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        函數(shù)的概念和圖象

        2020-10-28 01:34:03

        3.1 函數(shù)的概念和圖象

        考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

        考點(diǎn):平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征,函數(shù)及其自變量的取值范圍,函數(shù)圖象的分析及判斷,

        易混易錯(cuò)點(diǎn):在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐際問(wèn)題,主要有兩種類(lèi)型:一是規(guī)律探索問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題不容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律,確定點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)易出潛;二是靜態(tài)情形下確定點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題,點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)易混淆.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的長(zhǎng),同時(shí)要正確理解實(shí)際問(wèn)題中圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的意義.

        高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

        高頻考點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)物征

        例1 (2019.菏澤)在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是:從原點(diǎn)O出發(fā),按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動(dòng),每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度,其移動(dòng)路線如圖1所示,第一次移動(dòng)到點(diǎn)A1,第二次移動(dòng)到點(diǎn)A2,…,第n次移動(dòng)到點(diǎn)An,則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是(? ? ?).

        A. (1 010,0)

        B. (1 010,1)

        C. (1 009,0)

        D. (1 009,1)

        解析:由題意可得A.(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),A5(2,1) ,A6(3,1)…

        ∵2019÷4=504-3.

        ∴A2019的坐標(biāo)為(504x2+1,0),即(1009,0).

        ∴選C.

        點(diǎn)撥:對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律探索問(wèn)題,根據(jù)圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)的變化特點(diǎn),可以將這類(lèi)題概括為兩種形式:一種是點(diǎn)的坐標(biāo)是在同一象限內(nèi)遞推變化,另一種是點(diǎn)的坐標(biāo)在坐標(biāo)軸上或象限內(nèi)循環(huán)遞推變化.解決這類(lèi)題首先作出正確判斷,然后根據(jù)圖形的變化規(guī)律分別求出起始幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),看看后一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與前一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間有沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系,或者點(diǎn)的坐標(biāo)與序數(shù)之間有沒(méi)有關(guān)系.如果屬于第一種情況,只需根據(jù)倍數(shù)關(guān)系確定所求第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);如果屬于第二種情況,只需找出循環(huán)“一周”的變換次數(shù),然后確定點(diǎn)的坐標(biāo)變化的規(guī)律,求出第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

        例2(2019.綿陽(yáng))如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為菱形,O點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),∠AOC=60°.則對(duì)角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為(? ? ? ).

        A.(2,√3)

        B.(√3,2)

        C. (√3 ,3)

        D. (3 , √3)

        解析:過(guò)點(diǎn)E作ED⊥x軸,垂足為點(diǎn)D,如圖3.

        因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形.∠AOC=60°.所以∠AOE=30°.在Rt△OEA中.∠OEA=90°,OA =4,可得OE=2、√3,AE=2.

        根據(jù)面積法或解直角三角形,可得ED=√3.OD=3.故選D.

        點(diǎn)撥:在平面直角坐標(biāo)系中,求靜態(tài)情形下點(diǎn)的坐標(biāo),方法是利用解直角三角形、勾股定理或相似三角形的知識(shí)求線段的長(zhǎng).

        高頻考點(diǎn)2 函數(shù)圖象的分析

        例3 (2019.濰坊)如圖4,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.動(dòng)點(diǎn)P沿折線BCD從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合).設(shè)運(yùn)動(dòng)的路程為x,△ADP的面積為y,那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是(? ? ?).

        解析方法1:動(dòng)點(diǎn)P沿折線BCD從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)D重合),可以分為兩個(gè)階段:

        (1)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng),S△APD=1/2x3x2=3.

        (2)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng),S△APD=1/2×3×(2+3一x)=一3/2x+15/2,此時(shí)自變量x的范圍是3≤x<5.

        選D.

        方法2:從動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡看,點(diǎn)C是一個(gè)分界點(diǎn),此時(shí)自變量x的值為3,點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)△APD的面積不變,這樣可以判斷出正確答案為D.

        點(diǎn)撥:解答以幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)為背景判斷函數(shù)圖象的題目,一般的思路有兩種:(1)找因變量與自變量之間存在的函數(shù)關(guān)系,再找出相對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象,要注意分類(lèi)討論自變量的取值范圍.(2)直接根據(jù)幾何量的變化趨勢(shì)(注意分界點(diǎn))判斷函數(shù)圖象,

        分析函數(shù)圖象的步驟是:(1)弄清楚圖象中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代表的量及函數(shù)自變量的取值范圍.(2)找出分段函數(shù)的分界點(diǎn),函數(shù)增減性發(fā)生變化的點(diǎn),以及函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),根據(jù)這些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置上的幾何量.

        中考命題預(yù)測(cè)

        1.如圖5,在△OAB中,已知頂點(diǎn)0(0,0),A(-3,4),B(3,4).將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次旋轉(zhuǎn)90°,則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(? ? ? ).

        A.(10,3)

        B.(-3,10)

        C.(10,-3)

        D.(3.-10)

        2.如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B在第一象限,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,∠AOB= ∠B=30°,OA =2.將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△OAB,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(? ? ).

        A.(-1,2+√3)

        B.(-√3,3)

        C.(-√3,2+√3)

        D.(-3,√3)

        3.如圖7,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2 cm,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),在正方形的邊上,分別按A→D→C,A→B→C的方向,都以1 cm/s的速度運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)終止,連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs,△APQ的面積為y,cm2,則下列圖象中能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是(? ? ).

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