李慶龍，鄭亞茹，徐 明

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

0 引言

空中發(fā)射是指由載機(jī)將運(yùn)載火箭帶到空中某一高度后進(jìn)行發(fā)射。相比于地面發(fā)射方式，空中發(fā)射運(yùn)載火箭有如下優(yōu)勢(shì)：1) 發(fā)射場(chǎng)地不受限制，全球任意位置都可發(fā)射；2) 入軌傾角無約束，發(fā)射場(chǎng)地的自由選擇使得空中發(fā)射運(yùn)載火箭可以發(fā)射任意傾角的載荷；3) 發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間短，對(duì)地面基礎(chǔ)設(shè)施依賴小，發(fā)射快速、靈活；4) 有效載荷比更高，由于空中發(fā)射帶來的高度、速度及火箭氣動(dòng)升力的優(yōu)勢(shì)，相同總質(zhì)量的火箭，空中發(fā)射運(yùn)載火箭擁有更大的有效載荷[1]。鑒于以上原因，空中發(fā)射運(yùn)載火箭受到廣泛關(guān)注，美、俄等國對(duì)空中發(fā)射技術(shù)進(jìn)行過大量的研究與工程實(shí)踐，代表性的有美國“飛馬座”(Pegasus)火箭、“空射號(hào)”(Airlaunch)火箭以及俄羅斯“飛行號(hào)”火箭[2]。目前投入商業(yè)運(yùn)營(yíng)的只有“飛馬座”火箭，成功率高(發(fā)射42次，成功40次)。

空射運(yùn)載火箭與傳統(tǒng)地面發(fā)射運(yùn)載火箭的區(qū)別是：1) 空中發(fā)射運(yùn)載火箭攜帶機(jī)翼，提供較大氣動(dòng)升力；2) 空中發(fā)射運(yùn)載火箭水平投放發(fā)射?？丈溥\(yùn)載火箭的這些優(yōu)勢(shì)也導(dǎo)致了其彈道設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，形成多約束、多變量的非線性優(yōu)化問題。針對(duì)彈道設(shè)計(jì)中多約束、多目標(biāo)的特點(diǎn)，多種優(yōu)化方法被有效應(yīng)用于彈道設(shè)計(jì)中，其中既包括傳統(tǒng)的共軛梯度算法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、SQP法等方法，也包括遺傳算法(GA)、蟻群優(yōu)化算法、粒子群算法(PSO)等智能優(yōu)化算法[3-7]。智能優(yōu)化算法具有全局最優(yōu)的特點(diǎn)，但是其收斂速度慢、精度較低，而傳統(tǒng)非線性優(yōu)化算法具有收斂速度快、局部尋優(yōu)能力強(qiáng)的特點(diǎn)，但對(duì)優(yōu)化變量初值的依賴性較強(qiáng)，一般需要預(yù)先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或理論公式提供合理的設(shè)計(jì)變量初始值，而當(dāng)前問題動(dòng)力學(xué)公式復(fù)雜，無法提供近似解析解，同時(shí)約束復(fù)雜，依賴經(jīng)驗(yàn)給出初值極難。因此，本文以飛馬座空中發(fā)射運(yùn)載火箭為研究對(duì)象，建立其質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型及氣動(dòng)力計(jì)算模型，以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了有翼空射火箭水平投放發(fā)射方式的彈道分級(jí)優(yōu)化方法，即以遺傳算法全局尋優(yōu)篩選合適的設(shè)計(jì)變量初值，再運(yùn)用起作用集法和內(nèi)點(diǎn)法在該初值附近尋優(yōu)，從而快速獲得滿足飛行約束的具有最大有效載荷的彈道參數(shù)，并以“飛馬座”火箭數(shù)據(jù)為參照，驗(yàn)證了該分級(jí)優(yōu)化算法的可行性。

1 空中發(fā)射運(yùn)載火箭的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 空中發(fā)射運(yùn)載火箭的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型

建立發(fā)射坐標(biāo)系下的火箭質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

mar=P+A+mg-mae-mac

(1)

式中，ar為火箭的質(zhì)心加速度，P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，A為氣動(dòng)力，g為引力加速度，ae為牽連加速度，ac為科式加速度。在控制系統(tǒng)理想無慣性的假設(shè)下，忽略發(fā)動(dòng)機(jī)以外的因素對(duì)推力和質(zhì)量流量的影響，可進(jìn)一步得到式(1)在發(fā)射坐標(biāo)系下的投影形式

(2)

式中，Llb為箭體坐標(biāo)系到發(fā)射坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，Lba為氣流坐標(biāo)系到箭體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，{g}l和{ωe}l分別為引力加速度和地球自轉(zhuǎn)角速度在發(fā)射坐標(biāo)系下的投影。運(yùn)載火箭質(zhì)心動(dòng)力學(xué)模型中涉及的其他定義及參數(shù)見參考文獻(xiàn)[8]。

1.2 空中發(fā)射運(yùn)載火箭的氣動(dòng)力模型

如引言所述，就運(yùn)載能力而言，空中發(fā)射運(yùn)載火箭利用了兩方面的優(yōu)勢(shì)：

1)載機(jī)平臺(tái)提供的發(fā)射初始速度(Ma=0.82)以及高度優(yōu)勢(shì)(海拔11 000 m)；

2)運(yùn)載火箭一級(jí)的翼型提供額外的氣動(dòng)升力，可以快速抬升高度。

因此，建立合理的空射運(yùn)載火箭氣動(dòng)力模型是必要的。本文基于飛馬座火箭翼型(如圖1所示)，建立空中發(fā)射運(yùn)載火箭的氣動(dòng)力計(jì)算模型。

圖1 飛馬座運(yùn)載火箭氣動(dòng)外形[1]Fig.1 Aerodynamic configuration of the Pegasus rocket[1]

基于運(yùn)載火箭氣流坐標(biāo)系建立氣動(dòng)力模型

(3)

式中，ρ為當(dāng)?shù)卮髿饷芏龋瑅為飛行器速度，Cl為升力系數(shù)，Cd為阻力系數(shù)，S為飛行器外露翼的面積，α為飛行器攻角；Cl-α，Cd均為速度(馬赫數(shù)Ma)的函數(shù)，文中參考了文獻(xiàn)[9]中飛馬座的氣動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

1.3 空中發(fā)射運(yùn)載火箭的飛行控制模型

對(duì)于彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)而言，選取合理的設(shè)計(jì)變量來描述優(yōu)化問題是關(guān)鍵點(diǎn)。因此，作為分級(jí)優(yōu)化方法的補(bǔ)充，需要根據(jù)空中發(fā)射運(yùn)載火箭的飛行特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)娘w行控制模型，準(zhǔn)確描述整個(gè)飛行過程，支撐后續(xù)彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)?？罩邪l(fā)射運(yùn)載火箭一般由飛機(jī)載至指定空域，達(dá)到預(yù)定高度和速度后水平投放。投放后為保證飛機(jī)的飛行安全，需使用空氣舵進(jìn)行姿態(tài)控制，保持要求姿態(tài)飛行一定時(shí)間。此后一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，火箭迅速拉起，利用發(fā)動(dòng)機(jī)推力和氣動(dòng)升力爬高，在一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)熄火前已基本飛出稠密大氣層。一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)熄火后,火箭一、二級(jí)分離，二級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，繼續(xù)爬高加速，飛出大氣層后拋掉衛(wèi)星整流罩。由于固體發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒時(shí)間短，火箭二級(jí)熄火時(shí)一般達(dá)不到衛(wèi)星要求的軌道高度，因此需要在二級(jí)熄火后安排一個(gè)無動(dòng)力滑行段，讓火箭爬至要求高度，接著三級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，將衛(wèi)星加速至預(yù)定速度，送入預(yù)定軌道[10]。

因此，將空中發(fā)射運(yùn)載火箭俯仰程序角φ(t)分為：1)大攻角爬升段；2)大攻角保持段；3)降低攻角；4)小攻角平飛段；5)改平攻角；6)零攻角飛行段；7)真空第一段；8)滑行段；9)真空第二段，共9段進(jìn)行設(shè)計(jì)[11]。

其中，一級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)工作段由1)～6)組成，具體來講，該段飛行軌道一般分為4段：①飛機(jī)投放后姿態(tài)保持段:此段火箭保持要求姿態(tài)飛行，以保證投放后飛行安全，此段火箭飛行時(shí)間約5 s；②發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火后大攻角爬升段，此段火箭飛行速度還不太大，可采用較大攻角α1爬升，以迅速爬高，減少后面飛行中火箭所受到的空氣阻力；③保持升力飛行段，此段火箭已獲得一定飛行速度和高度，可保持一定攻角α2，調(diào)整至最佳升阻比飛行，繼續(xù)爬高和加速；④零攻角飛行段，此段火箭已獲得較大的飛行速度和高度，發(fā)動(dòng)機(jī)接近熄火，為改善火箭一、二級(jí)分離的條件，火箭保持零攻角飛行[10]。該階段攻角變化規(guī)律如圖2所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(4)所述。

圖2 一級(jí)飛行段攻角變化規(guī)律Fig.2 Change of angle of attack of the first stage

(4)

火箭的俯仰程序角滿足

φ(t)=

(5)

2 空中發(fā)射運(yùn)載火箭的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)

空中發(fā)射運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述為

(6)

式中，x=[x1,x2,…,xn]T為優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的設(shè)計(jì)變量；gi(x)為約束條件；f(x)為優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)函數(shù)。以下針對(duì)此一體化設(shè)計(jì)問題中不同要素進(jìn)行具體說明。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

一般而言，運(yùn)載火箭在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，主要有如下性能指標(biāo)要求：1)主動(dòng)段結(jié)束時(shí)位置、速度；2)最大有效載荷；3) 最小成本；4)最小起飛總質(zhì)量。當(dāng)確定火箭型號(hào)后，其起飛總質(zhì)量范圍已限定；此時(shí)，對(duì)于給定目標(biāo)軌道的發(fā)射任務(wù)，設(shè)計(jì)具有最大有效載荷的彈道可以提高收益比。因此，對(duì)于空中發(fā)射運(yùn)載火箭的彈道優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為：給定火箭型號(hào)，即確定火箭起飛推重比范圍、發(fā)動(dòng)機(jī)型號(hào)與目標(biāo)軌道的情形下，使得入軌時(shí)的有效載荷最大。

2.2 約束條件

此問題中的約束條件共有6個(gè)，同時(shí)包括不等式約束和等式約束，分別是：1)最大飛行動(dòng)壓qopt≤qmax；2)最大軸向過載overloadopt≤overloadmax；3)大攻角爬行段的最大攻角；4)入軌點(diǎn)位置火箭的軌道高度hopt=hset；5)入軌點(diǎn)位置火箭的彈道傾角θopt=θset；6)入軌點(diǎn)位置密切軌道的軌道傾角iopt=iset。

2.3 設(shè)計(jì)變量

3 空中發(fā)射運(yùn)載火箭的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及仿真校驗(yàn)

3.1 彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及流程

空中發(fā)射運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化問題屬于多設(shè)計(jì)變量、多約束的非線性優(yōu)化問題，同時(shí)目標(biāo)函數(shù)的解析表達(dá)式形式較為復(fù)雜。而傳統(tǒng)的非線性全局優(yōu)化算法，如起作用集法、內(nèi)點(diǎn)法等具有局部收斂速度快、精度高的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)優(yōu)化初值依賴性較強(qiáng)，需要預(yù)先找到較為準(zhǔn)確的可行解，否則易陷入局部最優(yōu)或是無法求解；而智能優(yōu)化算法，如遺傳算法可以實(shí)現(xiàn)全局尋優(yōu)，但是由于遺傳算法生物進(jìn)化的搜索策略，其計(jì)算過程耗時(shí)長(zhǎng)，求解精度粗糙。針對(duì)以上特點(diǎn)，制定了同時(shí)包含遺傳算法(GA)、起作用集算法(ASM)和內(nèi)點(diǎn)法的分級(jí)優(yōu)化流程。其中，通過遺傳算法全局尋優(yōu)，篩選優(yōu)化問題初始設(shè)計(jì)變量，繼而利用起作用集算法和內(nèi)點(diǎn)法獲取初始優(yōu)化變量的局部區(qū)域內(nèi)的最優(yōu)解，最終得到滿足飛行過程約束和入軌條件的有效載荷最大的彈道。分級(jí)優(yōu)化流程如圖3所示,在單次迭代求解過程中，設(shè)置前后兩次迭代最大有效載荷之差作為結(jié)果是否最優(yōu)的判斷準(zhǔn)則；同時(shí)，對(duì)每種優(yōu)化方法設(shè)置最大迭代次數(shù)上限，若超出此限制，使用下一種優(yōu)化算法求解。此外，當(dāng)內(nèi)點(diǎn)法未能取得最優(yōu)解但比起作用集法結(jié)果更優(yōu)時(shí)，以本次優(yōu)化結(jié)果作為起作用集法初始設(shè)計(jì)變量，再次尋優(yōu)，即實(shí)現(xiàn)起作用集法和內(nèi)點(diǎn)法的交叉尋優(yōu)，獲得更好的優(yōu)化結(jié)果。

(a) 分級(jí)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

(b) 單次迭代彈道求解流程圖3 空中發(fā)射運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.3 The optimization design flow of air-launched rocket

3.2 仿真校驗(yàn)

根據(jù)文中描述的空中發(fā)射運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，以“飛馬座”(Pegasus)火箭為藍(lán)本進(jìn)行優(yōu)化。Pegasus火箭基本參數(shù)見表1和表2。發(fā)射任務(wù)的目標(biāo)軌道為高度600 km，軌道傾角為45°的近圓軌道，軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)和近地點(diǎn)幅角由發(fā)射時(shí)間確定，發(fā)射時(shí)間選擇為2019年9月1日4時(shí)(UT)，投放位置高度11 km，緯度40°，投放速度Ma=0.82，采用滑行入軌方式，目標(biāo)軌道參數(shù)見表3。優(yōu)化過程中，首先使用遺傳算法對(duì)彈道可行解全局尋優(yōu)，獲得精度較差的全局最優(yōu)解，以遺傳算法求得的最優(yōu)設(shè)計(jì)變量作為起作用集法和內(nèi)點(diǎn)法的設(shè)計(jì)變量初值，進(jìn)行二次局部尋優(yōu)，從而獲得滿足入軌精度要求的彈道最優(yōu)解。

表1 Pegasus運(yùn)載火箭基本參數(shù)

表2 Pegasus火箭發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)

定義入軌精度tol表達(dá)式

(7)

式中，a為實(shí)際入軌的半長(zhǎng)軸，a0為目標(biāo)軌道半長(zhǎng)軸；i為實(shí)際入軌的軌道傾角，i0為目標(biāo)軌道傾角；e為實(shí)際入軌的軌道偏心率，e0為目標(biāo)軌道偏心率。

求解結(jié)果表明，遺傳算法全局尋優(yōu)得到的彈道入軌參數(shù)如表3所示，入軌精度tolga為0.4193，入軌半長(zhǎng)軸誤差約為1 km，而軌道偏心率相差0.4191，需要對(duì)此彈道再次尋優(yōu)，使用起作用集方法和內(nèi)點(diǎn)法二次尋優(yōu)后，入軌精度達(dá)到tol=3.131×10-9，滿足入軌精度要求。此外，遺傳算法計(jì)算耗時(shí)約為40 min，而起作用集法和內(nèi)點(diǎn)法總耗時(shí)約為38 s。以上結(jié)果驗(yàn)證了使用遺傳算法、起作用集法和內(nèi)點(diǎn)法的分級(jí)優(yōu)化策略可以有效提高彈道求解的精度和速度?？罩邪l(fā)射火箭彈道曲線及最優(yōu)彈彈道參數(shù)見圖4、表4。

表3 軌道參數(shù)

表4 最優(yōu)彈道參數(shù)

由圖4高度曲線(a)和速度曲線(b)可知，采用滑行入軌方式的空中發(fā)射運(yùn)載火箭彈道曲線符合航天器飛行的一般規(guī)律，入軌精度3.0131×10-9，符合入軌要求。由圖4動(dòng)壓曲線(c)和軸向過載曲線(d)可知，在飛行過程中，最大動(dòng)壓38.96 kPa，滿足設(shè)計(jì)最大動(dòng)壓67.9 kPa的約束，最大軸向過載9.94g，滿足飛行過程約束。由圖4(g)攻角曲線可知，火箭以最大攻角17.89°快速爬升16 s后，以5.89°攻角的最佳升阻比形式飛行31 s，隨后保持零攻角飛行，最大限度地利用了空射火箭翼面提供的升力。由圖4(e)彈道傾角曲線和(f)俯仰程序角曲線可知，火箭滑行結(jié)束時(shí)，彈道為負(fù)傾角;此時(shí)，實(shí)際軌道為橢圓形，為了進(jìn)入最終圓軌道，按照?qǐng)D4(f)所示俯仰角線性控制策略圓化軌道，抬升彈道傾角，最終獲得符合入軌要求的彈道。

(a)飛行高度曲線

(b)速度曲線

(c)動(dòng)壓曲線

(d)軸向過載曲線

(e)彈道傾角曲線

(f)俯仰程序角曲線

(g)攻角曲線圖4 空中發(fā)射運(yùn)載火箭彈道曲線Fig.4 Time history of ballistic of air-launched rocket

圖5為在以遺傳算法給出的最優(yōu)彈道參數(shù)作為起作用集法/內(nèi)點(diǎn)法設(shè)計(jì)變量初值的迭代尋優(yōu)過程，圖中每個(gè)點(diǎn)均為滿足入軌約束及飛行過程約束的可行解，經(jīng)過20次迭代尋優(yōu)，最優(yōu)解即最大有效載荷質(zhì)量穩(wěn)定在317 kg附近，獲得給定空射火箭及入軌條件下的最大有效載荷對(duì)應(yīng)的彈道參數(shù)。

圖6給出了從北緯40°發(fā)射的空射運(yùn)載火箭對(duì)不同軌道高度的圓軌道運(yùn)載能力。圖7分別給出了在赤道附近(北緯8°)對(duì)15°傾角以及中緯度發(fā)射位置(北緯40°)對(duì)大傾角橢圓軌道空中發(fā)射運(yùn)載火箭的運(yùn)載能力，其中，橢圓軌道近地點(diǎn)均為180 km。結(jié)果表明，本文給出的分級(jí)優(yōu)化方法適應(yīng)性強(qiáng)，可優(yōu)化的目標(biāo)軌道范圍廣闊，具備對(duì)任意傾角、任意發(fā)射位置、中低圓軌道或橢圓軌道(包括太陽同步軌道)的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)能力。

圖5 起作用集/內(nèi)點(diǎn)法迭代尋優(yōu)過程Fig.5 The optimization process of the active-set method/interior-point method

圖6 LEO軌道和SSO軌道運(yùn)載能力 (發(fā)射點(diǎn)緯度：北緯40°)Fig.6 The capacity to LEO and SSO (Latitude of launch point: 40°N)

圖7 橢圓軌道運(yùn)載能力(近地點(diǎn)高度180 km)Fig.7 The capacity to elliptical orbit (The altitude of perigee: 180 km)

4 結(jié)論

針對(duì)空中發(fā)射運(yùn)載火箭的彈道設(shè)計(jì)問題，本文給出了詳細(xì)的空中發(fā)射運(yùn)載火箭的動(dòng)力學(xué)模型及彈道控制模型，并建立了基于遺傳算法全局篩選初值，起作用集方法和內(nèi)點(diǎn)法二次局部尋優(yōu)的分級(jí)優(yōu)化方法，該方法優(yōu)化求解速度快，適用性強(qiáng)，具備任意發(fā)射位置、任意傾角的圓軌道及橢圓軌道的彈道設(shè)計(jì)能力，能夠最大程度地挖掘空中發(fā)射運(yùn)載火箭的運(yùn)載能力，為空中發(fā)射運(yùn)載火箭彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)支持。同時(shí)，基于“飛馬座”空中發(fā)射運(yùn)載火箭的仿真實(shí)例驗(yàn)證了本文提出的彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)模型及分級(jí)優(yōu)化算法的合理性與準(zhǔn)確性。