余雪嬌

【摘要】鄭毓信教授在《數(shù)學思維之深思》提出：數(shù)學教育應當致力于促進學生更加積極地進行思考。學生的主體作用和教師的主導作用應表現(xiàn)出能動性，這一能動性應統(tǒng)一在形式多樣（動腦、動口、動手）的數(shù)學活動中。

【關(guān)鍵字】數(shù)學思維? ?小專題復習課? ?設計原則

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）08-064-02

現(xiàn)在流行的復習課形式基本上是知識清單加題海戰(zhàn)術(shù)。學生不停地動手寫，復習課就是習題課。重復機械的勞動，從應試的角度來看可以提高常規(guī)題的命中率，有其積極的一面。但學生缺乏時間動腦、動口;缺乏思維碰撞。一者，學生覺得數(shù)學乏味，另者不利于學生數(shù)學思維的培養(yǎng)。沒有深層次的理解，不會變通，不靈活。小專題復習正是突破常規(guī)復習的形式，走出單純的知識記憶模式，提升學生數(shù)學思維為主要目的一種復習形式。

小專題指的是以一道中等題目為主基調(diào)，抽出要學習的主題;通過“以退為進”，讓學生“退”到題目的最基本概念和原理。再在“以小見大”部分解決新的問題，突出核心知識和數(shù)學思想的思維的訓練。小專題著力點在于思維，其學案設計尤為重要。結(jié)合具體的例子談談設計要遵循的3個原則。

《直角三角形中求線段長度》學案

（A版）

一、以退為進

1. 在Rt△ABC中，∠A=90°，

AB=5，AC=12;

（1）求BC的長度.

（2）如圖1，若AE⊥CB于E，

則AE=? ? ? ? ? ;

（B版）

一、以退為進

1. 在Rt△ABC中，∠A=90°，

AB=5，AC=12;

（1）如圖1，若AE⊥CB于E，

則AE=? ? ? ? ? ?;

（2）如圖2，若點O在AC上，

過點O做OE⊥CB，且

OC=8，求OE長。

二、以小見大

2.如圖3，在Rt△ABC中，

∠A=90°， AB=5，AC=12，

點O在AC上，

⊙O切BC于點E，點A在

⊙O上，求⊙O的半徑。

（你能想到幾種方法？）

三、變式遷移

3.拋物線y=-x2-2x+3與x 軸交于A，B兩點（點A 在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D，連接AD，拋物線的對稱軸與x軸的交點為E.拋物線的對稱軸上是否存在點P使得點P到AD的距離等于點P到X軸的距離？若存在，請求出點P的坐標;若不存在，請說明理由。

一、以題點知，學習中心原則，提升學生思維的慎密性。（以退為進）

用簡單的題目激活學生的已有知識。不是干巴巴的概念或定理的填空。學生通過完成題組形式，去喚醒知識點。設計時要考慮學生已有的經(jīng)驗，心理發(fā)展水平;要了解學情，尊重學生，因人制宜。針對不同的班級，設計的起點、幅度要相應的變化。讓不同程度學生都能參與其中的數(shù)學活動中。A版設計適合于學生層次較低的，B版是層次較高的。以學生的學習為中心，針對不同層次學生適當?shù)耐恕１ＷC每位學生都有可完成的數(shù)學活動，都有可思考的問題?；貧w到原理或者基本概念的學，追根尋源。教師在學生學的過程中啟發(fā)誘導，把幾個零散的知識點用一條主線（主線可以是一個基本圖形，例如圖2）串聯(lián)起來，形成知識鏈（相似、三角函數(shù)、等面積法、勾股定理）。形成學生良好的認知結(jié)構(gòu)，提升學生思維的縝密性。

二、簡化經(jīng)典，凸顯知識主干，提升思維的深刻性，廣闊性。（以小見大）

中考的壓軸題是命題者精心設置的，思維含量極高。但對大部分學生來說：偏難。教師可以選取某個點，略去其他無關(guān)的部分?；睘楹?，適當?shù)拇钅_手架，降低難度，改編為中檔題。不失為鍛煉學生思維的上好素材。

例如：2016年廣州中考24題：

已知二次函數(shù)y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點A、B.

（1）求m的取值范圍。

（2）證明拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P，并求點P坐標。

（3）當0.25≤m≤8時，由（2）求出的P點和A、B點構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值，若有，求出最值及相對應的m值，若沒有，請說明理由。

我們可以把中考真題從不同角度進行改編。若選取面積作為小專題，則可以拋棄恒過定點問題;如果恒過定點問題，則可拋開面積最值。改編后放在以小見大的位置，著重在于解題背后的思想方法提煉。通過師生、生生交流，分享而引發(fā)思維碰撞。

第2題是把原題中的直角坐標系去掉，保留核心主干改編題。本題的方法較多，至少有五種方法。學生先是獨立的思考完成，進而交流。不同的解法，收獲不同的思維。教師可以適時提出問題：

1.“以小見大”與“以退為進”的題有什么異同點 ？

2.你是怎樣想到這種解法？不同解法之間的有什么共同點？那些解法是可以推廣的？

3.你可以提出什么樣的問題，或者說這題可以有怎么樣的變式（從動態(tài)的觀點看o點運動，例：o點在線段CA的延長線上）。

學生圍繞著這些問題，又進入新的學習、交流。抓住生成會使課堂大放光彩，讓復習課有新意。不是炒冷飯，從而煥發(fā)生機。這樣精心改編設置的題不僅融合了核心主干知識，還在簡單的題目中培養(yǎng)學生審同辨異同，同中觀異的好思維。學生經(jīng)過思考，交流，再現(xiàn)核心知識，最后通過新問題的討論學習，使理解進入更高層次，是深度的理解。當知識發(fā)生過程成為一個有內(nèi)在需求的，非被動接受的過程時，才能更好的主動建構(gòu)知識體系。教師及時的歸納，滲透數(shù)學思想方法，比如轉(zhuǎn)化與化，歸特殊到一般，分類等。學生感悟數(shù)學理性的精神，提升思維的深刻性，廣闊性。這種解題背后的思考，才能把相應的解題行為看作是真正的數(shù)學活動，即由單純的“問題解決”過渡到“數(shù)學思維”。學生才會更深刻的理解知識本質(zhì)，題型特征，提升思維，能得心應手的解決一大類問題。就像由一顆樹看到幾顆樹甚至是一片森林，起到以小見大的作用。

三、聚焦基本點，題與題之間連貫性原則，提升思維的靈活性敏捷性

現(xiàn)代認知心理學認為：理解，無非就是指新學習的知識與主體已有的知識與經(jīng)驗之間建立了直接的聯(lián)系（包括同化與順應），其程度也完全取決于聯(lián)系的數(shù)目和強度。如果潛在的相關(guān)的各個概念中，心理表征只有一部分建立聯(lián)系或者說聯(lián)系脆弱，這時的理解是有限的。小專題學案在設計上必須圍繞一個主題，以退為進，以小見大，變式遷移的三個環(huán)節(jié)中，題與題之間必須是相關(guān)聯(lián)的（題量不宜多，4題左右）。體現(xiàn)的均是同一塊核心知識的本質(zhì)屬性。只是呈現(xiàn)形式不一樣罷了。例如第1題僅僅是直角三角形斜邊上的高，第2題添加圓背景，第3題就在直角坐標系下拋物線的背景，并把靜態(tài)問題變?yōu)閯討B(tài)問題。這3個題目是一脈相承的，本質(zhì)特征都是直角三角形中求線段長度，但又有其不同的地方。在特定的背景下，又會有特定的方法。例如直角坐標系可以從函數(shù)角度求線段，思路會更寬更廣。這種注重題與題之間的聯(lián)系，可以使學生對已學的知識有更深刻的認識，可以較為系統(tǒng)的把握知識間的邏輯。便于比較、鑒別、取舍、融合。能在新背景下較快地找到解題的突破口，提高了思維的靈活性與敏捷性。

數(shù)學新課標指出：思維能力主要指會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括;會歸納、演繹、類比進行推理;合乎邏輯的準確的闡述自己的思想和觀點。小專題在題量少，相互聯(lián)系中，給時間和空間，讓學生觀察，思考，抽象，概括表達，對提升數(shù)學思維有積極的意義。

[參 考 文 獻]

[1] 劉永東.例談數(shù)學小專題復習的策略和應用[J].教育導刊（上半月）2013（1）.