摘?要：二次型的理論及其性質(zhì)是線性代數(shù)的主要內(nèi)容之一，二次型的理論及其應(yīng)用及其廣泛，其中正定二次型又是二次型中一類重要的二次型，有著非常重要的理論和實(shí)用價(jià)值。在文【1】中，簡(jiǎn)介了二次型及其在實(shí)際中的應(yīng)用，在文【2】中，淺析探討了正定二次型的理論及其性質(zhì)，而在文【3】中重點(diǎn)探討了正定二次型及其在最優(yōu)化方法中的應(yīng)用。文【4】中主要是研討了正定二次型在高等代數(shù)中的應(yīng)用。為使讀者能夠比較全面的深入了解，正確清晰的理解和掌握正定二次型的理論及其應(yīng)用，本文主要是針對(duì)正定二次型在幾何，最小二乘法及其物理力學(xué)等實(shí)際中的一些應(yīng)用作一些簡(jiǎn)介。如有不當(dāng)之處，歡迎讀者給予批評(píng)指正。

關(guān)鍵詞：正定二次型;正定矩陣;最小二乘法;線性方程組

一、在解決二次曲線和二次曲面方程中的應(yīng)用

二次型的理論探討是從18世紀(jì)開始的，它的起源是對(duì)二次曲線和二次曲面

的分類問題的討論，直到1858年，維爾斯托拉斯在他人研究的著作的基礎(chǔ)上，不僅給出對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成為平方和的一般的方法，而且還證明了，如果二次型是正定的，那么即使某些特征值相等，這個(gè)化簡(jiǎn)也是可能的。

如果，取的前行所構(gòu)成的列向量，由范德蒙德行列式可知，的前行所構(gòu)成的列向量線性無(wú)關(guān)，從而，相應(yīng)“接長(zhǎng)”的維列向量也線性無(wú)關(guān)。因此，對(duì)于任意的，必有，這時(shí)，故為正定矩陣。綜上所述，為正定矩陣的充分必要條件是：。

四、在物理力學(xué)問題中的應(yīng)用.

由于在物理力學(xué)問題中，經(jīng)常需要同時(shí)將兩個(gè)二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型來實(shí)現(xiàn)，這是正定二次型在物理力學(xué)問題中應(yīng)用中很重要的一個(gè)問題.

定理?設(shè)是階正定矩陣，是階實(shí)對(duì)矩陣，則必存在階非奇異矩陣，使得其中為對(duì)角陣.

證明：因?yàn)槭钦ň仃?，所以存在階非奇異矩陣，使得，令，顯然仍為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在階正交矩陣，使得.取，則為階非奇異矩陣，且有

另外正定二次型在研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、廣義重積分、物理學(xué)電阻器功率的消耗等方面都有廣泛的應(yīng)用.由于篇幅所限，這里就不在累贅了。

參考文獻(xiàn)

[1]?楊付貴.二次型及其在實(shí)際中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊

[2]?楊付貴.正定二次型及其性質(zhì)的探討[J].科教導(dǎo)刊

[3]?楊付貴.正定二次型及其在最優(yōu)化中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊

[4]?楊付貴.正定二次型及其在高等代數(shù)中的應(yīng)用[J].科教導(dǎo)刊

[5]?北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]?張禾瑞.郝鈵新.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.

[7]?陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[8]?王燕軍.最優(yōu)化理論與方法[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.

作者簡(jiǎn)介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。