丁祖榮

(上海交通大學(xué)教育部水動力學(xué)重點實驗室，船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240)

鳥的自由翱翔激勵著人類飛向天空的暇想，但對鳥動作的單純模仿不能使人飛起來。早期的飛機發(fā)明家雖然實現(xiàn)了動力飛行，但由于缺乏理論的指導(dǎo)，飛行器的性能無法得到實質(zhì)性改進。無論在飛行速度、高度、距離和載重量方面，現(xiàn)代飛機都遠遠超過了鳥類，它建立在現(xiàn)代飛行理論的基礎(chǔ)之上，其中流體力學(xué)(空氣動力學(xué)) 的貢獻是關(guān)健性的。邊界層理論解決了飛行阻力問題，環(huán)流理論則解決了機翼升力問題。前者已有很多文章討論，本文著重介紹后者。

1 牛頓正弦平方定律

從16 世紀(jì)起，學(xué)者們開始認(rèn)真研究鳥的飛行原理。達·芬奇發(fā)表的著名論文《論鳥的飛行》認(rèn)為鳥逆風(fēng)飛行時不撲動翅膀是得益于下面的氣流；17 世紀(jì)，另一位意大利學(xué)者波萊里發(fā)表的權(quán)威著作《動物的運動》也認(rèn)為鳥的翱翔飛行是上升氣流造成的。這說明“氣流從下方?jīng)_擊翅膀，支托起鳥的重量”是早期的普遍認(rèn)識。從18 世紀(jì)起不斷有人模仿鳥的翅膀從高處逆著氣流作滑翔飛行，均以失敗告終。從19世紀(jì)起，飛行實驗家開始制造風(fēng)洞或旋臂機對機翼模型作測試。經(jīng)不斷摸索和改進，在20 世紀(jì)初，萊特兄弟終于實現(xiàn)了載人動力飛機的短暫飛行。但到此時，無論是飛行實驗家還是學(xué)者都沒有搞清楚鳥類飛行的科學(xué)原理，特別是翅膀的升力機理。

19 世紀(jì)初，被英國人譽為“航空之父” 的喬治·凱利用自行設(shè)計的旋臂機揭示了一塊沿著飛行方向的斜平板(具有攻角) 可以獲得升力的事實。他在論文《論空中航行》中指出，只要“給一塊斜平板提供動力，使之在空氣中產(chǎn)生升力并支持一定重量” 就能實現(xiàn)機械飛行，他還給出了計算升力的半定量關(guān)系式，但沒有解釋產(chǎn)生升力的原因。另一位英國人菲利普斯通過風(fēng)洞實驗發(fā)現(xiàn)，向上凸起的弧形面即使前后緣處于同一高度(攻角為零) 也能產(chǎn)生升力，而且比斜平板更優(yōu)越，他同樣沒有對此現(xiàn)象作出解釋。后來英國人理查德·費里斯在其名著《怎樣飛行》(1910) 中指出：“飛機的上表面必需外凸才能獲得升力效應(yīng)。這是飛機設(shè)計中的一個謎，至今沒有人能解釋。” 凱利和菲利普斯的發(fā)現(xiàn)、費里斯的疑問沒有引起學(xué)者們對理論探究的重視。其中一個重要原因是，當(dāng)時科學(xué)界正被一種悲觀情緒籠罩著，即對飛機普遍持懷疑態(tài)度，其根源可追溯到18 世紀(jì)的牛頓。

牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(1726)中首次討論了物體在流體中運動時所受到的阻力。他指出，兩個形狀相同的物體分別在密度不同的流體中沿水平作定常運動時，物體受到的阻力(1) 與運動速度的平方成正比；(2) 與物體的線性尺度的平方成正比；(3) 與流體的密度成正比；并對圓球、圓柱體和圓錐體進行了計算。事實上，用力學(xué)的基本定理—— 動量定理可以證明牛頓的論斷是正確的。牛頓的追隨者們按牛頓的方法計算了一塊面積為S，攻角為α的斜平板，在密度為ρ的流體中以速度U沿水平作定常運動時, 作用在平板法線方向的作用力為

按照流體從下方?jīng)_擊平板形成托力即升力的認(rèn)識，上式就是升力公式。此公式被稱為計算斜平板升力的牛頓正弦平方定律，可用來估算鳥在滑翔時翅膀上的升力。由于鳥滑翔時翅膀的攻角很小，攻角正弦的平方更小，因此按公式計算的升力也極小。將斜平板用于飛機時，為了獲得足夠大的升力必須設(shè)計面積巨大的機翼。另一方面斜平板的升力與阻力之比為cotα，也是小量。為了使斜平板升空必須配置巨大的推進發(fā)動機，這兩點都是不現(xiàn)實的。

由于正弦平方定律冠以了牛頓的大名，嚇退了當(dāng)時一批學(xué)者和科學(xué)家。他們認(rèn)為人類要想實現(xiàn)動力飛行是不可能的，其中包括大科學(xué)家開爾文勛爵。開爾文對英國航空學(xué)會寫信說：“除了氣球以外，我不相信比空氣重的飛行器能取得什么結(jié)果，對此我一點信心也沒有?！绷硪晃淮罂茖W(xué)家亥姆霍茲也持相同觀點。據(jù)說在一次考試中，一名學(xué)生因表達了相信動力飛行可能實現(xiàn)的觀點，亥姆霍茲給他成績?yōu)椴患案瘛?/p>

事實上，包括凱利在內(nèi)的許多飛行實驗家從試驗中都發(fā)現(xiàn)升力與攻角的正弦成正比，而不是與攻角的正弦平方成正比。有人因此抱怨牛頓耽誤了飛行的發(fā)展。后來馮·卡門在1953 年為紀(jì)念動力飛行五十周年所寫的書中說了公道話：“我個人并不相信牛頓的影響會造成這么大的惡果。我認(rèn)為在我們所談?wù)摰哪莻€時代，真正對飛行發(fā)生興趣的人們絕大多數(shù)都是不相信任何理論的?！比藗円矝]有因此而停止對機翼升力的理論探索，只不過要尋找另外的突破口。

2 馬格努斯效應(yīng)

建立機翼升力理論的突破口是馬格努斯效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)[1]。馬格努斯效應(yīng)是指：當(dāng)一個物體在沿某方向運動的同時發(fā)生繞另一方向的旋轉(zhuǎn)時，在與由這兩個方向矢量組成的平面的垂直方向上將產(chǎn)生一個橫向力，使物體飛行軌跡發(fā)生偏移。在球類運動和炮彈運行中都可以觀察到馬格努斯效應(yīng)，如網(wǎng)球、排球的飄球、乒乓球的弧圈球，足球的香蕉球，棒球的搖擺球和下墜球等；炮兵們發(fā)現(xiàn)從刻有來福線的炮膛里射出的炮彈常常偏離彈道。類似的現(xiàn)象引起學(xué)者和工程師們的關(guān)注。

早在1671 年牛頓在觀看劍橋?qū)W院的網(wǎng)球比賽中就注意到網(wǎng)球的飄球現(xiàn)象。他在一封信中試圖作出解釋：“我經(jīng)常看到用球拍斜擊網(wǎng)球時使其走一條曲線。球拍的斜擊讓球既旋轉(zhuǎn)又前進，這種復(fù)合運動造成球兩側(cè)附近的空氣受到較強烈的壓縮和打擊，于是空氣作出相應(yīng)的反彈?！?1805 年英國槍炮工程師羅賓斯在發(fā)表的《空氣的阻力》論文中把子彈偏離拋物線軌道的原因歸究為子彈的旋轉(zhuǎn)增加了空氣阻力。1852 年，德國柏林大學(xué)的物理學(xué)教授馬格努斯通過科學(xué)實驗發(fā)現(xiàn)了馬格努斯效應(yīng)(圖1)。在他的實驗中，一個兩端裝有錐形軸承的銅質(zhì)圓柱可繞軸旋轉(zhuǎn)；他將圓柱置于兩個可自由轉(zhuǎn)動的懸臂之間，讓吹風(fēng)機的氣流沿懸臂方向吹過圓柱，并借助弦線讓圓柱高速旋轉(zhuǎn)。他發(fā)現(xiàn)圓柱總是朝轉(zhuǎn)軸的側(cè)向偏轉(zhuǎn)。1853 年，馬格努斯在一份學(xué)會紀(jì)要上發(fā)表了他的發(fā)現(xiàn)，此現(xiàn)象被稱為馬格努斯效應(yīng)。

圖1 馬格努斯效應(yīng)實驗

馬格努斯效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)引起了科學(xué)界的關(guān)注。英國物理學(xué)家瑞利探討了馬格努斯效應(yīng)的流體力學(xué)機理。他在1878 年發(fā)表的論文《論網(wǎng)球的不規(guī)則運動》中，用伯努利定律解釋了馬格努斯效應(yīng)。他首先把馬格努斯效應(yīng)的流動抽象為均流與環(huán)流疊加的力學(xué)模型，認(rèn)為環(huán)流是圓柱的旋轉(zhuǎn)帶動了周圍流體一起旋轉(zhuǎn)形成的。當(dāng)旋轉(zhuǎn)的方向矢量與運動方向不一致時，橫向一側(cè)的流體速度增加，另一側(cè)流體速度減小。根據(jù)伯努利定律流體速度增加使壓強減小，流體速度減小使壓強增加，這樣就產(chǎn)生橫向壓力差，形成橫向力。當(dāng)這個橫向力作用在飛行物體的向上方向時就形成了升力。亥姆霍茲、開爾文也把注意力集中在環(huán)流上，引入了環(huán)量和渦量概念，分別建立了靜止流體中環(huán)量不變定理(1843)，和沿封閉流體線環(huán)量守恒定理等(1869)。遺憾的是這幾位理論科學(xué)家都沒有將馬格努斯效應(yīng)引伸到機翼的升力機理上，主要是因為不清楚固定的機翼何以產(chǎn)生環(huán)流。

工程界也對馬格努斯效應(yīng)發(fā)生興趣，提出了各種實際應(yīng)用的方案，其中最著名的是德國工程師弗萊特納設(shè)計制造了用旋轉(zhuǎn)圓筒代替布帆的船。弗萊特納特地咨詢了哥廷根大學(xué)的普朗特團隊，后者在風(fēng)洞里測試了旋轉(zhuǎn)圓筒的側(cè)向力，確認(rèn)若將旋轉(zhuǎn)圓筒裝在船上其側(cè)向推動力將比相同面積的布帆大好幾倍。弗萊特納還接受了普朗特的建議，在圓筒兩端設(shè)置了突出的環(huán)形板，形成所謂弗萊特納轉(zhuǎn)子，并于1922 年取得了專利。弗萊特納在實船上沿軸線前后安裝了兩個用電驅(qū)動的可旋轉(zhuǎn)弗萊特納轉(zhuǎn)子，僅依靠轉(zhuǎn)子的馬格努斯力推動和操縱船前進。1924 年，第一艘弗萊特納轉(zhuǎn)子船下水試航成功，當(dāng)時馮·卡門親自坐過這艘船。1926 年，該船橫渡大西洋抵達紐約。由于弗萊特納轉(zhuǎn)子船造價昂貴，無法與柴油機船匹敵，在商業(yè)上難以推廣，但是將其作為柴油機船的輔助設(shè)備是可行的。裝有弗萊特納轉(zhuǎn)子的柴油船在有風(fēng)時啟動轉(zhuǎn)子推進，無風(fēng)時用柴油機推進，可節(jié)約30%的燃料。2008 年德國建造一艘排水量達10 萬噸、柴油機功率為3.5 MW，裝有4 個高達27 m，直徑4 m 的轉(zhuǎn)子的貨船。該船于2010 年下水，滿載貨物從德國的恩登開到愛爾蘭的都柏林。在造船業(yè)和航空業(yè)中開發(fā)運用馬格努斯效應(yīng)的努力和實踐從來沒有停止過，在資源匱乏、提倡綠色能源的今天仍具有潛在的應(yīng)用價值。

3 蘭切斯特、庫塔、儒柯夫斯基關(guān)于翼型升力的環(huán)流理論

馬格努斯效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)距離翼型升力理論僅一步之遙，完成這關(guān)鍵性一步的跨越應(yīng)歸功于三個人：英國工程師蘭切斯特、德國數(shù)學(xué)家?guī)焖投韲锢韺W(xué)家儒柯夫斯基[2]。

蘭切斯特是一個富有傳奇色彩的人物，在汽車、航空、數(shù)學(xué)等不同領(lǐng)域都取得了業(yè)界公認(rèn)的成就。在肯辛頓科技學(xué)院畢業(yè)后，他長期從事汽車技術(shù)研究和開發(fā)工作，取得眾多發(fā)明專利。27 歲時發(fā)明制造了英國第一輛4 輪汽車，并成立了自己的公司。46歲時發(fā)表一系列有關(guān)空戰(zhàn)方面的論文，他被世界公認(rèn)為軍事運籌學(xué)的奠基者之一。美國運籌學(xué)會在約翰·霍普金斯大學(xué)建立了以蘭徹斯特命名的獎金，每年頒給最優(yōu)秀的運籌學(xué)論文的作者。由于在汽車、航空領(lǐng)域的卓越貢獻，他先后被授予英國皇家航空協(xié)會金質(zhì)獎?wù)隆C械工程師學(xué)會瓦特獎?wù)?、美國古根海姆金質(zhì)獎?wù)碌?；在倫敦市中心的布魯姆斯伯里綠地豎有蘭徹斯特汽車紀(jì)念碑。

蘭切斯特被公認(rèn)為機翼升力環(huán)流理論的最先發(fā)現(xiàn)者。他在大學(xué)畢業(yè)后最先感興趣的其實是飛行器。他做了大量飛機模型進行彈力實驗，1894 年制成了全尺寸的飛機樣機，只因缺乏匹配的輕型發(fā)動機而錯失了初期動力飛行的機會。他潛心研究機翼的升力機理，為此不厭其煩地到海邊觀察海鷗的飛翔，特別是滑翔時翅膀的姿態(tài)，還測量了海鷗的重心和浮力中心。經(jīng)過深思熟慮并用模型做實驗后，他終于悟出上凸的翼型產(chǎn)生升力的根本原因是渦和環(huán)流的作用。他認(rèn)為由于產(chǎn)生了繞機翼的環(huán)流導(dǎo)致上翼面低壓，下翼面高壓，因此形成升力。

1894 年，蘭切斯特把闡述機翼升力理論的論文投寄給伯明翰自然歷史與哲學(xué)學(xué)會，1897 年又寫論文《鳥的翱翔和機械飛行的可能性》投寄給英國物理學(xué)會，均遭到拒絕。兩個學(xué)會都嚴(yán)肅警告他一個工程師不應(yīng)該有這種瘋子的想法。直到萊特兄弟飛機上天后的1907 年，蘭切斯特才得以發(fā)表兩卷本專著：《空氣動力學(xué)和滑翔力學(xué)》。該書詳細(xì)論述了機翼的環(huán)流理論，涉及機翼的升力和阻力，還首次提出機翼附著渦、有限翼展的翼梢渦概念。當(dāng)時的英國學(xué)術(shù)界非常保守，蘭切斯特的著作在英國沒有引起注意，卻在德國受到了重視。1908 年，蘭切斯特應(yīng)邀到哥廷根大學(xué)講學(xué)，與普朗特的團隊進行學(xué)術(shù)交流。

另一位獨立發(fā)現(xiàn)機翼升力環(huán)流原理的是德國年輕的數(shù)學(xué)家?guī)焖?。在德國工程師李林塔爾在柏林進行持續(xù)載人滑翔機飛行試驗(1890—1896) 并最后死于飛行事故的感人事跡的激勵下，庫塔決定對李林塔爾偏愛的帶有尖銳尾緣的彎曲翼型進行研究，在他慕尼黑大學(xué)的畢業(yè)論文中作了理論探討和計算。他首先確認(rèn)升力是由翼型表面環(huán)流造成上下氣流速度不同引起的，同時推測尖銳尾緣決定了環(huán)流的大?。凰J(rèn)為上下表面的氣流在尾緣匯合并速度相等是確定環(huán)流的條件。庫塔起先不愿公布自己的想法，在他的導(dǎo)師鼓勵下才以簡報的形式公開發(fā)表，題為“流動流體中的升力”，時間是1902 年。庫塔給出的條件后來被稱為“庫塔條件”。

機翼環(huán)流與升力之間定量關(guān)系是俄國數(shù)學(xué)與物理學(xué)家儒柯夫斯基給出的。儒柯夫斯基深深迷戀于航空學(xué)，除了理論研究外他還在自己制造的風(fēng)洞里作實驗研究。在不知道庫塔簡報的情況下，儒柯夫斯基獨立地發(fā)展了定量計算機翼升力的理論，其中包括著名的儒柯夫斯基變換、儒柯夫斯基翼型和機翼升力公式等，主要內(nèi)容包含在1906 年發(fā)表的論文中。后人將他和庫塔的理論稱為“庫塔?儒柯夫斯基定理”。

由他們?nèi)斯餐⒌囊硇蜕Νh(huán)流理論的簡要表述是：翼型在靜止的空氣中啟動后尖銳尾緣處出現(xiàn)初始啟動渦，根據(jù)開爾文環(huán)量守恒定律在翼型上產(chǎn)生大小相等、方向相反的渦，稱為附著渦；當(dāng)滿足庫塔條件后啟動渦被沖向下游，附著渦則與翼型一起運動，附著渦引起的環(huán)流產(chǎn)生了升力(圖2)。普朗特用實驗顯示了這一現(xiàn)象，風(fēng)洞測量表明翼型上表面吸力的貢獻遠大于下表面的壓力。

圖2 翼型升力環(huán)流理論

4 普朗特升力線理論

“庫塔?儒柯夫斯基理論”主要適用于二維機翼，即翼展無限長的等截面機翼。實際機翼是有限長且截面沿展向變化的，稱為有限翼展機翼。普朗特在有限翼展機翼的升力理論方面做出了重大貢獻，主要是創(chuàng)建了升力線理論(1911)[3]。如圖3 所示，普朗特假定：(1) 機翼可用一根代表附著渦的升力線代替；(2)升力線各點的環(huán)量和升力可用庫塔?儒柯夫斯基定理確定；(3) 環(huán)量沿升力線發(fā)生變化，產(chǎn)生了向下游沿流線伸展的自由渦；(4)升力線與自由渦渦線構(gòu)成了連續(xù)的馬蹄渦。根據(jù)普朗特的理論，對有限翼展機翼升力問題可以進行數(shù)學(xué)處理。在工程上一方面可以由機翼的幾何參數(shù)及攻角確定升力沿翼展的分布，另一方面根據(jù)升力沿翼展的分布可直接計算馬蹄渦內(nèi)的感生速度以及所需要的能量。因此升力線理論成為中等速度飛機的設(shè)計基礎(chǔ)，并用普朗特的名字命名。

圖3 升力線理論

蘭切斯特在1907 年發(fā)表的《空氣動力學(xué)》中曾提出了有限翼展機翼附著渦的概念，并用圖描繪了翼稍滾卷成稍渦的設(shè)想。對有限翼展機翼理論的貢獻有多少應(yīng)歸功于蘭切斯特曾有過爭論。蘭切斯特在逝世前曾抱怨他的貢獻沒有得到充分承認(rèn)，英國有些人甚至認(rèn)為普朗特偷了蘭切斯特的思想。普朗特在一次演講中反駁了這種議論，他指出：“事實并非如此，早在看到蘭切斯特的著作之前建立這個理論的觀念已經(jīng)在我頭腦中出現(xiàn)了?！币虼艘蛔x到他的著作就立即理解了他的意思，并邀請他來哥廷根交流討論。馮·卡門認(rèn)為事實上兩人走的是不同的途徑。蘭切斯特的觀念很難進行數(shù)學(xué)處理，在表達方式上深奧艱澀，令一般人難以理解。而普朗特則沿著應(yīng)用力學(xué)的思路來描述和處理這一問題，因此獲得了巨大成功。事實上普朗特也肯定了蘭切斯特的成就，他說“你們在英國稱之為‘蘭切斯特?普朗特理論’，這是對的，因為蘭切斯特也獨立地得到了這個結(jié)果的一個重要部分······我們從他的書中也吸取到許多有用的觀念。”