2.1 一次方程(組)與一元二次方程
考點,易混易錯點解讀:
在中考中,有關一次方程(組)常見的命題點有:一元一次方程的解法,二元一次方程組的解法,一次方程(組)的實際應用.
等式的性質是解方程的依據,在運用等式的性質時,要注意以下兩點:(1)等號兩邊的運算要相同,參與運算的數或式子也要相同,即等號兩邊要同時加上(或減去或乘以或除以)相同的數或式子.(2)等號兩邊除以一個式子時,一定要注意這個式子是否可以等于0.如果該式子可以等于0,兩邊同時除以該式子后,所得等式就不一定成立.
在解一元一次方程時,常見的錯誤有:(1)去分母時,常數項漏乘各分母的最小公倍數.(2)移項時,某一項從等號一邊移到另一邊時,沒有變號.(3)對于含參數的一元一次方程,將系數化為1時,如果未知數的系數是一個式子,沒有對該式子能否為0進行分類討論.
用代人消元法解二元一次方程組時,首先將其中一個方程變形,用含一個未知數的式子表示另一個未知數,然后將這個式子代入另一個方程中,從而達到消元的目的.在變形和代入的過程中,要嚴格依照移項和去括號的法則,避免出現(xiàn)符號錯誤,
在中考中,有關一元二次方程常見的命題點有:一元二次方程的解法,一元二次方程根的判別式,一元二次方程的實際應用,
一元二次方程的解法有四種:直接開平方法、配方法、公式法與因式分解法.在解方程時要靈活運用.若方程的右邊為0,且左邊能分解因式,則宜選用因式分解法;若方程是形如X2=c(c≥0)、(ax+b)2=C的一類方程,則宜選用開平方法;若方程的二次項系數為1,一次項系數為偶數時,則宜選用配方法;若用直接開平方法、配方法、因式分解法都不簡便時,則用公式法,
解一元二次方程的注意事項有:(1)對于左右兩邊含有相同未知數因式的一元二次方程,應將方程化為一般形式后再求解(或將方程變?yōu)榈忍栆贿吺?.另一邊是含未知數的式子,利用因式分解法求解),切勿直接約去相同未知數因式,否則會丟根.(2)用因式分解法解一元二次方程時,方程的右邊要化為0,左邊分解因式.(3)利用公式法求解時,一定要先將一元二次方程化為一般形式,然后再用求根公式求解,
如果所給方程的二次項系數含有字母參數,要看清題干中有沒有說明這個方程是一元二次方程.如果題干指明這個方程是一元二次方程,或通過暗含條件,比如“方程有兩個實數根”“方程有兩個不相等的實數根”“方程有兩個相等的實數根”等,可以判斷它是一元二次方程,除了根據方程根的情況,結合根的判別式得到字母的值或取值范圍,還要注意二次項系數不為0這個限制條件.如果不能確定所給方程是一元二次方程,那么要對二次項系數進行分類討論.
利用根與系數的關系解題時,首先要把一元二次方程化為一般形式,然后在根的判別式大于或等于零的前提下正確使用根與系數的關系.
在解決實際問題時,通過解一元二次方程得到的根要符合實際情況,比如幾何圖形的邊長為正數,商品的成本下降率應小于1.不符合實際情況的根應舍去.
高頻考點例題點撥
高頻考點1 方程的解
例1 (2019.南充)關于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解為x=1,則a+m的值為(
).
A.9
B.8
C.5
D.4
解析:由題意可得a-2=1,2+m=4,解得a=3,m=2,所以a+m=3+2=5,故選C.
點撥:解決涉及方程的解的問題,直接把方程的解代人方程,然后得到一個等式,即可求得其他字母的值,
例2 (2019.巴中)已知關于x,y的二元一次方程組ax-y=4,的解是x=2,則a+b的值
3x+by=4
y=-2,是(
).
A.1
B.2
C.一1
D.0
解析:將方程組的解代入方程組,得a=1,b=1,所以a+b=2,故選B.
點撥:方程組的解就是方程組中所有方程的公共解.把方程組的解代入方程組的每一個方程,即可求出a,b的值.
高頻考點2-次方程(組)與數學文化
例3(2019.甘肅)中國古代人民很早就在生產、生活中發(fā)現(xiàn)了許多有趣的數學問題,其中《孫子算經》中有個問題,原文是:“今有三人共車,二車空;二人共車,九人步.人與車各幾何?”譯文為:今有若干人乘車,若每3人共乘一輛車,則最終剩余2輛車;若每2人共乘一輛車,則最終剩余9個人無車可乘,問共有多少人、多少輛車,
點撥:對于這類問題,原文表達的意思也許我們看不懂,但題目往往都會給出譯文,解決問題時,我們只需要按照譯文的意思,找已知量、未知量和等量關系,然后設未知數,列方程,解方程即可,本題還可以設共有x輛車,請讀者朋友列方程解決問題.
高頻考點3 一元二次方程的根
例4 (2019.甘肅)若一元二次方程X2_2kX+k2=0的一根為x=-1,則k的值為(
).
A.一1
B.0
C.1或-1
D.2或0
解析:把x=-1代人方程得1+2k+k2=0,解得k=-1.故選A.
點撥:用配方法解一元二次方程時,共有四個步驟,第一步是變形:將ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次項系數化為1,要注意等號兩邊的每一項都要除以二次項系數.第二步是移項:把二次項和一次項移到等號左邊,常數項移到等號右邊.第三步是配方:等號兩邊同時加上一次項系數一半的平方,將方程配方為(x+m)2=n的形式,第四步是開方:利用直接開平方法求得方程的兩個根.
高頻考點5 一元二次方程根的判別式
例6 (2019.成寧)若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實數根,則實數m的取值范圍是(
).
A.m<1
B.m≤1
C.m>1
D.m≥1
解析:∵關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實數根,
∴△=(-2)2-4m≥0.
解得m≤1.故選B.
點撥:本題考查一元二次方程根的判別式,一元二次方程有實數根,則△≥0.注意“一元二次方程有實數根”包含兩種情況:(1)方程有兩個相等的實數根.(2)方程有兩個不相等的實數根.
高頻考點6 一元二次方程的實際應用
例7(2019.東營)為加快新舊動能轉換,提高公司經濟效益,某公司決定對近期研發(fā)出的一種電子產品進行降價促銷,使生產的電子產品能夠及時售出.根據市場調查,這種電子產品銷售單價定為200元時,每天可售出300個;若銷售單價每降低1元,則每天可多售出5個,已知每個電子產品的固定成本為100元.這種電子產品降價后的銷售單價為多少元時,公司每天可獲利32 000元?
解析:設降價后的銷售單價為x元,則降價后每天可售出[ 300+5(200-x)]個.
依題意,可得(x-100)[300+5(200-x)]-32000.
解得x1=x2=180.
180<200.符合題意,
答:這種電子產品降價后的銷售單價為180元時,公司每天可獲利32000元,
點撥:根據總利潤=每個產品的利潤×銷售數量,即可得出關于x的一元二次方程,解之即可得出結論.找準等量關系,正確列出一元二次方程是解決問題的關鍵,
5.已知一元二次方程3x2+4x -k =0有兩個不相等的實數根,則k的取值范圍是____ .
6.隨著粵港澳大灣區(qū)建設的加速推進,廣東省正加速布局以SG等為代表的戰(zhàn)略性新興產業(yè).據統(tǒng)計,目前廣東省5G基站的數量約為1.5萬座,計劃到2020年底,全省5G基站數是目前的4倍,到2022年底,全省5G基站數量將達到17.34萬座.
(1)計劃到2020年底,全省5G基站的數量是多少萬座?
(2)按照計劃,求2020年底到2022年底全省5G基站數量的年平均增長率.