沈 丹, 彭 博, 李舟陽, 宮宇昆, 李平岐

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

隨著運載火箭研發(fā)模式的轉(zhuǎn)變，快速迭代和協(xié)同優(yōu)化設計成為主要發(fā)展方向。特別是在總體小回路論證時,涉及彈道、氣動和姿控等專業(yè)，需要從大量構(gòu)型中篩選可行方案，氣動計算對整個方案的設計有較大影響，為實現(xiàn)快速論證,需要氣動特性計算實現(xiàn)在線輸出數(shù)據(jù)。而當前運載火箭的氣動特性主要依靠風洞試驗和CFD仿真計算得到，需要耗費較多的資源和時間周期，無法滿足快速論證和優(yōu)化的需求，亟需研究一種快速計算運載火箭氣動特性的方法，這一過程對精度要求相對較低，但對速度要求相對較高。

在CFD方法出現(xiàn)之前，運載火箭的氣動設計主要依靠工程算法。然而，工程算法基于無黏、有勢、小擾動等假設，因此對使用范圍有嚴格的限制。一般不單獨使用某種公式來給出氣動特性數(shù)據(jù)，需要多種公式和修正手段復合求解，這些復合的方法打包形成軟件，例如著名的美國空軍DATCOM軟件包，在有翼導彈快速設計中發(fā)揮著重要作用。然而，DATCOM軟件中沒有適用于捆綁助推器的復雜外形經(jīng)驗算法[1-2]，因此無法引入到大型運載火箭的協(xié)同優(yōu)化當中。

求解線化位流PG方程的面元法，只需要對飛行器表面進行網(wǎng)格劃分，建模復雜度較小，由于面元法求解的是線性方程組，因此其計算速度很快。當前較成熟和通用的面元法代碼是NASA為波音公司開發(fā)的PANAIR[3]。但由于線化位勢方程框架本身的假設，它不可處理跨聲速情況，也不適合用于處理黏性效應和氣流分離顯著的情況，因此不適宜引入到大型運載火箭的協(xié)同優(yōu)化當中。

近年來，隨著多學科優(yōu)化( Multidisciplinary Design Optimization，MDO)和氣動外形優(yōu)化(Aerodynamic Shape Optimization,ASO)的發(fā)展，選擇近似的數(shù)學模型，將氣動特性對外形參數(shù)的響應看成黑箱問題，采用樣本結(jié)果對黑箱問題進行訓練和辨識，進行氣動特性分析的方法被廣泛采用，形成了多種類型的代理模型[4]。本文針對運載火箭外形變化的特點，對氣動參數(shù)擬合的代理模型進行研究。

1 代理模型構(gòu)建途徑

代理模型通過對若干采樣樣本(不同的火箭外形)氣動計算數(shù)據(jù)進行多次分析，得到對部分或全部設計空間的模擬，從而得到氣動隱式函數(shù)模型的顯式函數(shù)近似表達式，其流程如圖1所示，主要步驟為：

1) 確定設計變量x1,x2,…,xm，確定設計空間(設計變量的上下限)。對于運載火箭氣動計算，設計變量是標準火箭外形的一系列拓撲類型和尺寸參數(shù)，設計空間為總體設計對火箭外形的約束范圍；

3) 本文針對氣動計算外形需要進行前處理操作，即生成幾何模型并劃分空間網(wǎng)格；

4) 利用數(shù)值試驗的方法確定在樣本點xi處的系統(tǒng)響應值yi，并利用它們構(gòu)成一系列樣本對{(xi,yi),i=1,2,…,m}，其中yi=(y1,y2,…,yq)，是一個q維響應值，針對火箭氣動特性，yi指升力系數(shù)、阻力系數(shù)、壓心系數(shù)等期望得到的計算結(jié)果；

5) 選取一部分樣本對做為訓練樣本，采用適當?shù)慕品椒?gòu)建代理模型，確定代理模型f(xi)的參數(shù)，使f(xi)與yi近似程度最好，剩余樣本用做檢驗模型精度。如模型預測精度滿足設計要求則結(jié)束，否則修改模型參數(shù)或者增加樣本，直到其預測精度滿足要求為止。

圖1 代理模型的構(gòu)建途徑Fig.1 Construction approach of surrogate model

2 設計空間

大型運載火箭一般采取捆綁助推器的構(gòu)型，我國現(xiàn)役和在研的運載火箭往往采用2個或4個助推器，本文示例的是四助推器的構(gòu)型，如圖2所示。圖中的參數(shù)和尺寸充分且唯一地定義了火箭的氣動外形。按照經(jīng)驗將頭部錐角和捆綁縫隙寬度固定為常值，其余16個設計變量變化取值，構(gòu)成不同的火箭外形。因此本文中的設計空間是16維的高維空間。

RF-整流罩球頭半徑；L1-頭部第一錐長度(到實際尖點)；A1-頭部第一錐錐角；L2-頭部第二錐長度；A2-頭部第二錐錐角； LF-頭部直筒段長度；DF-直徑；L3-頭部倒錐長度；LC1-芯級直筒一長度；DC1-直徑；L4-芯級過渡段長度； LC2-芯級直筒二長度；DC2-直徑；RZ-助推球頭半徑；LZ-助推頂點/全箭頂點距離；LZ1-助推第一錐長度(到助推頂點)； AZ1-助推第一錐錐角；LZ2-助推柱段長度；DD-助推直徑；H-芯助縫隙；BB-尾翼弦長圖2 設計變量釋義Fig.2 Definition of design variables

根據(jù)總體設計各專業(yè)經(jīng)驗，形成如下約束條件，最終形成設計空間：

1)芯級直徑大于助推直徑；

2)整流罩直徑與相鄰芯級直徑比范圍：1～1.6 ；

3)相鄰芯級直徑比例(芯級下段直徑除以上段直徑)：1～1.5 ；

4)助推器長度與全箭總長的比例：25%～65%。

3 試驗設計

試驗設計(Design of Experiments，DOE)為代理模型構(gòu)建提供訓練和測試樣本，其合理與否關(guān)系到代理模型的預測精度，采樣樣本點要盡量充滿整個空間，應該是整個設計空間的具有代表意義的典型子集，具有良好的均勻性和正交性。由于本文中的設計空間是16維的高維空間，采用拉丁超立方試驗更為適宜。拉丁超立方試驗設計是專門為仿真試驗提出的一種試驗設計類型。它是一種充滿空間的設計，使輸入組合相對均勻地填滿整個試驗區(qū)間，并且每個變量只水平使用一次。拉丁超立法試驗設計具有非常好的空間填充能力，可以擬合非線性相應，即較正交試驗設計而言，可以用同樣的點數(shù)研究更多的數(shù)據(jù)組合[5]。

假設設計問題共有r個因子，每個因子分為n個間距，每個間距里面取一個值，則每個因子有n個水平值，拉丁方設計表是有r個因子的n個水平值組成的一個n×r矩陣，算法可用下式描述

(1)

其中，1≤j≤n,1≤j≤k，k是水平數(shù)，n是因子個數(shù)，U是區(qū)間 [0,1]上的隨機數(shù)，π是序列0,1,…,k-1的一個排列。下標j是因子索引，上標 (i)是水平索引。抽樣時首先將[0,1]區(qū)間劃分成N個互不重疊的子區(qū)間，然后在每個子區(qū)間中進行獨立的隨機抽樣。

4 樣本生成

為避免樣本生成耗費過長的周期，同時保持一定的工程應用精度，本文使用高精度無黏分析軟件Cart3D對飛行器進行氣動特性分析。該軟件首先在全流場域生成各向尺寸一致的粗糙網(wǎng)格，再根據(jù)模型結(jié)構(gòu)在物面附近自動逐步加密得到尺寸合適的流場網(wǎng)格，程序能通過定義網(wǎng)格區(qū)域及網(wǎng)格密度，自動捕捉模型的幾何特征，快速生成笛卡爾網(wǎng)格(圖3)，極大地壓縮網(wǎng)格生成時間，最后求解Euler方程得到流場結(jié)果。該方法網(wǎng)格生成效率高，流場求解速度快，能大大縮短計算時間。為高效批量生成幾何模型并劃分網(wǎng)格，采用程序控制的腳本模式運行上述過程。

圖3 樣本生成中Cart3D計算網(wǎng)格Fig.3 Cart3D mesh

為驗證Cart3D軟件的計算精度，應用國內(nèi)某型經(jīng)典捆綁運載火箭標準外形使用Cart3D和Fluent軟件分別開展計算并比較，結(jié)果如表1所示。針對標準外形，在各馬赫數(shù)下Cart3D與Fluent的計算誤差最大約13.4%(升力系數(shù)，Ma=3.0，攻角a=0°)，平均誤差在10%以內(nèi)，可以用于樣本庫的建立。

表1 Cart3D與Fluent結(jié)果相對誤差

5 模型研究

常用的代理模型有：多項式響應面模型、徑向基 RBF 插值模型、Kriging 模型、SVM支持向量機、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡等，表2給出了上述幾種近似模型及其優(yōu)缺點[6]。由于本文研究的對象維度高、非線性較強，要求擬合方法的魯棒性較強，因此選用了標準Kriging模型并使用GA遺傳算法進行內(nèi)參優(yōu)化。同時選用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(30×2)作為對比學習組，對Kriging結(jié)果進行對比評價。

表2 基本代理模型適用性比較

5.1 Kriging-GA模型

給定n個樣本點S=[s(1)，s(2),…，s(n)]T，其中s(i)16維向量(火箭外形參數(shù)個數(shù))，對應的目標函數(shù)值為Y=[y(1)，y(2),…，y(n)]T，其中y(i)是3維向量(升力系數(shù)、阻力系數(shù)、壓心系數(shù)3個變量)。設計變量為x，對應的目標函數(shù)為y。

Kriging模型由全局模型和局部偏差模型構(gòu)成[7-8]

y=F(β,x)+z(x)

(2)

z(x)的協(xié)方差矩陣表明其局部偏離的程度，形式如下

cov(z(ω),z(x))=E[z(ω)z(x)]=σ2R(θ,ω,x)

(3)

式中，R(θ,ω,x)是表示任意兩個樣本點xi,xj之間的相關(guān)函數(shù)，這里采用高斯相關(guān)函數(shù)

(4)

(5)

(6)

求解上式的非線性無約束優(yōu)化問題，使用MATLAB工具中的遺傳算法GA(Genetic Algorithm)對16維內(nèi)參θk(k=1,2,…,k)進行全局尋優(yōu)，從而得到最優(yōu)插值的Kriging模型。Kriging模型可以在全局范圍內(nèi)提供對預估計值的誤差評估，如式(7)所示。由此可以獲得模型預測不確定性最大的位置[9]，并在該位置上添加新的樣本點。

(7)

在設計空間中隨機取2 000個外形參數(shù)，按上式計算全局偏差，如圖4所示。將均方誤差0.02作為紅線，將紅線之上的測試點進行標記，使用Cart3D計算并加入到樣本庫中。

圖4 隨機測試點的均方誤差Fig.4 RSME of random test points

5.2 BPNN模型

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(Back Propagation neural network，BPNN)是眾多神經(jīng)網(wǎng)絡算法中應用最為廣泛的一種，在人工神經(jīng)網(wǎng)絡的應用中，80%～90%的人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型都是采用 BP 網(wǎng)絡或者它的變化形式[10]。對于火箭氣動特性而言，諸參數(shù)具有高度非線性，因而擬合工具的非線性十分重要。本文采用兩個隱含層的結(jié)構(gòu)，每層含30個節(jié)點，如圖5所示。

圖5 BP網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.5 BP network topology

使用交叉驗證方法[11]對樣本點進行檢驗，例如針對四助推器在Ma=1.5，a=4°這一個工況的380個樣本，每次取1個作為測試點，取剩余379個點作為訓練點，可以得到圖6中的誤差分布規(guī)律，誤差符合正態(tài)分布。但誤差的分布范圍很大，個別點的誤差高達100%～400%以上(紅色圈出)，使用其余樣本點訓練得到的網(wǎng)絡在這些點上是無效的，由此可以推斷這些樣本點與其余樣本點具有較大差異，如果數(shù)值試驗結(jié)果可信，則需要在這些點周圍增加樣本。

圖6 交叉驗證誤差分布Fig.6 Cross-validation error distribution

在加點位置圍繞其中心，以原值50%為半徑的超球面作為加點空間，使用均勻試驗設計進行加點，對每個目標點周圍以同種方式加12個“衛(wèi)星點”，將樣本點規(guī)模擴充為500個。對加點后的樣本庫再次進行交叉驗證，誤差分布如圖7所示。由此可見，加點之后的誤差分布更為集中，標準差減少34%，加點效果明顯。

圖7 加點后的交叉驗證誤差分布Fig.7 Cross-validation error distribution after adding points

5.3 結(jié)果分析

選取490個樣本點作為訓練組，按上述方法得到對于氣動特性的估計即升力系數(shù)、阻力系數(shù)、壓心系數(shù)(參考長度為樣本的箭體長度，參考面積為1 m2)，選取另外10個作為評估組，則兩種方法的擬合值與期望值相比較如圖8所示，可以看出預測值較好地落在期望值上下兩側(cè)。

(a)升力系數(shù)

(b)阻力系數(shù)

(c)壓心系數(shù)圖8 評估點處的預測值Fig.8 Predicted value at evaluation points

根據(jù)式(8)對平均相對誤差(MRE)的定義，Kriging-GA方法和BPNN方法得到的代理模型在評估點集得到的誤差如表3所示，可以看出Kriging模型略優(yōu)于BPNN模型。

(8)

6 結(jié)論

代理模型作為保證一定精度條件下對復雜數(shù)值模型的替代，在運載火箭總體協(xié)同優(yōu)化中可發(fā)揮重要的作用。本文探索了火箭氣動計算代理模型的完整過程，采用平均相對誤差指標評估代理模型的預測精度，評估結(jié)果表明：

1)對于運載火箭外形變化引起氣動特性變化這類問題，在16維變量、500個樣本點規(guī)模的特定情況下，應用Kriging的誤差小于BPNN；

2)利用Kriging模型作為代理模型的方法可滿足工程需求，平均相對誤差小于10%。