李順勇， 李可心

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

艾滋病主要是由HIV病毒攻擊人體免疫系統(tǒng)而引起，具有傳染性強(qiáng)、致死率高的特點(diǎn)，現(xiàn)已引起全球健康機(jī)構(gòu)的高度關(guān)注［1-3］. 目前，我國(guó)處于艾滋病發(fā)病和死亡的高峰期，有效地預(yù)測(cè)短期內(nèi)艾滋病的發(fā)病人數(shù)，可以為我國(guó)衛(wèi)生防護(hù)工作帶來(lái)可靠的依據(jù). 當(dāng)前，國(guó)內(nèi)對(duì)各地區(qū)艾滋病發(fā)病人數(shù)的預(yù)測(cè)研究已有多種方法，且都取得了不錯(cuò)的效果［4-14］. 2017年，Taylor等研究人員提出了一種新時(shí)序模型，即Prophet模型. 該模型加入了新的構(gòu)成項(xiàng)Holiday 以及Changepoint，并將其廣泛應(yīng)用于語(yǔ)言處理以及圖像處理中［15-16］. 但是相比之下，Prophet模型與傳統(tǒng)時(shí)序模型哪個(gè)對(duì)艾滋病發(fā)展?fàn)顩r有更好的預(yù)測(cè)效果，也是值得討論的問(wèn)題. 本文采用ARIMA乘積季節(jié)模型和Prophet模型對(duì)我國(guó)艾滋病發(fā)病數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)與評(píng)估，從而為艾滋病的控制和預(yù)防提供合理依據(jù).

1 資料與方法

1.1 資料來(lái)源

2013年1月至2019年10月的艾滋病發(fā)病人數(shù)來(lái)源于國(guó)家疾病預(yù)防控制局［17］，發(fā)病人數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)截至每月最后一天.

1.2 ARIMA時(shí)間序列模型的構(gòu)建

ARIMA模型是應(yīng)用最廣泛的一種時(shí)間序列預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)模型，主要是利用一定的數(shù)學(xué)原理，將預(yù)測(cè)對(duì)象隨時(shí)間推移所形成的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行近似描述. ARIMA模型不需利用額外的變量，但要求序列本身或差分后的序列是平穩(wěn)的［18-20］. 考慮到時(shí)間序列數(shù)據(jù)的季節(jié)性、周期性和長(zhǎng)期趨勢(shì)性，選擇了ARIMA乘積季節(jié)模型，即ARIMA(p,d,q)×(P,D,Q)s.其中，p和P分別為自回歸平均階數(shù)與季節(jié)性自回歸平均階數(shù)，q和Q分別為移動(dòng)平均階數(shù)與季節(jié)性移動(dòng)平均階數(shù)，d和D分別為平穩(wěn)化過(guò)程中的差分階數(shù)與季節(jié)差分階數(shù)，s為季節(jié)周期［1］.

圖1 Prophet模型流程圖Fig.1 Prophet model flow chart

1.3 Prophet模型

Prophet 模型是Taylor 等研究人員在2017 年提出的時(shí)序模型，該模型能夠有效地分析數(shù)據(jù)本身的特征以及變化規(guī)律，并有良好的預(yù)測(cè)性能. 該模型相較于傳統(tǒng)時(shí)序模型，加入了節(jié)日以及切換因子，預(yù)測(cè)更加靈活［21-22］，Prophet工作流程如圖1.

1.3.1 模型構(gòu)成

Prophet模型從另一角度可看作加性模型［22］，分為趨勢(shì)、季節(jié)、節(jié)日3個(gè)部分，模型構(gòu)成如式（1）.

1.3.2 模型解釋

1）g(t)為趨勢(shì)項(xiàng)，是模型的核心項(xiàng)，用來(lái)擬合時(shí)序中的非周期性變化［23-24］，該項(xiàng)函數(shù)式為

式中：C 代表容量；k 代表模型的增長(zhǎng)率；b 代表模型偏移量，當(dāng)t 不斷增加時(shí)，1+e()-k(t-b)會(huì)趨近于1，即g(t)趨近于C.

2）s(t)為季節(jié)項(xiàng)，該項(xiàng)的周期因子采用了傅里葉級(jí)數(shù)，表達(dá)式為：

式中：T代表周期；n代表模型中使用周期數(shù)的一半.

3）h(t)為節(jié)日項(xiàng)，該項(xiàng)將節(jié)日影響這一因素獨(dú)立出來(lái)，表達(dá)式為

式中：每個(gè)節(jié)日用i 表示；Di為節(jié)日集合；Z(t)=[1(t ∈D1),…,1(t ∈Di)]；1(t ∈Di)為指示函數(shù)，若t 在Di中，則1(t ∈Di)的值為1，若t不在Di中，則1(t ∈Di)的值為0；κi為每個(gè)節(jié)日的參數(shù)，代表對(duì)每個(gè)節(jié)日的影響.

2 結(jié)果與分析

2.1 ARIMA時(shí)間序列模型

2.1.1 檢驗(yàn)時(shí)間序列穩(wěn)定性 利用Python軟件，對(duì)2013年1月至2019年10月的艾滋病發(fā)病數(shù)進(jìn)行趨勢(shì)與季節(jié)分解（圖2）. 圖2表明，艾滋病發(fā)病人數(shù)在2013年1月至2019年10月呈現(xiàn)明顯上升趨勢(shì)，且具有極強(qiáng)的季節(jié)性，周期約為1年. 進(jìn)入10月后，發(fā)病人數(shù)迅速升高，達(dá)到一年中的頂峰，隨后又快速下降至最小值.

為判斷該時(shí)間序列數(shù)據(jù)是否為平穩(wěn)序列，對(duì)其進(jìn)行Dickey Fuller 平穩(wěn)性檢驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表1. 所得P值為1.00，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于臨界值0.05，說(shuō)明不能拒絕原假設(shè). 所以在一定的可信度下，可以認(rèn)為該時(shí)間序列數(shù)據(jù)是不穩(wěn)定的.

圖2 AIDS發(fā)病數(shù)趨勢(shì)分解圖Fig.2 AIDS incidence trend decomposition chart

表1 DF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果Tab.1 DF test statistics result

2.1.2 時(shí)間序列平穩(wěn)化 時(shí)間序列數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定因素主要有兩個(gè)：一是趨勢(shì)，數(shù)據(jù)隨時(shí)間推移有上升或下降的趨勢(shì). 二是季節(jié)性，數(shù)據(jù)在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，又出現(xiàn)相似的發(fā)展?fàn)顩r. 對(duì)不平穩(wěn)序列的處理方式主要有對(duì)數(shù)變換法、平滑法、差分法以及分解法. 本文主要采用對(duì)數(shù)變換法消除時(shí)間序列的方差不齊性，采用差分法消除時(shí)間序列的季節(jié)性.

首先對(duì)2013年1月至2019年10月間的艾滋病發(fā)病人數(shù)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，使得數(shù)據(jù)值域的范圍縮小，振幅減小，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一階差分（d=1）（圖3（a）），由圖可見(jiàn)時(shí)序圖仍存在一定的趨勢(shì). 再進(jìn)一步進(jìn)行季節(jié)差分（D=1）（圖3（b））. 結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)兩次差分后，時(shí)間序列的移動(dòng)平均值與移動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差都趨于一個(gè)固定的常數(shù)，幾乎沒(méi)有波動(dòng)，由此可以認(rèn)為此時(shí)的序列數(shù)據(jù)已經(jīng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài).

2.1.3 模型階數(shù)的確定 對(duì)經(jīng)過(guò)一階差分與季節(jié)差分后的平穩(wěn)時(shí)間序列做ACF 和PACF 檢測(cè)，結(jié)果見(jiàn)圖4. 時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)超過(guò)95%落在2 倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，且呈現(xiàn)拖尾狀態(tài)，故初步假定模型為ARIMA(p,1,q)×(P,1,Q)12. 其中，p、q、P 和Q 可以取值為0 和1. 依據(jù)赤池信息量準(zhǔn)則（AIC）和貝葉斯信息量準(zhǔn)則（BIC）對(duì)16 種模型進(jìn)行判定（表2），最終選取AIC 和BIC 最小值所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)模型：ARIMA（0，1，1）×（0，1，1）12.

圖3 兩次差分后的指標(biāo)時(shí)序圖Fig.3 Index timing chart after two differences

圖4 差分后序列的ACF和PACF圖Fig.4 ACF and PACF diagram of the sequence after difference

表2 16種ARIMA模型的信息量對(duì)比Tab.2 Comparison of the information contents of ARIMA model

2.1.4 AIDS發(fā)病數(shù)預(yù)測(cè) 將2013年1月至2019年10月的艾滋病發(fā)病人數(shù)取對(duì)數(shù)后分為訓(xùn)練集（2013年1月至2018 年12 月）和預(yù)測(cè)集（2019 年1 月至2019 年10 月），利用ARIMA 模型進(jìn)行預(yù)測(cè)與評(píng)估，結(jié)果見(jiàn)表3 和圖5. 可以看出，艾滋病發(fā)病人數(shù)的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)基本吻合，且發(fā)展趨勢(shì)也相同，相對(duì)誤差RMSE 為345.46.

表3 ARIMA模型2019 年各月序列預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)結(jié)果Tab.3 Monthly sequence prediction evaluation results in 2019 with ARIMA model

圖5 ARIMA模型序列預(yù)測(cè)趨勢(shì)圖Fig.5 Monthly forecast trend chart with ARIMA model

2.2 Prophet模型

2.2.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)選取 為判斷Prophet模型對(duì)艾滋病發(fā)病數(shù)的預(yù)測(cè)效果，同樣選取相對(duì)誤差（RMSE）作為評(píng)估的標(biāo)準(zhǔn). 指標(biāo)計(jì)算公式：

式中：x為艾滋病發(fā)病數(shù)的實(shí)際值；x?為Prophet 模型的預(yù)測(cè)值；n為預(yù)測(cè)的總月數(shù). RMSE值越小，說(shuō)明模型預(yù)測(cè)性能越好.

2.2.2 Prophet 模型擬合效果 采用fbprophet 庫(kù)建立Prophet 模型，模型的interval width 參數(shù)設(shè)置為0.95，periods 參數(shù)設(shè)置為12，fre設(shè)置為MS. 運(yùn)用Prophet模型對(duì)2013年1月至2019年10月的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果見(jiàn)表4和圖6. 可以看出，預(yù)測(cè)趨勢(shì)和實(shí)際趨勢(shì)基本相同，RMSE為328.88.

表4 Prophet模型2019 年各月序列預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)結(jié)果Tab.4 Monthly sequence prediction evaluation results in 2019 with Prophet model

圖6 Prophet模型序列預(yù)測(cè)趨勢(shì)圖Fig.6 Monthly forecast trend chart with Prophet model

3 討論

艾滋病是全球關(guān)注的健康衛(wèi)生問(wèn)題，正確預(yù)測(cè)艾滋病的發(fā)展趨勢(shì)有助于艾滋病的控制和防護(hù).

ARIMA模型結(jié)合了回歸分析和移動(dòng)平均兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，主要通過(guò)階數(shù)判定來(lái)選擇最優(yōu)模型，它以數(shù)據(jù)平穩(wěn)性為前提條件，對(duì)具有趨勢(shì)性與周期性的序列進(jìn)行預(yù)測(cè). 本文以2013年1月至2019年10月艾滋病發(fā)病人數(shù)為基礎(chǔ)，根據(jù)AIC最小原則選取ARIMA（0，1，1）×（0，1，1）12模型，對(duì)全國(guó)艾滋病發(fā)病數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)和驗(yàn)證. 結(jié)果表明，實(shí)際發(fā)病人數(shù)在預(yù)測(cè)值的95%置信范圍內(nèi)波動(dòng)，說(shuō)明ARIMA模型可以有效地對(duì)我國(guó)艾滋病發(fā)病狀況進(jìn)行短期預(yù)測(cè).

Prophet模型在傳統(tǒng)時(shí)序模型的基礎(chǔ)上，減小了時(shí)間在結(jié)構(gòu)上的依賴關(guān)系，綜合考慮了時(shí)間序列中可能存在的趨勢(shì)性、周期性、節(jié)假日效應(yīng)以及異常值等情況，可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)來(lái)尋找最優(yōu)的預(yù)測(cè)效果. 本文在進(jìn)行多次模擬后，將參數(shù)interval width設(shè)置為0.95，periods設(shè)置為12，fre設(shè)置為MS，對(duì)2013年1月至2019年10月的艾滋病發(fā)病數(shù)進(jìn)行擬合. 結(jié)果表明，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)基本吻合，且發(fā)展趨勢(shì)也相同. 同時(shí)，相比ARIMA模型，Prophet模型預(yù)測(cè)所得的RMSE有所降低，這說(shuō)明Prophet模型在全國(guó)艾滋病發(fā)病數(shù)上的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于ARIMA模型.