潘陳蓉， 陳松林

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，馬鞍山 243002)

1 引 言

近幾十年來(lái)，學(xué)者們?cè)谏鐣?huì)科學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域建立了許多非線性數(shù)學(xué)模型，并提出了許多求解非線性波動(dòng)方程的方法。如齊次平衡法[1-3]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[4,5]和直接代數(shù)法[6,7]等。Klein-Gordon方程是著名的非線性波動(dòng)方程，在力學(xué)、非線性光學(xué)、旋轉(zhuǎn)波和一些數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中[8-12]，有著非常重要的研究和應(yīng)用價(jià)值。

目前，已有眾多學(xué)者研究了單個(gè)平面波和波-波在波的傳播過(guò)程中的相互作用，Holmes[13]研究了非線性波動(dòng)方程中的波-波相互作用，Zhang等[14]研究了廣義β效應(yīng)下的非線性行星-天氣波相互作用及其解的性態(tài)，李群等[15]研究了內(nèi)孤立波的波-波相互作用，那仁滿都拉[16]研究了流體與固體介質(zhì)中的有限振幅波與孤立波的傳播和相互作用。對(duì)三個(gè)波以上的多波相互作用的研究較少。

本文討論非線性對(duì)多波傳播的影響。選取適當(dāng)?shù)某踔岛鸵攵嘀爻叨?，?duì)Klein-Gordon方程進(jìn)行變形。應(yīng)用多重尺度方法討論三波初值在傳播過(guò)程中的相互作用，根據(jù)三波初值相互作用的研究，得到多波初值在傳播過(guò)程中速度相互影響的定量關(guān)系。最后，應(yīng)用Mathematica數(shù)值求解非線性Klein-Gordon波動(dòng)方程，并作解的波動(dòng)圖和解的首項(xiàng)近似的波動(dòng)圖。由數(shù)值仿真結(jié)果可知，本文使用多重尺度方法獲得的結(jié)果具有較好的精度。

2 研究背景

Holmes[13]研究了非線性波動(dòng)方程中的波-波相互作用，得到雙波傳播過(guò)程中速度相互影響的定量關(guān)系式，所得結(jié)果表明,一個(gè)波的存在會(huì)使得另一個(gè)波的傳播速度超過(guò)獨(dú)自傳播時(shí)的速度。Zhang等[14]研究廣義β效應(yīng)下的非線性行星-天氣波相互作用，通過(guò)使用多重尺度和攝動(dòng)展開的方法，得到了天氣尺度波的修正方程。結(jié)果表明,行星尺度波和天氣尺度波的不對(duì)稱性、強(qiáng)度和持續(xù)性依賴于廣義β效應(yīng)。李群等[15]對(duì)內(nèi)孤立波的波-波相互作用進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果體現(xiàn)了波-波相互作用的非線性特征，即在兩波相交處，相速會(huì)隨著振幅的增大而增大。

考慮非線性波動(dòng)方程

(-∞0)(1)

初值條件為

u(x,0)=F(x), ?tu(x,0)=G(x)

(2)

這是著名的非線性Klein-Gordon方程的初值問(wèn)題，描述的是在彈性基座上弦的振動(dòng)或者冷電子等離子體中的波。本文研究上述問(wèn)題的行波解。首先，考慮當(dāng)ε=0時(shí)得到的線性方程，使用傅里葉變換，得到通解形式為

(3)

設(shè)式(1，2)解的形式漸近展開為

u(x,t)～u0(kx-ωt)+εu1(x,t)+…

(4)

可以看出，若直接尋找式(4)的漸近解，會(huì)導(dǎo)致長(zhǎng)期項(xiàng)。因此，本文使用多重尺度研究非線性對(duì)右行波的影響。對(duì)于單個(gè)波傳播情形，可選取多重尺度

θ=kx-ωt,x2=εx,t2=εt

(5)

(6)

則微分方程(1)化為

(7)

繼而可得不含長(zhǎng)期項(xiàng)的解的多尺度展式

u(x,t)～u0(θ,x2,t2)+εu1(θ,x2,t2)+…

(8)

對(duì)于初始條件中具有多波的情形，多重尺度式(5)和多尺度展式(8)一般無(wú)效。此時(shí)選擇更一般的多重尺度

x1=x,x2=εx,t1=t,t2=εt

(9)

李群等[15]對(duì)內(nèi)孤立波的波-波相互作用進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果表明，在兩波相交處，相速會(huì)隨著振幅的增大而增大。Holmes[13]研究非線性波動(dòng)方程的雙波相互作用，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)某踔岛鸵攵嘀爻叨?，獲得弱非線性Klein-Gordon方程的解的首項(xiàng)近似，得到雙波傳播時(shí)，一個(gè)波的存在會(huì)使另一個(gè)波的傳播速度超過(guò)獨(dú)自傳播時(shí)的速度。本文通過(guò)對(duì)三波情形的研究，討論多波傳播時(shí)行波相互影響的定性與定量關(guān)系。

3 多波相互作用

3.1 三波相互作用

由于在實(shí)際問(wèn)題中常出現(xiàn)初始條件呈現(xiàn)多個(gè)波的情形。為了討論非線性對(duì)波傳播的影響，本文考慮三個(gè)波的情形，為此，假設(shè)初值

u(x,0)=α1cos(k1x)+α2cos(k2x)+α3cos(k3x)

(10)

?tu(x,0)=α1ω1sin(k1x)+α2ω2sin(k2x)+

α3ω3sin(k3x)

(11)

因?yàn)榧僭O(shè)的三個(gè)波是不同的，所以設(shè)k1，k2和k3彼此不等。此時(shí)相應(yīng)的線性方程具有式(12)形式的解

u=α1cos(k1x-ω1t)+α2cos(k2x-ω2t)+

α3cos(k3x-ω3t)

(12)

在多波傳播時(shí)，引入式(9)的多重尺度，則有

(13)

方程(1)化為

u+εu3

(14)

引入其解的多尺度展式

u～u0(x1,t1,x2,t2)+εu1(x1,t1,x2,t2)+…

(15)

代入方程(14)及初始條件(10,11)，平衡其兩邊的O(1)項(xiàng)，可得

u0(x1,0,x2,0)=α1cos(k1x1)+α2cos(k2x1)+

α3cos(k3x1)

?t1u0(x1,0,x2,0)=α1ω1sin(k1x1)+α2ω2sin(k2x1)+

α3ω3sin(k3x1)

于是可得

(16)

A1，A2，A3，θ1，θ2和θ3是關(guān)于x2和t2的任意函數(shù)，要求滿足初始條件，即

A1(x2,0)=α1,A2(x2,0)=α2,A3(x2,0)=α3

θ1(x2,0)=θ2(x2,0)=θ3(x2,0)=0

(17)

再平衡其兩邊的o(ε)項(xiàng)，得

(18)

從式(16)得

(ki?x2+ωi?t2)Ai=0

(19)

(20)

式中i≠j≠k。線性波動(dòng)方程(19)的通解為

Ai=Ai(ωix2-kit2)

(21)

結(jié)合初始條件(17)，Ai為常數(shù)，且Ai=αi，則線性波動(dòng)方程(20)的通解為

(ωjx2-kjt2)+ci(ωix2-kit2)

(22)

式中ci由式(17)決定，從而可得

(23)

結(jié)合初始條件(10，11)，得到弱非線性Klein-Gordon方程的解的首項(xiàng)近似為

u～α1cos(k1x-λ1ω1t)+α2cos(k2x-λ2ω2t)+

α3cos(k3x-λ3ω3t)

(24)

3.2 多波相互作用

仿照三波傳播的討論，一般地，對(duì)于具有n個(gè)初始波的情形

(25)

引入式(9)的多重尺度，可得到方程解的首項(xiàng)近似為

(26)

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證本文多重尺度方法的有效性，在非線性Klein-Gordon方程

(27)

中，取

ε=0.005,α1=α2=α3=1

k1=0.5,k2=1,k3=2

(28)

圖1 非線性Klein-Gordon方程在區(qū)域0< t <3和-10< x <10的波動(dòng)

圖2 非線性Klein-Gordon方程解的首項(xiàng)近似式(21)在區(qū)域0< t <3和-10< x <10的波動(dòng)

5 結(jié) 論

本文討論非線性對(duì)多波傳播的影響。選取合適的初值和引入多重尺度，對(duì)Klein-Gordon波動(dòng)方程進(jìn)行變形。對(duì)三波傳播進(jìn)行討論，引入解的多尺度展式，設(shè)定合適的初始條件，得到方程解的首項(xiàng)近似和三波初值在傳播過(guò)程中的速度相互影響的定量關(guān)系。研究結(jié)果表明，三波傳播時(shí)，其中一個(gè)波傳播的速度受到另外兩個(gè)波的影響，即另外兩個(gè)波的存在會(huì)使得波的傳播速度(相速)超過(guò)獨(dú)自傳播時(shí)的速度(相速)。研究結(jié)果對(duì)多波情形仍然成立，根據(jù)三波初值相互作用的研究，得到各波傳播過(guò)程中的速度相互影響的定量關(guān)系。研究結(jié)果表明，多波初值在傳播過(guò)程中，一個(gè)波的傳播速度會(huì)受到另外多個(gè)波的影響，即另外多個(gè)波的存在會(huì)使得波的傳播速度(相速)超過(guò)獨(dú)自傳播時(shí)的速度(相速)。推廣了Holmes[13]關(guān)于雙波傳播的研究結(jié)果。

本文應(yīng)用Mathematica對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值仿真，根據(jù)波動(dòng)圖可以看出，非線性Klein-Gordon方程的解和方程解的首項(xiàng)近似式(24)是幾乎一致的。結(jié)果表明，本文使用的多重尺度法具有較好的適用性。