?shù)谋硎痉?

更重要的是，“函數(shù)的表示”給學生提供了一個從兩個變量之間的依賴關(guān)系、兩個實數(shù)集之間的對應關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等多個角度認識函數(shù)概念的機會，有利于學生在數(shù)學表達與抽象定義之間建立聯(lián)系，全面理解y=f(x)中f的意義.所以，教學中應加強“什么例子有利于說明不同表示法特點”的思考，要通過不同表示法的分析與比較，讓學生體會它們各自的特點.

例如，人教A版中有這樣一個例子：

某種筆記本的單價是5元，買x(x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).

這個例題很簡單，但它具有如下功能：

(1)解析式、表格和圖象都是表示y=f(x)的方法，它們都給出了從A={1,2,3,4,5}到B={5,10,15,20,25}的對應關(guān)系f，即對于A中任意一個數(shù)，由解析式、表格或圖象都能確定B中唯一的數(shù)與之對應，而且這個數(shù)相等，即表示法不同但對應結(jié)果相同.

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大量學生認為圖象、表格表示的對應關(guān)系不是函數(shù)，本題的學習有利于消除這一理解偏差.

(2)不同的表示法有不同的特點，解析式是精確的，圖象是直觀的，表格是直接的.課程標準強調(diào)“理解用圖像表示函數(shù)的特點”，其意圖就是加強函數(shù)的直觀性，這在討論函數(shù)性質(zhì)時非常有效.

為了更好地分析和解決問題，有時需要進行不同表示法的轉(zhuǎn)化和綜合使用.例如，教材中有如下例題：

下表是某校高一(1)班三名同學在高一學年六次數(shù)學測試的成績及班級平均分表.

請你對這三位同學在高一學年的數(shù)學學習情況做一個分析.

這里，用表格給出了三名學生的成績和班級平均分，其實是四個函數(shù)，為了分析三名學生的學習情況，轉(zhuǎn)化為圖像表示更有利.

3.5 如何使學生掌握研究函數(shù)性質(zhì)的方法

建立客觀世界中運動變化現(xiàn)象的函數(shù)模型，目的是要用數(shù)學知識和方法分析函數(shù)模型的性態(tài)，由此發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律，進而精確地“預測未來”.高中階段學習的基本初等函數(shù)是現(xiàn)實世界中均勻變化、勻加速變化、指數(shù)增長、對數(shù)增長、周期性變化等最為基本而典型的運動變化現(xiàn)象的數(shù)學抽象，大量復雜的變化現(xiàn)象其實都是這些現(xiàn)象的復合與綜合，這些函數(shù)模型的性質(zhì)反映了現(xiàn)實世界中大量事物的變化規(guī)律，具有典型性、普遍性、一般性，所以探索和掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，無論對研究現(xiàn)實事物的變化規(guī)律還是對進一步研究更為復雜的函數(shù)等，都具有奠基性作用，是非常重要的.高中階段要研究的函數(shù)性質(zhì)有：單調(diào)性、最大(小)值、奇偶性、周期性、函數(shù)的零點、正增長或負增長、增長率或衰減率等.其中，單調(diào)性是最重要的性質(zhì).在進入基本初等函數(shù)研究之前，要讓學生了解函數(shù)性質(zhì)的大致研究架構(gòu)，要在用日常語言描述函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，學會用符號語言表達函數(shù)性質(zhì).

(1)關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和研究方法

這里首先要解決：為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)？什么叫“函數(shù)的性質(zhì)”？函數(shù)的性質(zhì)主要有哪些？如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)等問題.

教學時可以通過具體例子，向?qū)W生說明如下幾點：

①通過研究函數(shù)的變化規(guī)律可以把握客觀世界中事物的變化規(guī)律；

②函數(shù)的性質(zhì)，主要是函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律，“變化中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”，如隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減小(變化趨勢)，有沒有最大值或最小值(特殊意義的取值)，函數(shù)圖象有什么特征(主要是對稱性)，有沒有其他特殊取值(如函數(shù)零點)等；

x≠0，y≠0，說明圖象與坐標軸沒有交點；

xy=k>0，說明圖象在第一、三象限；

由k>0且為定值可知，當x>0時，隨著x增大，y減小，圖象會越來越貼近x軸但不會與x軸相交，……；

需要注意的是，學生(甚至有些教師)比較習慣于“觀察圖象，得出性質(zhì)”，所以教學中要有意識地滲透從代數(shù)角度研究函數(shù)性質(zhì)的方法.在積累了一定知識后，還要讓學生形成“由性質(zhì)畫圖象”的觀念(實際上，人教A版在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)以及后面的導數(shù)中都有這樣的要求).

(2)函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性是老師們特別關(guān)注的內(nèi)容，可以有不同的處理方法.一段時間以來，大家都采用“例-規(guī)”法教學，希望通過適當?shù)膯栴}引領(lǐng)，使學生自主發(fā)現(xiàn)單調(diào)性的刻畫方法，特別是試圖把“函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)”轉(zhuǎn)化為定量的不等式語言刻畫，以及為什么要“?x1，x2∈D”這兩個難點解決在給出判斷規(guī)則之前，但實踐表明，教學效果并不理想.究其原因，一是單調(diào)性判斷規(guī)則本身的抽象性；二是定量化方法的構(gòu)造性，學生在此之前沒有學過類似的方法，他們的認知準備不充分；第三，和“對應關(guān)系說”類似，這也是語言的學習，學生是否能自主探索出表達單調(diào)性的符號語言并不是重點，重要的是要讓學生學會符號語言的表達方式，理解如此表達是嚴謹?shù)?、簡潔?所以，人教A版采用了“規(guī)-例”法，具體步驟如下：

第一步，以f(x)=x2為載體，敘述用符號語言表達單調(diào)性的方法：

這里實際上是數(shù)學語言的轉(zhuǎn)換，從“從左到右下降”，到“x<0時，f(x)隨x的增大而減小”，再到“用符號語言表達”.其中，符號語言是嚴格的數(shù)學語言，也是難點，所以教科書采取了直接示范的方法.

第二步，通過用符號語言表達f(x)=x2，在(0，+)上單調(diào)遞增，以及“思考”欄目：

函數(shù)f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎樣的單調(diào)性？

使學生熟悉符號語言的表述方法(教學時要讓學生模仿第一步的敘述完整寫出單調(diào)遞增的符號語言表達)；

第三步，給出嚴格的數(shù)學表達，包括符號語言表達和圖示；

第四步，通過“思考”欄目：

設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1，x2∈A，當x1

引導學生進行辨析，從而理解規(guī)則中“?x1，x2∈D”的必要性.

函數(shù)單調(diào)性是數(shù)學的判斷規(guī)則，但它也有概念的屬性，所以上述內(nèi)容的處理，體現(xiàn)了概念同化與概念形成相融合的方式，并且加強了符號語言表達方式的引導.

(3)函數(shù)的奇偶性

單調(diào)性是函數(shù)的“局部性質(zhì)”，奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；單調(diào)性是針對所有函數(shù)來討論的，奇偶性是某些函數(shù)的特殊性質(zhì).

通過單調(diào)性的學習，學生已經(jīng)了解研究函數(shù)性質(zhì)的主要任務(wù)，即利用符號語言對函數(shù)的變化規(guī)律做出嚴謹表達，在此過程中理解它們的作用，能用于刻畫實際問題中的變化規(guī)律.單調(diào)性刻畫了在某一區(qū)間上，當自變量增大時函數(shù)值的變化趨勢；奇偶性則是刻畫了函數(shù)的對稱性，把圖象的對稱性(幾何特性)轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并用嚴格的符號語言表達，溝通了形與數(shù)，實現(xiàn)了從定性到定量的轉(zhuǎn)化.偶函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，而且對稱軸是固定的——y軸，偶函數(shù)的判斷規(guī)則就是利用y=f(x)表達“圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸”；類似的，奇函數(shù)的判斷規(guī)則就是利用y=f(x)表達“圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點”.如果知道一個函數(shù)具有奇偶性，那么就可以通過研究x>0(或x<0)的情況而得到整體的情況.

因為奇偶性的幾何特征和代數(shù)特征都比較明顯，學生比較容易從具體實例中進行歸納，所以教材按如下步驟展開內(nèi)容：

第一步，畫出函數(shù)f(x)=x2和g(x)=2-|x|的圖象，要求學生觀察圖象，并說出這兩個函數(shù)圖象的共同特征.

第二步，安排“探究”欄目

類比函數(shù)單調(diào)性，你能用符號語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這一特征嗎?

讓學生開展自主探究活動，通過從特殊到一般的方法歸納出：

?x∈R，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，這時稱函數(shù)f(x)=x2為偶函數(shù).

然后要求學生仿照已有過程，說明函數(shù)f(x)=2-|x|也是偶函數(shù).

第三步，用符號語言表示：

函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

順便說明，與以往偶函數(shù)的定義稍有不同，這個定義明確了偶函數(shù)定義域的特征.

第四步，重復偶函數(shù)的研究過程，得出奇函數(shù)的定義.

因為奇函數(shù)的定義與偶函數(shù)的定義完全同構(gòu)，所以教學時可以讓學生自己提出問題，展開模仿性探究并給出定義.

總之，函數(shù)的基本性質(zhì)的內(nèi)容處理，從認知理論看，既有同化也有順應，學生在教材的示范下進行模仿、歸納和抽象而形成性質(zhì)的判斷規(guī)則，并且安排了對關(guān)鍵詞的辨析和應用規(guī)則判斷函數(shù)性質(zhì)的練習，從而落實判斷函數(shù)性質(zhì)的操作步驟，由此為學生鋪設(shè)起合適的認知臺階，能使學生經(jīng)歷完整的學習過程，從而保證學生對函數(shù)性質(zhì)判斷規(guī)則的理解水平，并對“如何研究函數(shù)性質(zhì)”有所感悟.

3.6 關(guān)于函數(shù)概念的教學

函數(shù)概念，因為其高度的抽象性，面對的問題多樣而復雜，涉及到許多代數(shù)、幾何知識，而且要用數(shù)形結(jié)合的方法，因而使解決問題的思想方法具有很強的綜合性，另外，也是特別重要的，函數(shù)所描述的是客觀世界的變量關(guān)系和規(guī)律，所以需要學習者積累豐富的生活經(jīng)驗，對現(xiàn)實世界中相關(guān)的運動變化現(xiàn)象要有一定深度的了解，所有這些都是造成函數(shù)概念學習困難的因素.克服困難的方法是讓學生參與到概念的建構(gòu)過程中，要讓學生完整地經(jīng)歷“具體事例——觀察、實驗——比較、分析——分類、綜合——抽象、概括”的過程.

關(guān)于函數(shù)概念的教學已經(jīng)有大量討論，所以不做全面討論，這里只強調(diào)認真講好教材中四個實例的重要意義.具體的，應該以“對應關(guān)系說”為定向，通過邏輯連貫、前后一致的問題串引導學生體會概念的內(nèi)涵.

首先，問題1、2是有解析式的，要引導學生關(guān)注自變量的取值范圍.例如，根據(jù)問題1的背景，可以提出如下問題：

①時間t的變化范圍是什么？

②你能回答“加速到350 km/h后，火車運行1小時所對應的距離是多少”嗎？為什么？

③你認為如何描述才能反映列車的真實運動過程？

其次，問題3 “空氣質(zhì)量指數(shù)變化圖”，借助這個例子要使學生了解：第一，圖象給出了對應關(guān)系；第二，自變量的范圍A是精確的，A中任意一個數(shù)在B中都有唯一的數(shù)與之對應；第三，函數(shù)值所在的范圍B可以比較“寬松”，有的數(shù)可以沒有自變量與之對應；第四，為了方便表示，需要引入新的符號.所以可以提出如下問題：

①時間t在什么范圍？I是t的函數(shù)嗎？為什么？AQI的值I在什么范圍？

說明：時間t的范圍[0，24]是確定的；利用“變量說”可以解釋I是t的函數(shù)，因為“?t∈[0,24]，都有唯一確定的I值與之對應”是一個事實；困難在于I的范圍，學生可能會用測量的方法給出，這時教師可以追問：這樣得出的范圍能反映“?t∈[0,24]，都有唯一確定的I值與之對應”這個事實嗎？如何改進一下？通過討論，使學生體會讓集合B包含值域并不影響對應關(guān)系的本質(zhì)(這個過程有利于發(fā)展學生思維的抽象性).

順便指出，這里要下功夫讓學生理解“圖象就是對應關(guān)系”，這是促進學生理解函數(shù)概念的契機.所以，不能僅以“因為任意一個時間t都有唯一一個AQI的值與之對應”一語帶過，應讓學生說明：給定一個時間t，如何借助圖象找出與之對應的AQI的值.這里可以利用信息技術(shù)把對應過程表達出來.

②從所給的圖中能回答“11月24日8時對應的AQI是多少”嗎？

③這是一個函數(shù)，有解析式嗎？如果讓你表示出這個函數(shù)，你會怎么做？

因為所給的圖象只是11月23日的AQI變化情況，所以不能回答11月24日的情況；這是一個函數(shù)但沒有解析式，要對它作出表示，那么就非引入符號語言不可.

有了上述過程的詳細鋪墊，再讓學生歸納共同特征、抽象概念就相對容易了.這里要注意讓學生把4個對應關(guān)系放在一起以便于觀察得出共性(可以用表格呈現(xiàn))，特別是要讓學生用自己的語言說明這4個函數(shù)的對應關(guān)系的表示形式不同(解析式、圖、表)，但本質(zhì)一樣：對于集合A中任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一一個數(shù)與之對應；還要讓他們說明引入抽象的符號語言統(tǒng)一表達函數(shù)所帶來的好處.

3.7 如何研究函數(shù)

這個函數(shù)的教學主要應把握好如下幾點：

第一，內(nèi)容的定位上，要注意從聯(lián)系、結(jié)構(gòu)、整體等觀點出發(fā)，與初中正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和剛剛學習的冪函數(shù)聯(lián)系起來，以培養(yǎng)學生“利用已有知識解決新的問題”的思維習慣；同時，通過這個函數(shù)的研究，讓學生體會通過運算構(gòu)造新函數(shù)的方法.

第二，要在促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展上加強思考，可以通過適當?shù)慕虒W設(shè)計，在研究這個函數(shù)的性質(zhì)、圖象的過程中，發(fā)展直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模等素養(yǎng).

第三，要認真領(lǐng)會人教A版的設(shè)計意圖.實際上，教材是循著以下思路引導學生開展研究性學習的：

(1)面對一個對象，首先要明確需要研究的問題，所以提出問題“你認為可以從哪些方面研究這個函數(shù)？”

(2)研究一個函數(shù)是有基本套路的，這是培養(yǎng)學生“有邏輯地思考”的過程，所以提出問題“你認為可以按怎樣的路徑研究這個函數(shù)？”

圖1

4 小結(jié)

比較初高中的兩個函數(shù)定義，可以發(fā)現(xiàn)它們的本質(zhì)是一致的，都以“對應關(guān)系”為核心，但它們使用的語言有很大區(qū)別，高中利用集合語言、邏輯用語，引入抽象符號f：A→B，從而使函數(shù)概念的定義更加嚴謹，提高了抽象層次，使概念更具一般性.這樣的語言表達，學生在以往的學習中很少接觸到，也是學生學習的難點.因此，在函數(shù)概念的教學中，要充分注意“數(shù)學語言教學”的特征，引導學生通過具體實例，積累用集合與對應關(guān)系的語言表達數(shù)學規(guī)律的經(jīng)驗，體驗引入抽象符號的必要性，在此基礎(chǔ)上抽象出函數(shù)的定義，從而有效地化解難點，把精力集中到用數(shù)學的方式表達對應關(guān)系上.同理，函數(shù)的表示、函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容的學習都有數(shù)學語言學習的特征，讓學生掌握這樣的“話語方式”是主要任務(wù)，所以可以適當采用“模仿+練習”的方式，使學生在“用數(shù)學的語言表達世界”的過程中領(lǐng)悟函數(shù)概念的本質(zhì).