楊雨詩， 安東琦， 倪卓凡， 李 銳

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024)

1 引 言

角點支承的矩形薄板作為一種常見結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)、機械構(gòu)件和航空航天器等工程實際。板的屈曲作為典型的力學(xué)失效形式之一，在過去幾十年受到了廣泛關(guān)注，該類問題的解析求解在理論與實際中都具有重要意義。對于板的線性屈曲問題，核心是在給定的邊界條件下，通過求解高階偏微分控制方程，得到對結(jié)構(gòu)設(shè)計具有重要參考價值的屈曲載荷和相應(yīng)的屈曲模態(tài)。然而，由于數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性，許多問題難以得到同時滿足高階偏微分方程和邊界條件的解析解。現(xiàn)有的矩形板的屈曲解析解主要局限于兩對邊簡支的情況，即Lévy型板，而對于角點支承條件下的非對邊簡支的矩形板，絕大部分研究都是基于有限差分法[1]、微分求積法[2]、離散奇異卷積法[3,4]、無網(wǎng)格法[5]和廣義伽遼金法[6]等近似/數(shù)值方法，而關(guān)于解析方法和解析解的報道較少。

鐘萬勰院士[7-9]將辛數(shù)學(xué)思想引入彈性力學(xué)中，為彈性力學(xué)求解開辟了新思路，由此產(chǎn)生的辛彈性力學(xué)方法已在結(jié)構(gòu)皺褶[10]、斷裂[11]和彈性波[12]等眾多領(lǐng)域中得到了充分的應(yīng)用。在辛彈性力學(xué)的基礎(chǔ)上，李銳等[13-17]針對復(fù)雜板殼力學(xué)問題提出了一種新的解析方法，即辛疊加方法，獲得了若干板殼結(jié)構(gòu)彎曲、振動和屈曲問題的新解析解。辛疊加方法的基本思想是將待解決的問題轉(zhuǎn)化為幾個可由辛數(shù)學(xué)法求解的子問題的疊加。該方法的求解過程是在基于辛空間的哈密頓體系中進行，而不是在傳統(tǒng)的基于歐幾里德空間的拉格朗日體系中進行；解析解是通過直接的嚴格推導(dǎo)得到，不需要對解的形式做任何假定，這是經(jīng)典的半逆方法難以做到的；同時，該方法規(guī)避了單純采用辛數(shù)學(xué)方法出現(xiàn)的本征方程難以解析求解等瓶頸，在解析求解含有復(fù)雜邊界的板殼振動和屈曲問題中具有獨特優(yōu)勢。

本文首次采用辛疊加方法解析求解四角點支承四邊自由矩形薄板的屈曲問題——由于邊界條件的復(fù)雜性，此類問題是各類邊界條件下矩形薄板問題中最難求解的情況之一。給出了不同長寬比和不同載荷比情況下四角點支承四邊自由矩形薄板屈曲問題的算例，結(jié)果表明，無論是屈曲載荷還是相應(yīng)的屈曲模態(tài)，本文方法得到的結(jié)果均與精細有限元分析結(jié)果吻合很好，從而證明了本文方法以及所得解析解的正確性。

2 矩形薄板屈曲問題的Hamilton體系控制方程與本征問題

利用Hellinger-Reissner兩類變量的變分原理，并結(jié)合拉格朗日乘子法[18]，在區(qū)域Ω內(nèi)可以由變分原理(1)描述薄板的屈曲問題[19]，

(1)

通過對獨立變量w，θ，T和My進行變分，由δΠH=0可得

(2)

式(2)可表示為

(3)

(4)

(5，6)

(7)

展開得

(8)

解得

λ1，2=±a1i,λ3，4=±a2i

(9)

由式(9)得式(6)的w(x)的本征解為

w(x)=Acos(a1x)+Bsin(a1x)+

Ccos(a2x)+Fsin(a2x)

(10)

式中A，B，C和F為常數(shù)。

3 四角點支承四邊自由矩形薄板屈曲問題的辛疊加解析解

為求解四角點支承四邊自由薄板的屈曲問題(原問題)，需要通過辛方法先求解出基本子問題的解析解，再通過疊加法尋求原問題的解析解。圖1為辛疊加圖解，坐標系的原點位于板的一角，板的長度為a，寬度為b，坐標軸ox和oy分別與板的左邊和上邊重合，如圖1(a)所示。原問題可以轉(zhuǎn)化為兩個子問題的疊加，分別如圖1(b，c)所示，其中P為角點支承，F(xiàn)表示自由，S表示簡支。

圖1 辛疊加

原問題的邊界條件為在四個角點上滿足點支承條件，即

w|(0,0), (0,b),(a,0),(a,b)=0

(11)

在四條邊上，滿足自由邊界條件，即

Vy|y =0,b=0,My|y = 0,b=0

Vx|x = 0,a=0,Mx|x = 0,a=0

(12)

兩個子問題中板的初始邊界條件均為四邊簡支，滿足邊界條件：

w|y = 0,b=0,My|y = 0,b=0

w|x = 0,a=0,Mx|x = 0,a=0

(13)

先以圖1(b)表示的子問題(1)為例進行求解。對于x=0和x=a邊簡支的矩形薄板，其在該兩邊的邊界條件要求：

w(x)|x = 0,a=w″(x)|x = 0,a=0

(14)

將式(10)代入式(14)，板發(fā)生屈曲要求常數(shù)A,B,C和F不全為0，即要求式(14)方程組存在非零解，因此要求上述方程組的系數(shù)矩陣行列式為0，即可得

sin(aa1)sin(aa2)=0

(15)

其根為

a1,2=±m(xù)π/a

(16)

式中m=1,2,3,…。于是可以解得本征值為

(17)

本征向量為

(18)

(19)

式中Cm i(m=1,2,3,…;i=1,2,3,4)為待定常數(shù)，可以根據(jù)y方向的邊界條件確定。原問題拆分成子問題后，需在子問題(1)的y方向強加位移，對應(yīng)的邊界條件為

(20)

將式(19)代入式(20)，即可確定子問題(1)的模態(tài)位移表達式為

(21)

對于圖1(c)表示的子問題(2)，求解過程與子問題(1)類似，對應(yīng)的板的模態(tài)位移為

(22)

通過上述推導(dǎo)，得到了兩個子問題的模態(tài)位移解，其他各物理量，如彎矩和轉(zhuǎn)角等都可以相應(yīng)地導(dǎo)出。待定參數(shù)Em,Fm,Gn和Hn需根據(jù)子問題的疊加與原問題的等價性確定。根據(jù)四角點支承四邊自由矩形薄板的邊界條件，要求四個角點上的位移為0，子問題疊加后，無論待定參數(shù)Em,Fm,Gn和Hn取何值，角點位移為0的條件均已滿足；要求沿y=0,y=b,x=0和x=a四條自由邊，均滿足彎矩和等效剪力為0。子問題疊加后，彎矩為0的條件已經(jīng)滿足，只需再滿足等效剪力邊界條件即可。

(23)

(24)

(25)

(26)

式(23～26)為無窮聯(lián)立方程，實際取有限項，如取m=1,2,3,…,nt,n=1,2,3,…,nt。板發(fā)生屈曲要求待定系數(shù)Em,Fm,Gn和Hn不全為0，即要求式(23～26)組成的聯(lián)立方程存在非零解，因此要求上述方程組的系數(shù)矩陣行列式為0，從而給出關(guān)于屈曲載荷的方程，求解即得到屈曲載荷解。確定屈曲載荷后，即可得到上述方程組的非零解，一并代回式(21,22)并求和，即得到對應(yīng)的屈曲模態(tài)。

4 算 例

表1和表2給出了四角點支承四邊自由矩形薄板屈曲載荷的收斂性結(jié)果。結(jié)果表明，對于當前問題，只需取nt=35,即可使所有計算結(jié)果均收斂到五位有效數(shù)字的精度，因此在實際計算中取nt=35。表3和表4分別給出了長寬比為1和2的四角點支承四邊自由矩形薄板的屈曲載荷，其中載荷比從0至5取整數(shù)，泊松比取0.3。通過與精細有限元分析(采用ABAQUS軟件中S4R單元，單元尺寸0.005a)獲得的收斂結(jié)果對比可見，所有當前結(jié)果均與有限元結(jié)果吻合得很好。表5給出了b/a=1,Nx/Ny=1時四角點支承四邊自由矩形薄板的前十階屈曲模態(tài)，對比發(fā)現(xiàn)，辛疊加方法也能精確求出屈曲模態(tài)。上述算例充分證實了本文求解方法的正確性和所得解析結(jié)果的精確性。

表1 b/a=1,Nx/Ny=0時板的前十階屈曲載荷收斂性結(jié)果Tab.1 Convergence study for the first ten buckling the plates under Nx/Ny=0,with b/a=1

表2 b/a=2,Nx/Ny=5時板的前十階屈曲載荷收斂性結(jié)果Tab.2 Convergence study for the first ten buckling the plates under Nx/Ny=5,with b/a=2

表3 b/a=1時不同Nx/Ny下板的前十階屈曲載荷Tab.3 First ten buckling the plates under different Nx/Ny,with b/a=1

表4 b/a=2時不同Nx/Ny下板的前十階屈曲載荷Tab.4 First ten buckling the plates under different Nx/Ny,with b/a=2

表5 b/a=1,Nx/Ny=1時板的前十階屈曲模態(tài)Tab.5 First ten buckling mode shapes of the plates under Nx/Ny=1 and b/a=1

5 結(jié) 論

本文采用辛疊加方法得到了單向和雙向面內(nèi)載荷作用下,四角點支承四邊自由矩形薄板屈曲問題的新解析解。給出了不同長寬比和不同載荷比情況下板的屈曲載荷和屈曲模態(tài)的綜合結(jié)果，可為其他各類近似/數(shù)值方法提供對比和檢驗的基準。由于辛疊加方法對解的形式不做任何假定，自始至終都是嚴格的解析推導(dǎo)，因此有望進一步推廣，得到更多復(fù)雜板殼問題的新解析解。