3.2一次函數(shù)

考點、易混易錯點解讀

考點：一次函數(shù)的圖象與性質，用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)、三角形、四邊形的綜合問題，一次函數(shù)的實際應用，

易混易錯點：（1）正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù).

（2）涉及實際問題的一次函數(shù)圖象不一定是直線，也可能是線段、射線，所以構建一次函數(shù)模型解決實際問題時要注意考慮自變量的取值范圍.

（3）一次函數(shù)的圖象是直線，但直線不一定是一次函數(shù)的圖象，例如平行于坐標軸的直線不是一次函數(shù)的圖象，

高頻考點例題點撥

高頻考點1 一次函數(shù)的圖象與性質

例1 （2019 臨沂）下列關于一次函數(shù)y=kx+b （k<0，b>0）的說法，錯誤的是（

）.

A.圖象經(jīng)過第一、二、四象限

B.y隨x的增大而減小

C.圖象與y軸交于點（0，b）

D.當x>-b/k時，y>0誤.選D.

點撥：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，k、b決定函數(shù)圖象的位置.一次函數(shù)y=kx+b的增減性由k的正負性決定，當k>0時，y隨x的增大而增大;當k<0時，y隨x的增大而減小.以上結論也可以逆向應用，

高頻考點2用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式

例2（2019.蘇州）若一次函數(shù)y=kx+b（k，6為常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過點A（0，-1），B（1，1），則不等式kx+b>1的解集為（

）.

A.x<0

B.x>0

C.x<1

D.x>1

解析：把點A、B的坐標代人一次函數(shù)解析式，可得k=2，b=-1，故一次函數(shù)的解析式為y=2x-1.解不等式2x-1>1.得x>1.選D.

點撥：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式時，把滿足條件的點坐標代人一次函數(shù)的解析式，列出關于k、b的二元一次方程組，得出k、b的值.根據(jù)數(shù)形結合的數(shù)學思想利用函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系可以解決很多問題.例如，求函數(shù)圖象的交點坐標，可聯(lián)立關于函數(shù)解析式的方程組，解方程組，得到的方程組的解就是交點橫、縱坐標的值.又例如，解不等式可以看作兩個函數(shù)值比較大小，通過函數(shù)圖象可以直接判斷.

高頻考點3 一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用

點撥：本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用問題，解答時用到待定系數(shù)法，求函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標的方法等，根據(jù)坐標軸上點的坐標特征（y軸上點的橫坐標為0，x軸上點的縱坐標為0），可確定一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標.

高頻考點4 一次函數(shù)在實際問題中的應用

例4 （2019.南充）在“我為祖國點贊”征文活動中，學校計劃對獲得一、二等獎的學生分別獎勵一支筆、一個筆記本.已知購買2支鋼筆和3個筆記本共38元，購買4支鋼筆和5個筆記本共70元.

（1）鋼筆和筆記本的單價分別為多少元？

（2）經(jīng)與商家協(xié)商，購買鋼筆超過30支時，每增加1支單價降低0.1元：超過50支時，均按購買50支的單價銷售.筆記本一律按原價銷售.學校計劃獎勵獲得一、二等獎的學生共計100人，其中獲得一等獎的學生不少于30人，且不超過60人.當這次獎勵獲得一等獎的學生為多少人時，購買獎品的總金額最少？最少為多少元？

解析： （1）設鋼筆、筆記本的單價分別為x元、y元.

∴鋼筆、筆記本的單價分別為10元、6元.

（2）設鋼筆單價為a元，購買的數(shù)量為6支，購買鋼筆和筆記本的總金額為W元，

①當30≤b≤50時，a=10-0.1（b-30） =-O.1b+13.

W=b（-0.1b+13）+6 （100-b）=-0.1 （b-35）2+722.5.

當b=35時，W取得最大值722.5.當b=50時，W取得最小值700.

∴700≤W≤722.5.

②當50

因為2>0.所以W隨b的增大而增大，

..700

綜上可知，當30≤b≤60時，W的最小值為700.

∴當這次獎勵獲得一等獎的學生為50人時，購買獎品的總金額最少，最少為700元.

點撥：求二次函數(shù)的最值時，注意最值不一定在拋物線頂點處取得，要考慮函數(shù)自變量的取值范圍.對于一次函數(shù)y=kx+b，增減性由k的正負性決定，要根據(jù)自變量的取值范圍求最值.

例5某市為節(jié)約水資源，制定了新的居民用水收費標準.按照新標準，用戶每月繳納的水費y（元）與每月用水量x（ m3）之間的關系如圖2所示.

（1）求y關于x的函數(shù)解析式.

（2）若某用戶二、三月份共用水40m3（=月份用水量不超過25 m3），繳納水費79.8元，則該用戶二、三月份的用水量各是多少立方米？

8 （1）當0≤x≤15時，設y=mx，則15m=27.得m=1.8.

（2）設二月份的用水量是am3，則三月份用水（40-a）m3.

∵二月份用水量不超過25 m3。

∴40-a≥15，即三月份的用水量不少于15 m3.

①當0≤a≤15時，由題意得1.8a+2.4（40-a） -9=79.8，解得a=12，則40-a=28.

②當15≤a≤25時，這兩個月用水量均不少于15 m3，故2.4a-9+2.4 （40-a） -9=79.8，此方程無解，

綜上可知，該用戶二、三月份用水量分別是12 m3和28 m3.

點撥：實際問題中的函數(shù)模型通常是分段函數(shù)，本題中x=15就是一個關鍵節(jié)點.盡管第（2）問最終答案唯一，但如果不分類討論，就有失推理的縝密性，

解析：先將點P（n，-4）的坐標代入y=-x-2，求出n的值，再找出直線y=2x+m在直線y=-x-2的下方且都在x軸下方的部分對應的自變量的取值范圍即可，

∵ 一次函數(shù)y=-x-2的圖象過點P（n，-4），

∴ -4=-n-2.解得n=2.

∴P的坐標為（2，-4）.

又直線y=-x-2與x軸的交點是（-2，0），

∴關于x的不等式組2x+m<-x-2<0的解集為-2

點撥：本題體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法.要弄清楚一元一次不等式組的解集與一次函數(shù)自變量的關系，然后結合函數(shù)圖象解題.

中考命題預測

1.已知一次函數(shù)y=（k-3）x+l的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則k的取值范圍是 ___.

2.如圖4，直線y=一3/4x-3交x軸于點A， 交y軸于點B，點P是x軸上一動點，以點P為圓心，1個單位長度為半徑作⊙P當⊙P與直線AB相切時，點P的坐標是 ____

.

3.如圖5，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2/x的圖象相交于A，B兩點，其中點A的坐標 為（-1，4），點B的坐標為（4，n）.

（1）根據(jù)圖象直接寫出滿足k1x+b> k2/x的x的取值范圍.

（2）求這兩個函數(shù)的表達式.

（3）點p在線段AB上，連接OA，OB，OP，恰有S△AOP：S△BOP=1：2，求點P的坐標.

4.學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品，已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元：購買5個A獎品和4個B獎品共需210元.

（1）求A、B兩種獎品的單價.

（2）學校準備購買A、B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的÷，請設計出最省錢的購買方案，并說明理由.

5.某社區(qū)活動中心為鼓勵居民加強體育鍛煉，準備購買10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）個羽毛球，供社區(qū)居民免費借用，該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標價均為30元，每個羽毛球的標價為3元.目前兩家超市同時在做促銷活動，

A超市：所有商品均打九折（按標價的90%）銷售.

B超市：買一副羽毛球拍送2個羽毛球，

設在A超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yA元，在日超市購買羽毛球拍和羽毛球的費用為yB元.請解答下列問題：

（1）分別寫出yA、yB與x之間的關系式.

（2）若該活動中心只在一家超市購買，你認為在哪家超市購買更劃算？

（3）若每副球拍配15個羽毛球，請你幫助該活動中心設計出最省錢的購買方案。

6.小亮用作圖象的方法解二元一次方程組時，在同一直角坐標系內(nèi)作出了相應的兩個一次函數(shù)的圖象l1，l2，如圖6所示，他解的這個方程組是（

）.