方 飛， 夏光輝， 汪 權(quán)， 王建國

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009)

1 引 言

壓電俘能技術(shù)為微機(jī)電子系統(tǒng)自供電提供了一條切實(shí)可行的途徑。對于線性模型，一旦環(huán)境激勵頻率偏離俘能器的共振頻率，環(huán)境振動的機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能的效率將會降低[1-4]。在俘能器設(shè)計(jì)中引入非線性，可以提高俘獲器的效率和拓寬工作頻帶[5-8]。

一些學(xué)者利用線性模型對壓電俘能器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了研究[9-15]。文獻(xiàn)[11]研究了質(zhì)量塊的尺寸、梁的長度、寬度和厚度等幾何參數(shù)對俘能器輸出功率的影響。文獻(xiàn)[12]研究了被動層(基層)厚度與主動層(壓電層)厚度比對俘能效率的影響。文獻(xiàn)[13]通過實(shí)驗(yàn)研究了壓電層厚度和極化條件對俘能器的影響。文獻(xiàn)[14]研究了結(jié)構(gòu)性能與線性俘能器的關(guān)系，通過控制材料特性、結(jié)構(gòu)形式和不同厚度比等參數(shù)實(shí)現(xiàn)俘能器的最佳性能。

本文基于廣義Hamilton原理，考慮幾何非線性和梁的不可伸長條件，建立了直接和參數(shù)激勵作用下俘能器的運(yùn)動微分方程。利用Galerkin法和諧波平衡法得到了俘能器的位移、輸出電壓和輸出功率的解析解。引入隨時間變化的無限小擾動，提出了非線性方程解的穩(wěn)定性條件。假定梁的長度、寬度和厚度不變，研究基層和壓電層的配置方式、基層與壓電層的厚度比和彈性模量對俘能器性能的影響。

2 力學(xué)模型

對于共振條件下線性懸臂式壓電俘能器，文獻(xiàn)[14]提出最優(yōu)俘獲功率P具有如下形式，

(1)

P∝A2ωnYI/(4L4ζ)

(2)

式中YI為梁的等效彎曲剛度。當(dāng)梁的長度、寬度、厚度、阻尼比、激勵幅值A(chǔ)和自然頻率ωn不變時，式(2)表明最優(yōu)俘獲功率與YI成正比。等效彎曲剛度YI與壓電復(fù)合梁被動層的配置方式以及基層和壓電層的彈性模量有關(guān)。

圖1(a)表示懸臂式壓電雙晶片俘能器受到水平和垂直激勵。梁由被動層(基層)和主動層(壓電層)組合而成，假設(shè)主動層與被動層緊密結(jié)合，主動層上下表面鋪設(shè)電極，其厚度忽略不計(jì)。主動層上下表面的電極與外部電阻RL采用串聯(lián)方式連接。梁的長度為L，寬度為b，厚度hb=2tp+ts，tp為單層壓電層的厚度,ts 1為位于頂部和底部壓電層的基層厚度，ts 2為位于兩壓電層之間的基層厚度。梁厚度方向的被動層配置形式分為兩種。(1) 五層雙晶片疊合梁(圖1(b))，ts=2ts 1+ts 2為基層的總厚度；(2) 三層雙晶片疊合梁(圖1(c))，ts 1=0，ts=ts 2。

OXY為慣性坐標(biāo)系，梁在固定端水平方向和垂直方向的位移分別為wx(t)和wy(t)。oxy為設(shè)置在固定端的局部坐標(biāo)系，s為沿梁的中性軸的坐標(biāo)，v(s,t)和u(s,t)為沿著y和x方向梁的位移。

基層和壓電層本構(gòu)關(guān)系為[2,3]

(3)

將梁的不可伸長條件(1+u′)2+v′2=1作為約束條件,力電耦合問題變分原理為[8]

(1+u′)2] ds}dt=0

δu(x,t)=δv(x,t)=0

δq(t)=0(0≤x≤L,t=t0,t1)

(4)

式中λ為Lagrange乘子。梁的動能Tk、應(yīng)變能Ue、電能We和外力功的變分δW分別表示為[8]

圖1 壓電懸臂梁的俘能結(jié)構(gòu)模型

(5)

(6)

(7)

(8)

考慮幾何非線性，梁的應(yīng)變表示為

(9)

按照文獻(xiàn)[8]的推導(dǎo)過程，將式(5～8)代入 式(4) 并利用式(3，9), 獲得在直接和參數(shù)激勵作用下，五層壓電雙晶片懸臂式俘能器的運(yùn)動微分方程為

(10)

(11)

α=Ypbd31(ts 2+tp)/2

(12)

式中h=ts 2/2。當(dāng)ts 1=0,ts 2=ts時, 五層壓電疊合梁退化為三層壓電疊合梁，由方程(12)可獲得三層壓電疊合梁的YI和α。

引入如下量綱為一的參數(shù)。

(13)

設(shè)懸臂梁量綱為一的位移函數(shù)為

(14)

考慮諧波激勵

(15)

式中εx為量綱為一的參數(shù)激勵幅值，δy為量綱為一的直接激勵幅值，Ψ為相位角,τ為時間變量。

將式(13～15)代入式(9，10)，并利用Galerkin法和振型函數(shù)的正交性條件，式(9，10)轉(zhuǎn)換為力電耦合的Mathieu-Duffing方程為

(16)

(17)

(18)

式中b1,b2,…,b11為利用Galerkin法將式(10，11)轉(zhuǎn)化為式(17，18)過程中產(chǎn)生的系數(shù)，具體推導(dǎo)及形式見文獻(xiàn)[8]。

3 近似解析解

利用諧波平衡法求解方程(16，17),引入量綱為一的激勵頻率ω，ωh=2ω，ωv=ω，設(shè)穩(wěn)態(tài)位移和電壓響應(yīng)為

A(τ)=a1(τ)sinωτ+c1(τ)cosωτ

(19)

(20)

將式(19,20)代入式(16,17)，比較同階諧波cosωτ和sinωτ的系數(shù)，忽略高階項(xiàng)，得到以向量x=[a1c1a2c2]T為未知量的非線性代數(shù)方程組有

(21)

式中

G=

(22)

(23)

電壓幅值-頻率響應(yīng)為

(24)

功率幅值-頻率響應(yīng)為

(25)

4 解的穩(wěn)定性分析

式(23)的解可能包含不穩(wěn)定解，因此需要建立解的穩(wěn)定性條件。利用矩陣G的逆矩陣，式(21)可表示為

(26)

為了確定由式(23)求出穩(wěn)態(tài)解xs的穩(wěn)定性，本文添加一個無限小擾動，然后確定擾動是增長還是衰減。設(shè)

x=xs+δx

(27)

式中xs為穩(wěn)態(tài)解，δx為隨時間變化的無限小擾動。將式(27)代入式(26)得

(28)

利用泰勒公式展開式(28)的右端，忽略含有(δx)2和(δx)3及以上各項(xiàng)，得

(29)

考慮式(26)在xs處的表達(dá)式，然后將式(29)與式(26)相減，得到一組變量為δx的線性常系數(shù)常微分方程為

(30)

設(shè)無限小擾動具有如下形式

δx=Cexpλτ

(31)

式中C為常數(shù)向量。將式(31)代入式(32)，可獲得判定穩(wěn)態(tài)解是否穩(wěn)定的方法，即求解Jacobian矩陣

J=?P/?x|x =xs

(32)

獲得在穩(wěn)態(tài)解xs處的特征值λ。解的穩(wěn)定性判別條件為，若特征值λ的實(shí)部均為負(fù)值，則相應(yīng)的解是穩(wěn)定的，否則為不穩(wěn)定解。

5 數(shù)值分析結(jié)果與討論

在不改變俘能器的幾何尺寸(梁的長度、寬度和厚度)前提下，研究材料常數(shù)、被動層(基層)與主動層(壓電層)的厚度比rs p=ts/2tp以及被動層配置的厚度比rs=2ts 1/(2ts 1+ts 2)對俘能性能的影響。取Ψ=0，相關(guān)幾何和材料參數(shù)為

L=50 mm,b=20 mm

hb=0.6 mm，εx=δy=0.0165

5.1 厚度比rs p參數(shù)對俘能效果的影響

針對三層壓電雙晶片疊合梁(rs=0)，圖2采用鈷合金作為被動層，圖3采用鋼作為被動層，取不同的阻抗RL，獲得不同厚度比rs p情況下的功率頻響曲線。以實(shí)線表示穩(wěn)定解，虛線表示非穩(wěn)定解?？梢钥闯?，隨著rs p的增加，功率峰值先升后降，存在最優(yōu)厚度比rs p使系統(tǒng)俘獲能量達(dá)到最優(yōu)值。鈷合金與壓電材料具有相同的密度和相近的彈性模量，對于不同的rs p，峰值輸出功率均較小。鋼材與壓電材料具有相近的密度，但鋼材彈性模量大于壓電材料彈性模量，對于不同的rs p，峰值輸出功率較大。由此得到如下結(jié)論，采用高彈性模量材料作為被動層，提高了壓電復(fù)合梁的等效剛度，獲得了較大的峰值輸出功率。該結(jié)論與方程(2)的理論預(yù)測一致。

圖2 鈷合金作為基層功率隨rs p變化頻響曲線(RL=100 k Ω，)

圖3 鋼作為基層功率隨rs p變化頻響曲線

從圖2和圖3可以看出，對于不同被動層材料和不同阻抗，輸出功率是不同的，但均存在最優(yōu)的基層與壓電層的厚度比rs p，但最優(yōu)的rs p不同。

圖4為采用鈷合金和鋼材作為被動層的壓電俘能器峰值功率隨阻抗的變化曲線，圖4的橫坐標(biāo)為常用對數(shù)坐標(biāo)。峰值功率通過掃頻獲得。對于不同的阻抗，產(chǎn)生峰值功率所對應(yīng)的頻率是不同的?？梢钥闯?，鈷合金與壓電材料具有相近的彈性模量和密度，對于不同厚度比，峰值輸出功率的最大值變化很?。讳摬呐c壓電材料密度相近，彈性模量差異較大，對于不同厚度比，峰值功率的最大值變化很大。

由圖4可知，當(dāng)被動層與主動層材料的彈性模量和密度相近時，厚度比rs p對峰值功率的最大值的影響較??；被動層與主動層材料的彈性模量相差較大時，厚度比rs p對峰值功率的最大值的影響較大。在俘能器設(shè)計(jì)中需要仔細(xì)選擇厚度比rs p和阻抗，以確保俘能器的輸出功率達(dá)到最大。

5.2 被動層配置的厚度比對俘能器性能的影響

針對五層壓電雙晶片疊合梁進(jìn)行研究，并與三層壓電雙晶片疊合梁俘能效果進(jìn)行了分析對比。設(shè)梁的總厚度為常量，被動層與主動層厚度比rs p=2，研究被動層配置的厚度比rs=2ts 1/(2ts 1+ts 2)對俘能效果的影響。rs的取值范圍為0～1，當(dāng)ts 1=0時，rs=0，五層壓電雙晶片疊合梁退化為三層壓電雙晶片疊合梁。

圖4 不同材料作為基層時峰值功率隨RL變化曲線

圖5采用鈷合金作為被動層，圖6采用鋼作為被動層，令rs p=2，短路諧振RL=500 Ω和開路諧振RL=100 k Ω時，得到不同被動層厚度比rs影響下系統(tǒng)的功率頻響曲線，可以看出，隨著rs的增加，不論是在短路諧振還是開路諧振，部分曲線存在非線性多值性，功率峰值先升后降，存在一個最優(yōu)厚度比rs，使系統(tǒng)俘獲能量達(dá)到最大值。

圖5 鈷合金作為基層時功率隨rs變化頻響曲線(rs p=2)

圖6 鋼作為基層時功率隨rs變化頻響曲線(rs p=2)

圖7和圖8的橫坐標(biāo)為常用對數(shù)坐標(biāo)。采用鈷合金作為被動層材料，圖7為對應(yīng)于rs p=2和不同的rs的峰值輸出功率隨負(fù)載電阻RL的變化曲線。可以看出，對應(yīng)于不同rs的峰值輸出功率，隨負(fù)載電阻RL的變化曲線存在兩種不同的情況。(1) 當(dāng)rs=0,0.25,0.5，0.75時,曲線具有兩個峰值；(2) 當(dāng)rs=1時，曲線僅有一個峰值，且隨著rs的增大峰值輸出功率變化不大，但對應(yīng)負(fù)載阻抗不同。

采用鋼作為被動層材料，圖8為對應(yīng)于不同rs的峰值輸出功率隨負(fù)載電阻RL的變化曲線，隨著rs的增大共振峰值增大，rs=0.75時峰值最大。可以看出，當(dāng)rs p=2時，曲線存在兩種不同的情況。(1) 當(dāng)rs=0,0.25,0.5時,曲線具有兩個峰值；(2) 當(dāng)rs=0.75，1.0時，曲線僅有一個峰值。

圖7 鈷合金作為基層時峰值功率隨RL變化曲線(rs p=2)

圖8 鋼作為基層時峰值功率隨RL變化曲線(rs p=2)

由圖7和圖8可知，采用鈷合金作為被動層材料，被動層與主動層具有相近的彈性模量，厚度比rs對梁的剛度影響較小，因而對峰值輸出功率的最大值影響不大；采用鋼作為被動層材料，被動層與主動層的彈性模量相差較大，厚度比rs對梁的等效剛度影響較大，因而提高了峰值輸出功率。上述結(jié)論與方程(2)的理論預(yù)測一致，這也驗(yàn)證了理論模型的正確性。rs=0時，五層壓電雙晶梁退化為常規(guī)的三層壓電雙晶梁。從圖5～圖8可以看出，五層壓電雙晶片疊合梁俘能效率明顯高于三層壓電雙晶片疊合梁。通過合理選擇rs，可以提高俘能效率。

6 結(jié) 論

(1) 建立了直接和參數(shù)激勵作用下非線性五層壓電雙晶片疊合梁俘能器的運(yùn)動微分方程。利用Galerkin法和諧波平衡法獲得了俘能器的解析解。引入隨時間變化的無限小擾動，提出了非線性方程解的穩(wěn)定性條件。

(2) 當(dāng)被動層的彈性模量大于主動層的彈性模量時，選擇合理的被動層和主動層厚度比rs p，提高了壓電復(fù)合梁的等效剛度，可以獲得較大的峰值輸出功率，改善了俘能器的俘能效率。

(3) 在厚度相同的條件下，合理選擇rs和rs p可以提高梁的等效剛度，五層雙晶片俘能器的俘能效率優(yōu)于三層雙晶片俘能器。