薛 麗

( 1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 信息管理學(xué)院,河南 鄭州 450046; 2.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部,天津 300072)

0 引言

統(tǒng)計(jì)過程控制(SPC)和維修決策是生產(chǎn)制造的重要工具，它們有助于提升生產(chǎn)過程的產(chǎn)品質(zhì)量，降低控制成本[1]。在統(tǒng)計(jì)控制過程中，控制圖被廣泛地用來監(jiān)控過程波動(dòng)，當(dāng)過程出現(xiàn)小波動(dòng)時(shí)，EWMA控制圖比傳統(tǒng)的休哈特控制圖有著更好的監(jiān)控效果[2]。為了提高控制圖的監(jiān)控效率，Saccucci等人于1992年提出可變抽樣區(qū)間EWMA控制圖[3]，研究結(jié)果表明可變抽樣區(qū)間的EWMA控制圖的監(jiān)控效率明顯優(yōu)于固定抽樣區(qū)間的EWMA控制圖。隨后，許多學(xué)者對(duì)它進(jìn)行了研究[4～7]。其中，為了降低VSI EWMA 控制圖監(jiān)控過程的費(fèi)用成本，Chou & Chen研究了質(zhì)量特性值服從正態(tài)分布時(shí)，可變抽樣區(qū)間的EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)[8]，根據(jù)Lorenzen & Vance模型[9]建立其經(jīng)濟(jì)模型。

基于產(chǎn)品生產(chǎn)過程中自動(dòng)化和機(jī)器化的不斷增加，生產(chǎn)流程也從人工到機(jī)器發(fā)生不斷的轉(zhuǎn)變。因此，設(shè)備狀況在控制數(shù)量、質(zhì)量及成本方面所扮演的角色日益重要。盡管工業(yè)界和學(xué)術(shù)界早已認(rèn)識(shí)到設(shè)備維修和過程質(zhì)量之間的緊密聯(lián)系[10]，但將設(shè)備維修決策與過程質(zhì)量控制決策相互整合的研究近期才引起學(xué)者的廣泛關(guān)注[11～14]。另一方面，由于測(cè)量費(fèi)用很高，質(zhì)量損失函數(shù)得到廣泛的應(yīng)用，它強(qiáng)調(diào)質(zhì)量輸出與目標(biāo)值的偏離帶來的損失，而傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)模型較少考慮這部分損失。因此, 為了提高過程監(jiān)控效率的同時(shí)降低過程控制成本，本文將預(yù)防維修和VSI EWMA控制圖進(jìn)行聯(lián)合經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)，建立基于質(zhì)量損失函數(shù)和預(yù)防維修的VSI EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)模型。

1 可變抽樣區(qū)間EWMA均值控制圖

設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ。當(dāng)過程處于受控狀態(tài)時(shí)，μ=μ0,σ=σ0(μ0和σ0分別為過程均值和標(biāo)準(zhǔn)差的目標(biāo)值)；當(dāng)過程發(fā)生變化時(shí)，σ保持不變，μ=μ0+δσ。設(shè)Xi1,Xi2,…,Xin為第i時(shí)刻所抽取的容量為n的獨(dú)立同分布的樣本，則正態(tài)分布下的EWMA均值圖的統(tǒng)計(jì)量為:

(1)

UCL=μ0+kσZ

(2)

LCL=μ0-kσZ

(3)

UWL=μ0+wσZ

(4)

LWL=μ0-wσZ

(5)

其中w是EWMA控制圖警戒限的系數(shù)，且0h2>0，若樣本點(diǎn)落在安全域(LWL≤Zi≤UWL),則下一個(gè)抽樣區(qū)間為h1；若樣本點(diǎn)落在警戒域(UWLUCL或Zi

2 經(jīng)濟(jì)模型建立

在建立經(jīng)濟(jì)模型之前，有以下幾個(gè)假設(shè)：

(1)過程一開始處于受控狀態(tài)μ=μ0；

(2)過程標(biāo)準(zhǔn)差σ不變；

(3)質(zhì)量特性值服從正態(tài)分布即X～N(μ,σ2)；

(4)若異常原因發(fā)生，過程均值變化到μ=μ1=μ0+δσ;

(5)過程失控前的受控狀態(tài)時(shí)間服從參數(shù)為λ指數(shù)分布；

(6)在生產(chǎn)過程中只有一個(gè)異常原因，且抽樣時(shí)異常原因不發(fā)生；

(7)該過程的轉(zhuǎn)變是瞬間的，它不可能自動(dòng)回到受控狀態(tài)；

(8)當(dāng)樣本點(diǎn)落在控制圖的警戒域時(shí)，立即進(jìn)行預(yù)防維修。

2.1 過程循環(huán)周期T的確定

將過程循環(huán)周期定義為從進(jìn)入受控狀態(tài)開始到失控，調(diào)查并消除系統(tǒng)原因所經(jīng)歷的時(shí)間。整個(gè)循環(huán)周期的期望由以下四部分組成：(1)受控階段的時(shí)間；(2)從失控開始到發(fā)出失控警報(bào)的時(shí)間；(3)抽樣和作圖的時(shí)間；(4)尋找異常原因和糾正過程的時(shí)間。則過程循環(huán)周期T的公式如下：

T=1/θ+(1-r1)st0/ANSS0+ATS1-τ+t1+t2+ng

(6)

其中t0為尋找每個(gè)錯(cuò)誤警報(bào)的平均時(shí)間；

ANSS0為過程受控時(shí)報(bào)警所需的平均樣本個(gè)數(shù)；

s為過程受控時(shí)抽取樣本的期望值，且s=e-θh0/(1-e-θh0)≈1/θh0；

h0為平均抽樣區(qū)間，h0=ATS0/ANSS0，其中ATS0為過程受控時(shí)，VSI EWMA控制圖的平均報(bào)警時(shí)間；

ATS1為過程失控時(shí)，VSI EWMA控制圖的平均報(bào)警時(shí)間；

t1為發(fā)現(xiàn)異常原因的平均時(shí)間；

t2為糾正過程的平均時(shí)間；

g為每次抽樣和作圖的平均時(shí)間；

n為樣本容量。

用馬爾科夫鏈法可以得出ATS0和ATS1的計(jì)算公式如下：

(7)

其中bj(j=1,…,2m+1)為統(tǒng)計(jì)量Zi處于狀態(tài)Ej時(shí)所取的抽樣間隔，當(dāng)狀態(tài)Ej為安全域時(shí)，bj=h1；當(dāng)狀態(tài)Ej為警戒域時(shí)，bj=h2。定義：

Q=[qij](2m+1)×(2m+1)=(I-P)-1

(8)

P=[pij](2m+1)×(2m+1)

(9)

(10)

同理,

(11)

(12)

同理，用馬爾科夫鏈法可以得出ANSS0的計(jì)算公式如下：

(13)

其中，qij的公式與ATS0中的qij定義一樣，如式(8)、(9)、(10)。

2.2 損失成本函數(shù)L的確定

在一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)，損失成本包括以下四方面： (1)發(fā)生錯(cuò)誤警報(bào)的損失成本，抽樣、檢查、作圖以及發(fā)現(xiàn)異常原因糾正過程的損失成本L1；(2)預(yù)防維修的成本L2；(3)過程失控時(shí)的損失成本L3；(4)過程失控時(shí)的損失成本L4。

(1)令d為每個(gè)錯(cuò)誤警報(bào)發(fā)生的平均成本，W為發(fā)現(xiàn)及糾正一個(gè)異常原因平均成本，a為每個(gè)樣本的固定費(fèi)用，b為單元的抽樣費(fèi)用，則

(14)

(2)令Cpm為每次預(yù)防維修的損失成本，則

(15)

其中p00和p01分別為過程受控時(shí)樣本落在安全域和警戒域的概率,p10和p11分別為過程失控時(shí)樣本落在安全域和警戒域的概率。

(3)假設(shè)質(zhì)量特性值的規(guī)格限是m±Δ，這里m是目標(biāo)值，Δ是容差，M是產(chǎn)品不合格時(shí)的損失，則損失函數(shù)的系數(shù)值為M/Δ2。假定過程仍處于受控狀態(tài)，dv是均值和目標(biāo)值之間的偏差，dv=|μ-m|，σ為過程標(biāo)準(zhǔn)差，則

(16)

其中y為單位時(shí)間的生產(chǎn)數(shù)量。

(4)當(dāng)異常原因發(fā)生，過程處在失控狀態(tài)時(shí)，產(chǎn)生的平均社會(huì)損失L4可表示為：

(17)

由公式(14)，(15)，(16)和(17)可知損失成本函數(shù)L的公式如下：

L=L1+L2+L3+L4

(18)

2.3 單位時(shí)間的損失成本函數(shù)ETL的確定

由公式(13)和(18)可知單位時(shí)間的損失成本函數(shù)ETL的公式如下：

ETL=L/T

(19)

通過前面的討論可知單位時(shí)間的損失成本ETL是關(guān)于參數(shù)(n,h1,h2,k,w,λ)的函數(shù)，基于損失函數(shù)和預(yù)防維修的VSI EWMA控制圖經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)就是使單位時(shí)間的損失成本函數(shù)ETL最小確定這六個(gè)參數(shù)的最優(yōu)值，于是得到一個(gè)完整的設(shè)計(jì)模型：

(20)

3 算例

下面給出一個(gè)算例說明如何根據(jù)VSI EWMA均值控制圖的經(jīng)濟(jì)模型確定參數(shù)(n,h1,h2,k1,k2,w,λ)的最優(yōu)解。

假設(shè)某一產(chǎn)品的生產(chǎn)過程，需要對(duì)某種質(zhì)量特性值進(jìn)行控制。根據(jù)收集的數(shù)據(jù)可知該質(zhì)量特性值X～N(μ,σ2)，當(dāng)過程受控時(shí)，μ=μ0=4；當(dāng)過程失控時(shí)，μ=μ1=μ0+μ0δ。模型參數(shù)和成本參數(shù)如下：a=1,b=0.5,σ=1,Δ=4,w=4,d=0.5,m=5,g=0.2hr,t1=0.5hr,t2=0.5hr,θ=0.01,γ1=γ2=1,δ=0.5,y=10,Cpm=10,M=10。

在matlab環(huán)境下編碼遺傳算法。所求控制圖六個(gè)參數(shù)(n,h1,h2,k,w,λ)中，要求n為整數(shù)，h1,h2,k,w和λ為連續(xù)值。每個(gè)參數(shù)的取值范圍為：1≤n≤25,1≤h13.5,0.01≤h2≤1,1≤k≤4,0.01≤w≤3,w≤k,0.01≤λ≤1。人口規(guī)模N為20； 交叉率為0.8；變異率為0.1；運(yùn)行代數(shù)為100；適應(yīng)度函數(shù)為損失成本函數(shù)ETL(如公式(19))。當(dāng)遺傳算法運(yùn)行到100代時(shí)停止，得到VSI EWMA控制圖的參數(shù)最優(yōu)值：n=2,h1=2.5,h2=0.985,k1=2.097,w=0.5,λ=0.296,ETL=17.3247。

4 靈敏度分析

采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和回歸分析對(duì) VSI EWMA控制圖的經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行靈敏度分析。研究模型參數(shù)(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)(n,h1,h2,k,w,λ)和單位時(shí)間的損失成本函數(shù)ETL的影響，其中模型參數(shù)為自變量，設(shè)計(jì)參數(shù)和單位時(shí)間的期望費(fèi)用為因變量。自變量(模型參數(shù))分別對(duì)應(yīng)的兩個(gè)水平列在表1，這是一個(gè)十一因素兩水平的試驗(yàn)，采用正交表L16(215)進(jìn)行試驗(yàn)，共有十六次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)用遺傳算法求出模型的最優(yōu)解(n,h1,h2,k,w,λ)。其余的模型參數(shù)的值分別固定如下：γ1=γ2=1、t0=1。根據(jù)正交表L16(215)所選取的十六次試驗(yàn)如表2，每次試驗(yàn)得出的結(jié)果分別記錄在表3。

表1 十三個(gè)模型參數(shù)的兩種水平

表2 根據(jù)L16(215)安排的十六次試驗(yàn)

表3 每次試驗(yàn)的結(jié)果

為研究模型參數(shù)對(duì)經(jīng)濟(jì)模型最優(yōu)解的影響，令檢驗(yàn)水平α=0.1，對(duì)每個(gè)因變量(設(shè)計(jì)參數(shù)或單位時(shí)間的期望費(fèi)用)運(yùn)用SPSS軟件進(jìn)行回歸分析，由輸出的方差分析表和回歸分析表，得出以下結(jié)論：

(1)過程均值波動(dòng)δ和單元的抽樣費(fèi)用b對(duì)樣本容量n的取值起作用，且樣本容量n隨著過程均值波動(dòng)δ和單元抽樣費(fèi)用b的增大而減小。

(2)單元抽樣費(fèi)用b、異常原因發(fā)生的頻率θ、每個(gè)錯(cuò)誤警報(bào)發(fā)生的成本d和過程均值波動(dòng)δ對(duì)控制線系數(shù)k的取值起作用，且控制線系數(shù)k隨著單元抽樣費(fèi)用b、異常原因發(fā)生的頻率θ的增大而減小，隨著過程均值波動(dòng)δ和每個(gè)錯(cuò)誤警報(bào)發(fā)生的成本d的增大而增大。

(3)每個(gè)樣本的固定費(fèi)用a、每個(gè)錯(cuò)誤警報(bào)發(fā)生的成本d、每次預(yù)防維修的損失成本Cpm和產(chǎn)品不合格時(shí)的損失M對(duì)長(zhǎng)抽樣區(qū)間h1的取值起作用，且長(zhǎng)抽樣區(qū)間h1隨著每個(gè)樣本的固定費(fèi)用a的增大而增大，隨著每個(gè)錯(cuò)誤警報(bào)發(fā)生的成本d、每次預(yù)防維修的損失成本Cpm和產(chǎn)品不合格時(shí)的損失M的增大而減小。

(4)產(chǎn)品不合格時(shí)的損失M、單元抽樣費(fèi)用b、異常原因發(fā)生的頻率θ和糾正過程的平均時(shí)間t2對(duì)短抽樣區(qū)間h2的取值起作用，且短抽樣區(qū)間h2隨著產(chǎn)品不合格時(shí)的損失M的增大而減小，隨著單元抽樣費(fèi)用b、異常原因發(fā)生的頻率θ和糾正過程的平均時(shí)間t2的增大而增大。

(5)單元抽樣費(fèi)用b、異常原因發(fā)生的頻率θ和每次預(yù)防維修的損失成本Cpm對(duì)警戒線系數(shù)w的取值起作用，且警戒線系數(shù)w隨著單元抽樣費(fèi)用b和異常原因發(fā)生的頻率θ的增大而減小，隨著每次預(yù)防維修的損失成本Cpm的增大而增大。

(6)單元抽樣費(fèi)用b和發(fā)現(xiàn)及糾正一個(gè)異常原因平均成本W(wǎng)對(duì)平滑系數(shù)λ的取值起作用，且平滑系數(shù)λ隨著他們的增大而減小。

(7)產(chǎn)品不合格時(shí)的損失M、過程均值波動(dòng)δ、異常原因發(fā)生的頻率θ、每個(gè)樣本的固定費(fèi)用a、發(fā)現(xiàn)異常原因的平均時(shí)間t1和每次預(yù)防維修的損失成本Cpm對(duì)單位時(shí)間的損失成本函數(shù)ETL的取值起作用，且單位時(shí)間的損失成本函數(shù)ETL隨著它們?cè)龃蠖龃蟆?/p>

為了更能直觀地顯示出模型參數(shù)對(duì)控制圖設(shè)計(jì)參數(shù)和單位時(shí)間的損失成本函數(shù)的影響關(guān)系，運(yùn)用Minitab軟件得到主效應(yīng)分析圖如圖1～7：

圖1 樣本容量n主效應(yīng)圖

圖2 平滑系數(shù)λ主效應(yīng)圖

圖3 控制限系數(shù)k主效應(yīng)圖

圖4 警戒限系數(shù)w主效應(yīng)圖

圖5 長(zhǎng)抽樣間隔h1主效應(yīng)圖

圖6 短抽樣間隔h2主效應(yīng)圖

圖7 單位時(shí)間的損失成本函數(shù)ETL主效應(yīng)圖

5 結(jié)論

本文對(duì)基于預(yù)防維修和質(zhì)量損失函數(shù)的VSI EWMA控制圖進(jìn)行經(jīng)濟(jì)設(shè)計(jì)研究。首先建立基于預(yù)防維修和質(zhì)量損失函數(shù)的VSI EWMA控制圖聯(lián)合經(jīng)濟(jì)模型；使單位時(shí)間的期望損失成本函數(shù)最小來確定參數(shù)的最優(yōu)值；其次用遺傳算法來尋找聯(lián)合經(jīng)濟(jì)模型的最優(yōu)解，并給出工業(yè)中的一個(gè)例子。最后對(duì)聯(lián)合經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行靈敏度分析，得出控制圖模型參數(shù)(a,b,θ,d,g,t1,t2,δ,Cpm,W,M)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)(n,h1,h2,k,w,λ)的影響關(guān)系。