廖 晗 姜呂鋒 李恒達(dá) 楊興昌 李映輝

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院, 成都610031)

工程中有大量非均勻懸臂結(jié)構(gòu)，如風(fēng)電葉片、塔架、直升機(jī)旋翼等，這類結(jié)構(gòu)都可簡化為變截面懸臂梁進(jìn)行研究，此類結(jié)構(gòu)的設(shè)計中需要計算剛度和強(qiáng)度。付俊強(qiáng)等[1]基于Euler 梁理論，通過求解與均勻梁的相似系數(shù)得其靜彎曲剛度；陸念力等[2]從二階撓曲線方程出發(fā)，對慣性矩沿軸向二次變化的變截面Euler 梁在彈性約束下的剛度進(jìn)行了分析；孫江宏等[3]討論了線性變截面梁的建模方法；王曉臣等[4]推導(dǎo)了變截面平面梁的單元剛度矩陣。但現(xiàn)有研究缺少針對各類回轉(zhuǎn)變截面懸臂梁最小撓度的探討。本文將基于圓柱型、圓錐型、拋物型和雙曲型回轉(zhuǎn)懸臂梁慣性矩沿長度方向的分布規(guī)律，得到其在任意側(cè)向分布載荷下的撓曲線方程；基于三角形分布載荷下的撓曲線方程，得到其端部撓度值，在等長度和等體積狀態(tài)下，探討在三角形分布載荷作用下四類回轉(zhuǎn)懸臂梁的最小撓度。

1 截面慣性矩

圖1 所示為四類回轉(zhuǎn)懸臂梁，其母線方程分別為

其中，r為圓柱半徑(圖1(a))，h為圓錐底面半徑(圖1(b))，p/2 為拋物線焦點到頂點的距離(圖1(c))，a和b分別為雙曲線實半軸和虛半軸長(圖1(d))，d=a+l。

圖1 四類回轉(zhuǎn)懸臂梁模型

對長為l，彈性模量為E的四類回轉(zhuǎn)梁，截面慣性矩分別為

其中，I01=πr4/4，I02=πh4/4，I03=π(pl)2，I04=πb4(2α+α2)2/4 分別為四類回轉(zhuǎn)梁在左端處x= 0的慣性矩，其中α=l/a。

2 撓曲線方程

受側(cè)向分布載荷f(x)作用的懸臂梁，其中f(x)以沿y軸正向為正，彎矩M(x) 以順時針方向為正，撓度以y軸正向為正，其截面彎矩為

其中，MB和RB分別為右端截面B處的彎矩和反力。

忽略剪力并基于小變形假設(shè)，撓曲線方程為

其中，EIz為彎曲剛度，將M(x) 代入式(2) 得

對式(3) 積分，由邊界條件w′′(l)=0，w′′′(l)=0 得

利用梁左端邊界條件

可確定待定系數(shù)C和D。

3 三角形分布載荷下的最大撓度

對三角形分布載荷f(x)=?q(x?l)/l，其中f(x)以y軸正向為正，q >0，得到撓曲線方程為

3.1 四類回轉(zhuǎn)型懸臂梁的最大撓度

對圓柱型懸臂梁，將EIz=EI1代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

得到

對圓錐型懸臂梁，將EIz=EI2代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

得到

對拋物型回轉(zhuǎn)懸臂梁，將EIz=EI3代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

對雙曲型回轉(zhuǎn)懸臂梁，將EIz=EI4代入式(6)，并由邊界條件(5) 得其撓曲線方程

得到

3.2 三角形分布載荷下結(jié)論

在回轉(zhuǎn)體長度l和體積V相同情況下，四類回轉(zhuǎn)懸臂梁的特征參數(shù)為

上述四類回轉(zhuǎn)懸臂梁最大撓度可由l和V表示為

由于g(a/l)在(0,+∞)上先遞減后遞增，當(dāng)a/l趨近0 時，g(a/l) 取得最大值，此時g(a/l) 趨近2/27；當(dāng)a/l= 0.485 時，g(a/l) 取得最小值，此時g(a/l) = 0.052 6。由牛頓法得，當(dāng)a/l= 0.117 9時，g(a/l)=1/18。

因此得到結(jié)論，當(dāng)0

當(dāng)a/l>840 時，雙曲型回轉(zhuǎn)梁撓曲線不斷接近拋物型回轉(zhuǎn)梁撓曲線。

可見，在三角形分布載荷情況下，等體積和等長度梁，

(1) 當(dāng)雙曲型回轉(zhuǎn)梁特征參數(shù)0.117 9< a/l <840 時，雙曲型回轉(zhuǎn)梁最大撓度最小。

(2) 當(dāng)雙曲型回轉(zhuǎn)梁0< a/l <0.117 9 范圍內(nèi)，拋物型回轉(zhuǎn)梁優(yōu)于回轉(zhuǎn)雙曲型梁。

(3) 且當(dāng)雙曲型回轉(zhuǎn)梁a/l=0.485 0 時，雙曲型回轉(zhuǎn)梁最大撓度最小。

4 等體積模型驗證

用有限元法驗證結(jié)論正確性，有限元模型中，梁長l= 0.5 m，梁總體積V= 0.2 m3，這時r=11.283 8 mm，h=19.544 1 mm，p=0.254 6 mm，對雙曲線梁，取a/l= 0.1 和0.5 兩種情況。材料彈性模量E= 210 GPa，載荷q= 3 000 N/m，用200個兩結(jié)點四自由度平面梁單元。結(jié)果如表1，可見本文與有限元結(jié)果有很好的一致性。

表1 本文解與有限元解比較

5 結(jié)論

研究了圓柱型、圓錐型、拋物型和雙曲型回轉(zhuǎn)懸臂梁在側(cè)向三角形分布載荷情況下的最大撓度。在等長度和等體積情況下，拋物型和雙曲型梁最大撓度最??；特征參數(shù)在特定范圍時，雙曲型梁撓度最?。惶卣鲄?shù)另一范圍時拋物型梁撓度最小。