盧 捷，李 峰

(江南大學(xué) 商學(xué)院,江蘇 無錫 214122)

0 引言

灰色預(yù)測是灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容之一，GM(1,1)模型作為灰色預(yù)測理論的核心和基礎(chǔ)[1]，在很多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。然而在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)典GM(1,1)模型會(huì)出現(xiàn)預(yù)測精度不穩(wěn)定、甚至出現(xiàn)偏差的情況[2]。由于經(jīng)典GM(1,1)模型誤差來源主要集中于初始值的選取以及背景值的構(gòu)造，為此學(xué)者們從不同角度對GM(1,1)模型的改進(jìn)進(jìn)行了研究，并在初始值、背景值方面取得了一定的成果。

在初始值優(yōu)化方面，考慮到新信息在建模中應(yīng)當(dāng)發(fā)揮關(guān)鍵作用，羅佑新[3]直接以x(0)(n)作為灰色模型初始條件，雖然可以在一定程度上減少誤差，但缺乏嚴(yán)格的理論依據(jù)；黨耀國[4]分別以x(1)(n)作為灰色模型初始條件，彌補(bǔ)了以往學(xué)者研究的缺陷，但同樣沒有嚴(yán)格的理論證明；Wang等針對白化方程為非齊次指數(shù)函數(shù)對模型初始值進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而構(gòu)造新的背景值表達(dá)式減少模型誤差，提高模型預(yù)測精度[5]，優(yōu)化方法適用范圍較窄。

在對背景值優(yōu)化方面，經(jīng)典模型對于背景值z(1)(k)的構(gòu)造并沒有嚴(yán)格的理論依據(jù)，故學(xué)者們從不同角度對背景值進(jìn)行改進(jìn)，大致可分為從幾何意義以及數(shù)列特征兩個(gè)方面進(jìn)行優(yōu)化。從積分的幾何意義出發(fā)，蔣詩泉等[6]利用分段低次插值，結(jié)合復(fù)化梯形公式計(jì)算各區(qū)間積分之和，以減少因在[k-1,1]區(qū)間直接計(jì)算整個(gè)梯形面積造成的誤差；而江藝羨[7]則利用黎曼積分，以不規(guī)則梯形面積取代傳統(tǒng)梯形面積構(gòu)造法，對傳統(tǒng)GM(1,1)模型背景值進(jìn)行優(yōu)化。從序列數(shù)值特點(diǎn)出發(fā)，彭振斌等[8]將數(shù)據(jù)序列抽象為非齊次指數(shù)函數(shù)構(gòu)造背景值，構(gòu)建GM(1,1)模型；Cai[9]則在原始序列間距不一致情況下對背景值進(jìn)行改進(jìn)，以擴(kuò)展經(jīng)典模型的適用性和精確性。此外，也有學(xué)者基于不同角度提出了z(1)(k)的數(shù)學(xué)表達(dá)式[10～12]，也在一定程度上提高了預(yù)測精度。而在模型參數(shù)估計(jì)方面，孟偉等[13]采用粒子群優(yōu)化算法，Lee等[14]采用遺傳算法等對經(jīng)典模型進(jìn)行優(yōu)化都取得了較好的預(yù)測效果。

可以看出，在對背景值優(yōu)化方面，現(xiàn)有研究主要是對緊鄰均值構(gòu)造方法進(jìn)行改進(jìn)，且均提出了一定的改進(jìn)方法，但大部分學(xué)者都是對模型某一方面的優(yōu)化，雖然可以在一定程度上提高精度，但不能系統(tǒng)地減少模型誤差；同時(shí)在初始值選取方面，由最小二乘法原理可知，擬合曲線并不一定通過點(diǎn)(1,x(1)(1))。雖然有部分學(xué)者提出改進(jìn)方法分別以x(1)(n)為固定點(diǎn)，但在模型涉及多變量的情況下，這種方法的效果還有待檢驗(yàn)。

1 經(jīng)典GM(1,1)模型誤差分析

根據(jù)GM(1,1)模型基本形式x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方程，即

(1)

對式(1)在[k-1,k]上求積分可得

(2)

(3)

圖1 GM(1,1)模型背景值誤差來源

經(jīng)典模型對背景值的計(jì)算公式為

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…,n

當(dāng)一次累加生成序列變化較為平緩，且當(dāng)時(shí)間間隔較小時(shí)，采取以上方法計(jì)算是合適的；但當(dāng)一階累加生成序列波動(dòng)較大時(shí)，采取以上方法則會(huì)造成較大的誤差。從數(shù)列生成特征來看，經(jīng)典模型人為地規(guī)定舊信息和新信息同等重要，這并不符合實(shí)際。本文將背景值視為變量，即z(1)(k)=(αz(1)(k)+(1-α)z(1)(k-1))，由MRE取到最小值時(shí)再確定背景值參數(shù)值以及時(shí)間響應(yīng)式具體形式，可以顯著降低人為因素造成的誤差，提高預(yù)測精度。

同時(shí)，在對背景值進(jìn)行優(yōu)化的基礎(chǔ)上，也對初始值進(jìn)行優(yōu)化?；疑獹M(1,1)模型作為指數(shù)預(yù)測模型，本質(zhì)是以x(1)(1)為固定點(diǎn)的靜態(tài)方程。相較于動(dòng)態(tài)方程，靜態(tài)方程并不具有基準(zhǔn)選值無關(guān)性，步長無關(guān)性，內(nèi)在一致性等特征，擬合效果通常要比動(dòng)態(tài)方程更差一些，應(yīng)用范圍也沒有動(dòng)態(tài)方程廣闊[15]。利用一階線性差分方程，用一個(gè)變動(dòng)的已知時(shí)刻去預(yù)測將來的未知時(shí)刻的值，對傳統(tǒng)數(shù)值解法進(jìn)行改進(jìn)，可提高擬合精度。

2 灰色GM(1,1)模型的改進(jìn)

2.1傳統(tǒng)GM(1,1)模型

定義1[16]設(shè)非負(fù)原始序列

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

稱X(1)為X(0)的一次累加生成(1-AGO)序列:

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

GM(1,1)模型的原始形式為

x(0)(k)+ax(1)(k)=b

(4)

定義2[17]X(0),X(1)如定義1所示，令

Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))

則GM(1,1)模型的基本形式為

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(5)

其白化方程為

(6)

(7)

其還原值為

(8)

(9)

其中k=2,3,…,n。

從(9)式可以看出，GM(1,1)模型的預(yù)測精度取決于固定點(diǎn)的選取和參數(shù)a,b的值，而a,b的值又取決于背景值的構(gòu)造。將初始值和背景值進(jìn)行組合優(yōu)化可顯著提高模型精度。

2.2 灰色GM(1,1)模型的改進(jìn)

2.2.1 初步改進(jìn)方法(1)

GM(1,1)模型的基本形式為x0(k)+az(1)(k)=b,其中，

z(1)(k)=0.5(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…,n

(10)

帶入(8)式可得:

(11)

則a,b可以由下式估計(jì)得到：

將a,b計(jì)算結(jié)果帶入(7)式，并根據(jù)(5)和(6)式得到擬合序列。

2.2.2 初步改進(jìn)方法(2)

在方法(1)基礎(chǔ)上對模型的背景值進(jìn)行改進(jìn)，使平均相對誤差取到最小值。其他條件不變，將(10)式改寫為

z(1)(k)=(αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1)),k=2,3,…,n

權(quán)重α滿足0≤α≤1。由x(0)(k)=x(1)(k)-x(1)(k-1),k=2,3,…,n可得:

(x(1)(k)-x(1)(k-1))+(αx(1)(k)+(1-α)x(1)(k-1))=b

其一階線性差分方程形式為:

(12)

則a,b可以由下式估計(jì)得到:

設(shè)上式計(jì)算結(jié)果為(c1,c2)T，解方程組可得:

a=(c1-1)/(α-αc1-1)

(13)

b=(-c2)/(α-αc1-1)

(14)

2.2.3 綜合改進(jìn)方法(3)

x(1)(k+1)=(x(1)(m)-b/a)e-a(k-m+1)+b/a

其中，m可依次選用m=1,2,…,n。將(13)和(14)帶入下式

(15)

(16)

帶入(16)式可得

3 算例

我國目前是世界第一大石油進(jìn)口和消費(fèi)國。由于我國目前處于工業(yè)化階段的中后期，能耗較大的汽車、家電等產(chǎn)品在經(jīng)濟(jì)中比重較高；同時(shí)，隨著我國經(jīng)濟(jì)水平的快速發(fā)展，國內(nèi)對于石油需求大幅提升，石油消費(fèi)持續(xù)較快增長。然而，我國國內(nèi)石油產(chǎn)量當(dāng)前還滿足不了巨大需求，使得在面臨國內(nèi)外市場供需失衡、市場供給不足時(shí)，難以短時(shí)間內(nèi)保障油品供應(yīng)，不斷增長的需求只能通過加大進(jìn)口來彌補(bǔ)。石油作為我國重要的能源，不僅為生活和生產(chǎn)提供強(qiáng)力的支撐，也關(guān)系到社會(huì)的安全與穩(wěn)定。對我國石油年消費(fèi)量進(jìn)行預(yù)測，不僅有利于維持國內(nèi)石油供需平衡，也可以為國家重大政策的制定提供依據(jù)。

從國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站獲取2006～2017年中國國內(nèi)石油年消費(fèi)量，以2006～2015年數(shù)據(jù)為定參序列數(shù)據(jù)，2016～2017年數(shù)據(jù)為模擬序列預(yù)測對比數(shù)據(jù)，即

X(0)=(322,346,364,388,438,453,476,488,518,543)

2016～2017年數(shù)據(jù)分別為578,590(單位：百萬噸)。

首先用未加改進(jìn)的GM(1,1)模型進(jìn)行計(jì)算。對原始序列進(jìn)行一階累加，可得

X(1)=(322,668,1032,1420,1858,

2311,2787,3275,3793,4336)

根據(jù)(8)式可得擬合序列并計(jì)算MRE。

應(yīng)用初步改進(jìn)方法(1)進(jìn)行計(jì)算，將原始數(shù)據(jù)帶入可得

根據(jù)(8)式可得擬合序列并計(jì)算MRE。擬合數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)見表1。

將原始數(shù)據(jù)帶入方法(2)中，

可得

a=0.0537/(α-1.0537α-1)

(17)

b=-340.6913(α-1.0537α-1)

(18)

不妨可先設(shè)α=0，然后令其在區(qū)間[0,1]變化且Δα=0.01，利用matlab可得到MRE隨α變化圖2。

圖2 方法(2)條件下MRE隨α變化圖

根據(jù)(8)式可得擬合序列并計(jì)算MRE。經(jīng)典模型、改進(jìn)方法(1)和方法(2)擬合數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)見表1。

表1 中國國內(nèi)石油年消費(fèi)量預(yù)測(百萬噸)

圖3 MRE隨m和α變化圖

在計(jì)算方法(2)的基礎(chǔ)上，將原始數(shù)據(jù)帶入綜合改進(jìn)方法(3)中，

將(c1,c2)T帶入MRE表達(dá)式中。不妨可先設(shè)α=0，然后令其在區(qū)間[0,1]變化且Δα=0.01，同時(shí)令m依次取1,2,…,n，利用matlab可得到MRE隨m和α變化的圖3。

再根據(jù)(8)式可得擬合序列并計(jì)算MRE。未改進(jìn)模型與改進(jìn)方法(3)擬合數(shù)據(jù)與相對誤差、平均相對誤差見表2。

從表2可以看出，綜合改進(jìn)模型無論是模擬精度還是預(yù)測精度均高于未加優(yōu)化的模型以及僅對初始值或者背景值進(jìn)行優(yōu)化的模型。其中，預(yù)測精度的提升尤其顯著，經(jīng)典模型誤差為0.033，而改進(jìn)后模型僅為0.016，改進(jìn)后的模型取得了良好的預(yù)測效果。

將三種改進(jìn)方法和經(jīng)典模型進(jìn)行綜合比較，可得到表3、圖4：

表2 中國國內(nèi)石油年消費(fèi)量預(yù)測(百萬噸)

表3 經(jīng)典模型及改進(jìn)模型誤差情況

圖7 2007～2017年四種方法相對誤差

綜合來看，改進(jìn)方法(3)，即綜合改進(jìn)方法，無論是擬合誤差還是預(yù)測誤差均低于經(jīng)典模型以及其他兩種改進(jìn)方法。隨著改進(jìn)程度的深入，模型誤差呈現(xiàn)出遞減的趨勢，驗(yàn)證了模型優(yōu)化的有效性。

4 總結(jié)與討論

實(shí)際上，在建模過程中，變量越多的模型，預(yù)測精度往往越高。如果把模型初始值、背景值等都看作變量，優(yōu)化的變量越多，得到的模型精度越高。所以通過優(yōu)化多個(gè)變量和某種參數(shù)估計(jì)方法提高預(yù)測精度是未來的一個(gè)研究方向。