易華 龍光鵬

1.試題呈現(xiàn)

試題：已知函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù).

（1）證明：在區(qū)間存在唯一極大值點;

（2）證明：有且僅有兩個零點.

這是2019年全國卷I的理科第20題，本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值、判斷函數(shù)的零點，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化思想。

2019年高考全國卷I的理科和文科的導數(shù)綜合題都融合了三角函數(shù)，高考改卷時發(fā)現(xiàn)很多學生基本沒有解題思路。學生的困惑在哪里？

2.解法揭秘

因為，所以，則繪制函數(shù)的圖像，如圖1所示：

由圖1知，能清晰地看出在區(qū)間存在唯一極大值點。

分別繪制函數(shù)與函數(shù)圖像，如圖2所示：

由圖2知函數(shù)與函數(shù)圖像有兩個交點，則有且僅有兩個零點。

故該試題的解題思路如下：

解析：（1）因為，所以，

設(shè)，則，所以，

當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，

所以單調(diào)遞減，又因為，

，所以在上存在唯一的零點，

則當時，，所以在上單調(diào)遞增;

當時，，所以在上單調(diào)遞減，

所以在區(qū)間存在唯一極大值點，

即在區(qū)間存在唯一極大值點。

（2）因為，所以函數(shù)的定義域為，

①當時，，，所以，則沒有零點;

②當時，，則是函數(shù)的一個零點;

③當時，因為，

即在上存在唯一的零點，則，如圖3，

當時，，所以在上單調(diào)遞增，

當時，，所以在上單調(diào)遞減，

又因為，，

如圖4，所以在上，，則沒有零點.

④當時，，所以函數(shù)

在上單調(diào)遞減，又因為，，

所以函數(shù)存在一個零點;

⑤當時，，，所以，

則沒有零點;

綜上，有且僅有兩個零點。

評析：試題主要要求學生具備以下三個方面的解題處理策略：①當一個函數(shù)的導函數(shù)不“透徹”時，采用繼續(xù)求導的方式研究函數(shù)的導函數(shù)性質(zhì);②利用零點存在定理時，要密切關(guān)注函數(shù)值的正負;③函數(shù)零點存在，但不可求時，應(yīng)采用設(shè)而不求的思想處理。

3.突破瓶頸

面對上述的解析，學生很困惑，主要有兩個方面：①在測試的時候?qū)W生沒有作圖工具，沒辦法準確地畫出圖1和圖2的圖像，所以沒辦法直觀地感知，故沒有解題思路;②第二問中的分類討論中，為什么以和為界限呢？

在教學時，筆者認為應(yīng)該關(guān)注學生的認知特征，對學生學習中出現(xiàn)的困難不回避，面對困惑應(yīng)進行詳細講解。那么采取怎樣的措施幫助學生克服難點呢？筆者嘗試從以下兩個方面進行突破。

3.1問題解剖

筆者在處理試題的第（2）問之前，先引導學生思考下面兩個命題：

命題1：在上恒成立.

證明：令，，所以，

設(shè)，所以，

當時，為減函數(shù)，為減函數(shù)，

所以在上單調(diào)遞減，

又因為，，

所以在上存在唯一的零點，則，如圖5，

當時，，所以在上單調(diào)遞增，

當時，，所以在上單調(diào)遞減，

又因為，，，

所以在上存在唯一的零點，則，

即，，，

即在上存在唯一的零點，則，如圖6，

當時，，所以在上單調(diào)遞增，

當時，，所以在上單調(diào)遞減，

又因為，，如圖7，

所以在上，，即.

命題2：若，則函數(shù)的圖像與函數(shù)圖像有且僅有一個交點.

證明：構(gòu)造函數(shù)，，

①當時，由命題1知，，沒有零點，則沒有交點.

②當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為，，所以函數(shù)存在一個零點;

綜上，時，函數(shù)的圖像與函數(shù)圖像有且僅有一個交點。

3.2巧用（1）的結(jié)論

在求解導數(shù)綜合題的第（2）問時，一定要充分利用第（1）問的結(jié)論。

因為，，由（1）知，當時，的圖像大致如下圖8所示：

所以我們可以考慮將作為分類討論的分界限來處理問題，即第（2）問可以得到如下解法：

因為，定義域為，，

①當時，因為，如圖8，時，，時，，所以時，，沒有零點;時，，沒有零點;是函數(shù)的一個零點;

②當時，因為，則在上單調(diào)遞減，因為，，所以在上存在唯一的零點，則，當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以在上單調(diào)遞減，又因為，，所以在上，函數(shù)存在一個零點;

③當時，，，所以，沒有零點;

綜上，有且僅有兩個零點。

通過上述方式講解這道試題后與部分學生交流發(fā)現(xiàn)，這種做法是有效的，有助于學生理清這道高考題的解題思路，有利于提高學生的解題能力，有利于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。

作者簡介：

易華（1969-9），漢，女，江西永修，大學本科學歷，中學高級教師，研究方向：數(shù)學教育與教學。

★ 本文系江西省基礎(chǔ)教育研究課題“高考數(shù)學命題中學科核心素養(yǎng)的考查方式及其對教學的反撥作用研究”（項目編號：NCSX2019-069）的研究成果.