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        慣性權(quán)重矩陣下的自適應(yīng)粒子群算法分析

        2020-10-21 05:37:04楊寶軍
        關(guān)鍵詞:測試函數(shù)慣性權(quán)重

        楊寶軍

        (太原學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系,山西 太原 030012)

        PSO是以群集智能為基礎(chǔ)的一種隨機(jī)搜索算法,由Kenedy與Eberhart在1995年首次推出。PSO具有方便易用、可調(diào)節(jié)參數(shù)不多等特征,廣泛應(yīng)用在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的訓(xùn)練、函數(shù)優(yōu)化、控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化等[1]。然而,在實(shí)踐過程中,PSO存在出現(xiàn)局部極數(shù)、收斂效率低下等缺陷[2]??梢詮南旅鎺讉€方面進(jìn)行改進(jìn):1)利用粒子速度參數(shù)、CBPE、多元性等來進(jìn)行設(shè)置[3];2)把GA算法和螞蟻算法與PSO進(jìn)行融合[4];3)優(yōu)化粒子位置變化規(guī)律或者使用變異策略[5]。因此,尋找1種以慣性權(quán)重矩陣為基礎(chǔ)的自適應(yīng)粒子群算法極為重要?;诖耍疚膹碾x散狀態(tài)空間表達(dá)式入手,得出算法穩(wěn)定使用時參數(shù)約束條件與粒子的運(yùn)作規(guī)律,引進(jìn)使算法每個步驟以較大概率收斂、較小概率發(fā)散的參數(shù)組合選取策略、慣性權(quán)重矩陣策略,以及按照粒子活躍度速度重置與歷史最優(yōu)值擾動策略,以期獲得改進(jìn)后的RDR-PSO,初步解決當(dāng)前PSO存在的缺陷。

        1 粒子群算法分析

        1.1 基本粒子群算法

        在PSO穩(wěn)定使用時,對于第i個粒子來說,其后的位置序列xi(k+1)會被速度vi(k)、位置xi(k)、個體最優(yōu)位置pi(k)、群體最優(yōu)位置gi(k)這些特殊的信息序列和某些不穩(wěn)定原因的影響。其變化步驟如下:

        關(guān)于速度信息更新的相關(guān)模型

        vi(k+1)=ωvi(k)+c1r1(pi(k)-xi(k))+

        c2r2(gi(k)-xi(k)).

        (1)

        關(guān)于位置信息更新的數(shù)學(xué)模型

        xi(k+1)=xi(k)+vi(k+1).

        (2)

        式中:ω為慣性權(quán)重;k為目前迭代頻次;c1,c2為學(xué)習(xí)因素;r1,r2為0到1之間均衡分布的隨機(jī)值,表示粒子所處環(huán)境的隨機(jī)影響要素。

        從PSO的運(yùn)動情況進(jìn)行分析,大量學(xué)者對于這種算法的收斂性做出討論,為后續(xù)的改進(jìn)方式打下基礎(chǔ),因此,從離散狀態(tài)表達(dá)式入手,明確這種算法的穩(wěn)定性,提出這種穩(wěn)定性條件下算法使用時的數(shù)值要求十分重要。

        假設(shè)群體粒子數(shù)量是n個,尋找最優(yōu)解搜索空間是m維,φ1(k)=c1r1(k),φ2(k)=c2r2(k),則為了確保普適性,把式(1)、式(2)表示成

        V(k+1)=ωV(k)+φ1(k)(P(k)-X(k))+

        φ2(k)(G(k)-X(k)),

        (3)

        X(k+1)=X(k)+V(k+1).

        (4)

        式中:ω,φ1(k),φ2(k)都是n×m維對角矩陣;X(k),P(k),G(k),V(k)都是n×m維矩陣。

        因此,有著下面的定義:

        定義1:e1,e2屬于數(shù)值不變的常量,若?k≤Kmax,這時就有Vij(k)=e1∪Xij(k)=e2,說明這個方法能夠在長時間內(nèi)被較好地使用。

        定理1: PSO算法可以長期運(yùn)行的要求是

        (5)

        定理2:在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法穩(wěn)定運(yùn)行的情況下,假設(shè)K→Kmax,全部粒子速度是0,并且位置收斂于一點(diǎn)。

        1.2 慣性權(quán)重ω和中間量φ的影響

        據(jù)前文,在定理2中,算法如果要長期運(yùn)行,就需要任意k的ω(k),φ(k),也就是式(5)中曲面相交的地方,因?yàn)楸磉_(dá)式較為龐雜,變化成式(6),通過圖形的方式給出各種參數(shù)組合下算法的穩(wěn)定運(yùn)行狀況。

        (6)

        以x軸作為ω,y軸作為φ,圖中黑色的部分是z≡0的部分,當(dāng)區(qū)間位于-1.5<ω<1.5,-1.5<φ<1.5的時候,如果進(jìn)行投影,就可以得到圖1。

        圖1 算法的穩(wěn)定性關(guān)系

        從圖1可以看出,在任一時刻k慣性權(quán)重ω,φ在黑色空間內(nèi)時該離散時間系統(tǒng)可以長期使用。假設(shè)長期運(yùn)作時要求-0.5<ω<1,ω為式(3)的相關(guān)矩陣,在不考量干擾的條件下,速度的運(yùn)行軌跡為

        V(k)=ωkV(0).

        (7)

        式中:V(0)為速度的初始情況。

        從上述分析能夠發(fā)現(xiàn),確保系統(tǒng)穩(wěn)定使用時,即ω,φ在所有的時間范圍之內(nèi),他們的k的取值都是在黑色的位置,式(3)的所有粒子速度的值都會變得比較小。如果基于理論角度出發(fā)來看,這其中的差異就在于0<ω<1時,速度V的響應(yīng)為單調(diào)衰減,符號不變;如果有-0.5<ω<1,那么V的響應(yīng)則會變成正負(fù)交替,在震蕩中呈現(xiàn)出衰減的趨勢。這么來看,基于某種角度進(jìn)行分析,當(dāng)ω在尋找最優(yōu)解環(huán)節(jié)中可正可負(fù)時拓展粒子的搜索空間與速度V狀態(tài)軌線的龐雜性,使得這種方式能夠更好地在迭代環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解。

        2 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的改進(jìn)

        為了進(jìn)一步提升PSO算法的性能,主要從ω,v與歷史最優(yōu)值入手,闡述改進(jìn)方式及其因素,逐步使用本文指出的以慣性權(quán)重矩陣作為基礎(chǔ)的RDR-PSO算法。

        2.1 隨機(jī)慣性權(quán)重矩陣的引入

        本文提出使得粒子在所有步驟都有較強(qiáng)的概率收斂、較小的概率發(fā)散的參數(shù)組合選擇方式,此類形式不僅能夠確保所有粒子的廣泛分布,還能夠保證算法有較強(qiáng)的穩(wěn)定性。不過所有粒子的搜索路線還是有盲目性的特征,所以文中為所有粒子所有維速度在每一步驟獨(dú)立設(shè)計1個隨機(jī)性的ω,并且其權(quán)重能夠是正值或者負(fù)值。利用這種方式能夠?yàn)榱W拥乃俣扰c位置變化帶來隨機(jī)性,造成運(yùn)動狀況更為龐雜,這是為了盡量減少擴(kuò)大搜索范圍而產(chǎn)生的盲目性。

        這時式(3)表達(dá)為

        V(k+1)=(ωmin+(ωmax-ωmin)rand(n,d))V(k)+

        c1r1(P(k)X(k))-c2r2(G(k)X(k)).

        (8)

        式中:d為待改進(jìn)函數(shù)自變量的數(shù)量;n為原始粒子數(shù)量;ωmin,ωmax為速度所有維允許的慣性權(quán)重的極值;X(k),V(k),P(k),G(k)各自是n×d維位置、搜索速度、個體歷史最優(yōu)點(diǎn)、全局最優(yōu)位置矩陣,其中,G(k)中數(shù)值都相同,(ωmin+(ωmax-ωmin)rand(n,d))就是為了提升其性能,繼而運(yùn)用n×d的矩陣。

        基于上文分析,具體數(shù)值為

        (9)

        式中:ω(k)為n×d維矩陣,此時各個環(huán)節(jié)k達(dá)到1個條件:P發(fā)散>P收斂,意味著該方式有著良好的收斂性。

        為了更好地闡述對于各個步驟來說,每個步驟都是其中各個維度的定義慣性權(quán)重參數(shù),且是具有優(yōu)勢的,然后對其設(shè)定變量c1=c2=0.5∪ω遞減、c1=c2=2∪ω遞減以及c1=c2=2∪ω矩陣,然后對3種情況進(jìn)行分析,在這些狀態(tài)下,粒子的原始狀態(tài)為:X(0)=[5-5],V(0)=[-32]。

        2.2 定義粒子活躍度

        速度在0的均衡點(diǎn)得到穩(wěn)定收斂,所以可以將全部的粒子在k時間里的活躍情況認(rèn)為是每個維度上的絕對速度的極值,也就是

        Di(k)=max(|Vi(k)|).

        (10)

        式中:Di(k)代表在第k步時第i個粒子的活躍情況。

        從式(10)可知,Di(k)數(shù)值越小,速度越慢,其搜索最優(yōu)解的性能越不好,越接近于局部最優(yōu)解。假設(shè)Di(k)較小時,其搜索范圍將會不斷縮小,這時有助于找到局部最優(yōu)解,不過無法提升全局搜索速度,就是均衡算法的全局尋優(yōu)性能與局部尋優(yōu)性能,為Di(k)設(shè)定一個極值Dmin,而且設(shè)置1個常數(shù)klimit,假設(shè)Di(k)在連續(xù)的相應(yīng)的次數(shù)比Dmin要低的時候,就說明這個例子具有比較低下的活躍度。

        3 基于慣性權(quán)重矩陣的自適應(yīng)粒子群算法

        在上述的討論中,當(dāng)某一粒子的活躍程度不高時,說明速度越低,這時粒子位置信息與速度信息不會變化,呈現(xiàn)早期收斂情況,算法無法使用。本次通過速度與位置更新,使得這種粒子再次進(jìn)到搜索環(huán)節(jié),能夠確保在這種算法使用中全部粒子長期處于尋優(yōu)狀態(tài),從而提升粒子使用率。這時所有粒子的pi(k)≈G(k),為了確保重置的粒子可以受到全局最優(yōu)位置與個體歷史最優(yōu)位置的共同作用,使用個體歷史最優(yōu)位置干擾方式,使其位置參數(shù)發(fā)生變化,進(jìn)而拓展尋找范圍。

        從上述分析能夠發(fā)現(xiàn),這種改進(jìn)的算法保留了原有算法方便易用的特征,其存在的差別如下:

        1)速度更新公式由(1)變成(8),其中的不同就是以慣性權(quán)重矩陣作為基礎(chǔ)。

        2)在速度更新公式里面,上面一個步驟的速度v(k)和歷史當(dāng)中最優(yōu)序列p(k)在當(dāng)前的疊代過程中出現(xiàn)變化。推斷其有無出現(xiàn)變化的基礎(chǔ)是:第i個粒子的活躍程度Di(k)有無持續(xù)klimit次低于臨界值Dmin,“是”則代表v(k)中第i行參數(shù)更新,同樣地對于p(k)中第i行參數(shù)給出1個干擾作用。

        3)本次使用的歷史最優(yōu)值干擾方式就是(β1+β2-β1)×rand)+1)×pi(k),其中,β1,β2為擾動數(shù)值,而非(β1+β2-β1)×rand)×pi(k),由于這時所有粒子歷史最優(yōu)位置會迅速減退至0 ,對于最優(yōu)解在0時的能力評估的函數(shù)還是比較有用的,但是這會讓算法的使用缺乏相應(yīng)的價值。

        4)對于參數(shù)組合策略來說,按照式(9)來進(jìn)行選擇。其中,具體步驟與上文提出的一樣,在這里不一一說明。

        4 算法測試

        在對本次指出的RDR-PSO算法展開仿真比較驗(yàn)證過程中,了解Dmin參數(shù)選擇的差異,將直接關(guān)系到算法性能,同樣地為了掌握本次算法的優(yōu)點(diǎn),先是簡要說明6種基本測試函數(shù),之后對RDR-PSO算法性能展開仿真試驗(yàn),具體如下。

        4.1 基本測試函數(shù)及介紹

        本文基于6個種類的函數(shù)來對文章提出的算法進(jìn)行測試,測試算法查詢最優(yōu)解的能力,這些函數(shù)有著不一樣的極數(shù),其名稱、公式和最優(yōu)值具體見表1,其中,Sphere表示單峰函數(shù),只有1個極數(shù),尋找最優(yōu)解沒有太大難度。Rosenbrack函數(shù)是病態(tài)函數(shù),其極數(shù)存在于1條縫隙中,而其它函數(shù)都是多峰函數(shù),在搜索范圍內(nèi)有著若干極數(shù),尋找最優(yōu)解比較困難。本文基于表1中的6種函數(shù),對本文算法的能力進(jìn)行測試。

        表1 6種測試函數(shù)及極值

        4.2 不同Dmin參數(shù)對算法性能的影響

        在本次仿真驗(yàn)證過程中,將初始粒子數(shù)量設(shè)定成80,klimit數(shù)值是2,慣性權(quán)重矩陣按照[-0.5,0.8]進(jìn)行取值,參數(shù)設(shè)置是10-1,10-2,10-3,10-4,10-5。最大疊代設(shè)定成2 000。所有測試函數(shù)搜索區(qū)間是[-10,10],對于所有函數(shù)10維、20維、30維時RDR-PSO算法單獨(dú)運(yùn)作20次,其結(jié)果可見各種Dmin數(shù)值對于不同測試函數(shù)在同樣的其他情況下其結(jié)果準(zhǔn)確度存在差別,從總體結(jié)果能夠發(fā)現(xiàn),在Dmin參數(shù)選取10-3或者10-4時算法對于各種測試函數(shù)都能實(shí)現(xiàn)良好的搜索效果,因此,在之后的比較研究中并未特別說明,都將Dmin參數(shù)設(shè)置成10-4。

        5 結(jié)束語

        PSO隨機(jī)搜索算法因?yàn)榫哂幸壮霈F(xiàn)局部極數(shù)、收斂效率低的缺陷,本文從離散狀態(tài)空間表達(dá)式入手,探討粒子群算法的穩(wěn)定性,獲得改進(jìn)后的自適應(yīng)粒子群算法(RDR-PSO),并對RDR-PSO進(jìn)行仿真驗(yàn)證。結(jié)果表明,改進(jìn)后的PSO算法與標(biāo)準(zhǔn)PSO算法性能進(jìn)行比較分析,得到RDR-PSO算法有著可以提升收斂準(zhǔn)確度與跳出局部極數(shù)的特征,說明RDR-PSO有著收斂準(zhǔn)確性高、全局尋優(yōu)速度快、方便易用,發(fā)展前景廣闊。然而本文僅從離散狀態(tài)空間表達(dá)式入手來探討粒子群算法的穩(wěn)定性,結(jié)論并不全面,以后還需深入研究。

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