于春艷，魏寶軍，張文匯

(重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院,重慶 合川 401520)

對C(R)中的任意復(fù)形

設(shè)A是R-模類(R-模的復(fù)形類)。稱A是投射可解類,如果A包含投射模類(投射復(fù)形類),并且對A中任意正合序列0→X′→X→X″→0,若X″∈A,則X′∈A?X∈A。稱A是內(nèi)射解類,如果A包含內(nèi)射模類(內(nèi)射復(fù)形類),并且對A中任意正合序列0→X′→X→X″→0,若X′∈A,則X″∈A?X∈A。稱Abel范疇中的序列L是HomC(R)(A,-)正合的，如果對任意A∈A,復(fù)形HomC(R)(Α,L)正合。

類似于內(nèi)射復(fù)形的定義,我們首先引入X-內(nèi)射復(fù)形的定義。

注記1(1)由[10,注記2.1.4]知內(nèi)射模是X-內(nèi)射模，但X-內(nèi)射模不一定是內(nèi)射模,因此結(jié)合定義1知內(nèi)射復(fù)形是X-內(nèi)射復(fù)形，但X-內(nèi)射復(fù)形不一定是內(nèi)射復(fù)形;

(2)X-內(nèi)射復(fù)形類關(guān)于直積封閉;

(3)當(dāng)X=Mod(R)時,X-內(nèi)射復(fù)形即是內(nèi)射復(fù)形;當(dāng)X是有限表示復(fù)形類時,X-內(nèi)射復(fù)形即是FP-內(nèi)射復(fù)形(見文獻(xiàn)[11,定義2.4])。

定義2[10]稱R-模M是GorensteinX-內(nèi)射模,如果存在R-模的正合序列

使得

(1)對任意i∈Z,Ii∈J;

(2)M?Ker(f-1);

(3)對任意X-內(nèi)射R-模G,序列HomR(G,)正合。

記GorensteinX-內(nèi)射R-模類為GXI。

注記2(1)由[10,例2.5.2]知,內(nèi)射R-模是GorensteinX-內(nèi)射R-模;

(2)由[10,注記2.5.3]知,GorensteinX-內(nèi)射R-模類關(guān)于直積封閉;

(3)由[10,定理2.5.7]知,GorensteinX-內(nèi)射R-模類是內(nèi)射可解類。

GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的定義及性質(zhì)

類似于Gorenstein內(nèi)射復(fù)形的定義,我們給出GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的定義。

定義3 稱復(fù)形G是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形,如果存在復(fù)形的正合序列

使得

(2)G?Ker(μ-1);

(3)對任意X-內(nèi)射復(fù)形L,HomCR(L,E)正合。

例1(1)每個內(nèi)射復(fù)形是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形.事實上存在復(fù)形的正合序列

…→I→I→…,

(2)一般地講,GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形是Gorenstein內(nèi)射復(fù)形。設(shè)G是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形。由GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的定義,存在內(nèi)射復(fù)形的正合序列

…→G1→G0→G-1→G-2→…,

使得G?Ker(G-1→G-2),并且對任意X-內(nèi)射復(fù)形X,上述序列是HomC(R)(X,-)正合的。因為內(nèi)射復(fù)形是X-內(nèi)射復(fù)形,所以G是Gorenstein內(nèi)射復(fù)形。例如,當(dāng)X是有限表示模類時,由[8,注記2.2]知GorensteinFP-內(nèi)射復(fù)形一定是Gorenstein內(nèi)射復(fù)形。

注記3 若Ⅱ=…→I1→I0→I-1→I-2→…是內(nèi)射復(fù)形的正合序列,并且對任意X-內(nèi)射復(fù)形G,HomC(R)(G,Ⅱ)正合,則由對稱性知序列Ⅱ中所有微分的象、核與余核都是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形。

GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形類的一些基本性質(zhì)。

證明 由內(nèi)射復(fù)形類關(guān)于直積封閉可得。

以下引理給出了任意復(fù)形是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的一個等價刻畫。

Ⅱ=…→I1→I0→I-1→I-2→…,

注意到存在(層次可裂的)正合序列

因為η是兩個滿同態(tài)的合成,所以η是滿同態(tài)。因此有交換圖

粘合,并且取d1=δη.

以下給出GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的一些基本性質(zhì)。

0→HomR(Lt+n,X)→HomR(Lt+n,Y)→

HomR(Lt+n,Z)→0,

進(jìn)而有復(fù)形的正合序列

由以上結(jié)論可知,GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形類具有和Gorenstein內(nèi)射復(fù)形類相似的一些性質(zhì)。接下來,我們再研究GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形類的穩(wěn)定性。

證明 ?顯然。

由第三列和正合序列0→Imf→G0→X→0知,有下列推出圖：

考察該圖中的第一列和正合序列0→A→G1→Imf→0的拉回圖

證明 (1)對n進(jìn)行歸納。

得所需的正合序列0→A→I0→Y→0和0→X→Y→U→0。

設(shè)n≥2且有正合序列

0→A→Gn-1→Gn-2→…→G1→G0→X→0,

0→A→Gn-1→Gn-2→K→0,

0→K→Gn-3→…→G0→X→0。

對復(fù)形的正合序列P重復(fù)此過程,由歸納假設(shè)知,存在正合序列

0→A′→In-2→In-3→…→I1→I0→X→0,

0→X→Y→U→0。

0→A→In-1→In-2→…→I1→I0→Y→0。

(2)類似于(1)可證。

最后,有了以上性質(zhì)的支持,我們得到利用定義GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的方法構(gòu)造出的復(fù)形仍然是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形。

定理1 設(shè)X∈C(R),則X是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)存在GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的正合序列

證明 ?設(shè)X是一個GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形。由定義3知存在內(nèi)射復(fù)形的正合序列

…→G1→G0→G-1→G-2→…,

使得X?Ker(G-1→G-2)且對任意X-內(nèi)射復(fù)形G,上述序列是HomC(R)(G,-)正合的。因為內(nèi)射復(fù)形是X-內(nèi)射復(fù)形,并且X-內(nèi)射復(fù)形是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形,所以正合序列G即是GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的正合序列。

?設(shè)存在HomC(R)(L,-)正合的GorensteinX-內(nèi)射復(fù)形的正合序列

0→X→I-1→I-2→…,(*)

…→I1→I0→X→,(**)

…→I1→I0→I-1→I-2→…,