何 笑,王 剛,盧維娜

(新疆師范大學數(shù)學科學學院,新疆 烏魯木齊 830017)

小波分析[1]具有良好的局部化能力和多分辨率分析能力,它是在Fourier分析的基礎上發(fā)展而來的一種新的時頻分析工具。同時其具有提供時間和頻率分析能力,也是信號處理中的有力工具[1-6]。已知利用濾波可以從復雜的信號中提取所需要的信息,而濾波器同樣具備一些重要的性質[7-9]。但是同時具有正交性、緊支撐和對稱性這些性質的小波只有Haar小波[1-10]。與雙正交提升方案相同,二進提升方案[1]使小波分析的應用領域得到了拓展,其可根據(jù)實際需求構造不同的二進小波或雙正交小波。研究從消失矩的條件出發(fā),根據(jù)該方案提出了一種新的提升二進小波濾波器的構造方法,并且將所構造的濾波器應用于圖像增強中。實驗表明圖像的信息熵、清晰度以及峰值信噪比都有了明顯提高,對圖像質量的改善有了一定的幫助,提高了圖像的利用價值。

1 二進提升方案

(1)

(2)

2 B-樣條二進小波的構造

所提方法是Mallat提出的構造方法[1]的推廣,m次B-樣條函數(shù)φ(t)是特征函數(shù)χ[0,1](t)與其自身的m+1次卷積的平移,即

φ(t)=χ*χ*…*χ[0,1](t),

(3)

其傅里葉變換為

那么,由二尺度關系可得

(4)

(5)

由式(2)可得

(6)

所以由式(1)可得

(7)

尺度函數(shù)φ(t)與小波函數(shù)ψ(t)在r=2,m=3時的B-樣條二進小波濾波器的系數(shù)見表1。初始尺度函數(shù)φ(t)與小波ψ(t)的圖形見圖1。

表1 r=2,m=3時的B-樣條初始二進小波濾波器的系數(shù)

圖1 初始尺度函數(shù)φ(t)與小波ψ(t)的圖形Fig.1 Graph of initial scaling function φ(t) and wavelet ψ(t)

3 二進提升小波的構造

3.1 構造定理

根據(jù)文獻[1]中提出的二進提升方案,調整方案中自有參數(shù)的形式,可以構造滿足某種特性的B-樣條二進小波濾波器。

(8)

(9)

(2) 若二進小波分解高通濾波器g0有p階消失矩,則提升后的二進小波分解高通濾波器g有至少p+1階消失矩的充分條件是

反復應用該定理,q(q>p)階消失矩的二進分解高通濾波器可以被構造出。

3.2 提升二進小波的構造

以r=2,m=3構造的新的B-樣條二進小波濾波器作為初始濾波器,利用定理1可得到具有更高階消失矩的提升二進小波。

表2 一次提升二進小波濾波器的系數(shù)

圖2 一次提升后的對應的2個尺度函數(shù)和小波的圖形Fig.2 The corresponding two scale functions and wavelet after improvement once

同樣,繼續(xù)應用此定理可得到具有更高階消失矩的二進小波濾波器。從表1～表3可以得出,所構造的提升二進小波濾波器的消失矩的階數(shù)有了明顯的提高。

表3 二次提升二進小波濾波器的系數(shù)

圖3 二次提升后的對應的2個尺度函數(shù)和小波的圖形Fig.3 The corresponding two scale functions and wavelet after improvement twice

4 算法實現(xiàn)

4.1 低頻系數(shù)增強處理

經二進小波變換后產生的低頻子帶會對原圖的對比度造成很大的影響,使用單尺度Retinex算法[11-12]改善圖像亮度分布均勻性,提高圖像的整體對比度,基本思路是:構造高斯環(huán)繞函數(shù),然后利用高斯環(huán)繞函數(shù)對圖像的3個色彩通道分別進行濾波,濾波后的圖像就是估計的光照分量,接著在對數(shù)域中對原始圖像和光照分量進行相減得到反射分量作為輸出結果圖像,其具體的表達式為

log(fi(x,y))-log(fi(x,y)*G(x,y)),

(10)

其中:f(x,y)為原始圖像;R(x,y)為反射分量;L(x,y)為光照分量;ri(x,y)表示第i個色彩通道的反射圖像;*代表卷積;G(x,y)為高斯環(huán)繞函數(shù),G(x,y)的構造為

(11)

其中:σ為高斯環(huán)繞的尺度函數(shù)。

4.2 高頻系數(shù)降噪處理

在二進小波域中,高頻部分中的許多重要信息被噪聲淹沒,需使用能降低高頻成分幅度的濾波器減弱噪聲的影響,從而獲得有用的信息。研究選擇中值濾波[12]來處理高頻部分的噪聲,即在每一幅高頻圖像中取9個像素點,即3×3的矩陣,將9個像素值進行排序,最后將這個矩陣的中心點賦值為這9個像素的中值,如圖4所示。

5 實驗過程

為了驗證所構造的濾波器在圖像增強中的應用效果,選取實驗平臺為MATLAB R2016a,實驗對象是2組大小為256*256,jpg格式的渾濁水域中的彩色水下圖片。

5.1 實驗步驟

(1) 對彩色圖像的3個通道分別進行二進小波變換一層分解,分別選取表1～表3的數(shù)據(jù)作為分解與重構濾波器;

(2) 利用式(10),對分解后的低頻圖像進行處理,實驗表明σ=80效果好;

(3)對分解后的高頻部分分別使用掩模大小為5×5的中值濾波消噪處理;

(4) 再次選取表1～表3的數(shù)據(jù)作為重構濾波器,對處理后的高頻與低頻部分進行二進小波逆變換;

(5) 最后對重構的3個通道進行灰度拉伸再融合,得到目標圖像。

5.2 實驗分析

2組實驗的結果分別如圖5、圖6所示。觀察原始圖像可以發(fā)現(xiàn),水體很渾濁,噪聲很大,圖像的細節(jié)信息非常模糊,顏色失真情況很嚴重,存在嚴重的偏綠、偏藍色調現(xiàn)象,不利于人眼觀測,從而很難獲取有用的信息,使得圖像的利用價值很低。而使用新構造的濾波器對原始圖像進行分解與重構,在第1組實驗中,圖5(b)中最大的變化就是偏綠色調已經不存在,圖像中的水體變得清晰了,魚群和魚身上的顏色條紋可以清晰可見;圖5(c)中除了偏綠色調消失、魚和魚身上的顏色條紋清晰可見外,相比圖5(b),魚群的背景有了一定的提亮;圖5(d)包含了圖5(b)和5(c)中所有的優(yōu)點,另外,圖5(d)中右上角部分亮度比圖5(b)和5(c)中的亮度有所提高。在第2組實驗中,如圖6(b)所示,圖像中的水體變得清晰了,偏藍色調不存在,魚的輪廓邊緣,尤其是魚嘴部分,清晰可辨,魚身上的顏色條紋非常清晰,局部過亮和光暈現(xiàn)象也沒有發(fā)生;圖6(c)中除圖6(b)所包含的信息,其右上角部分更加清晰;同樣,圖6(d)中除圖6(b)和圖6(c)所包含的信息外,圖中的海藻背景更加明亮。從圖5、圖6可知,所構造的濾波器處理的圖像其共同點就是偏藍、偏綠色調現(xiàn)象不在出現(xiàn),水體變得清晰,魚的輪廓與魚身上的顏色條紋清晰可見,背景里的海藻顏色和背景都有了一定的提亮,可見所構造的濾波器豐富了圖像的信息,凸顯了圖像的細節(jié)信息,改善了圖像的顏色失真情況,減少了噪聲對圖像質量的影響,非常利于人眼觀測。

圖4 中值濾波原理Fig.4 Schematic diagram of median filtering

圖5 第1組實驗結果Fig.5 The first set of experimental results

圖6 第2組實驗結果Fig.6 The second set of experimental results

為進一步說明構造的濾波器的有效性,同時避免主觀分析帶來的經驗主義,選取圖像的信息熵、清晰度和峰值信噪比作為客觀評價標準(見表4)。

表4 增強方法的客觀評價標準

6 結語

研究利用消失矩條件,對構造定理進行應用,構造了提升二進小波濾波器。根據(jù)表4中的數(shù)據(jù)可知,所提升的濾波器處理的圖像在信息熵、清晰度以及峰值信噪比方面有了明顯的提高,說明圖像的質量有了一定的改善,圖像的利用價值也有了一定的提高,說明該濾波器可適于圖像增強方面,但是觀察第1組實驗結果可以發(fā)現(xiàn),提升后的濾波器處理的圖像,其邊緣存在模糊現(xiàn)象,對人的視覺觀測有一定的影響,可見所構造的濾波器在圖像增強方面還是存在問題,因此在實際應用中還需進一步的研究。