成克勤 龐耀輝

(甘肅省蘭州市第七十一中學(xué) 730084)

一、題目再現(xiàn)及其推廣

原題對(duì)滿足a+b+c+d=4的非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c,d，

文獻(xiàn)[1]給出上述問題的幾個(gè)推廣.

最后，給出更具一般性的命題及其證明.

命題如果非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=2nk,其中n為任意給定的正整數(shù)，k為任意給定的正實(shí)數(shù)，那么

二、聯(lián)想再探究

上述結(jié)論是涉及四個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的不等式，那么聯(lián)想到：n個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a1,a2,…,an(n≥4)之間是否存在相應(yīng)的不等式呢？經(jīng)探究得到如下結(jié)論.

定理如果非負(fù)實(shí)數(shù)a1,a1,…,an(n≥4)滿足a1+a1+…+an=2mk, 其中m為任意給定的正整數(shù),k為任意給定的正實(shí)數(shù)，

那么

下面我們先證明如下引理.

引理1若a1,a1,…,an≥0(n∈N,n≥4)，則4(a1a2+a2a3+…+ana1)≤(a1+a2+…+an)2.

證明設(shè)f(a1,a2,…,an)=4(a1a2+a2a3+…+ana1)-(a1+a2+…+an)2，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明f(a1,a2,…,an) ≤0.

當(dāng)n=4時(shí)，f(a1,a2,…,an) ≤0

等價(jià)于4(a1+a3)(a2+a4)≤(a1+a2+a3+a4)2，由均值不等式知，命題成立.

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4)時(shí)命題成立，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)ak=min{a1,a2,…,ak,ak+1},

于是有

f(a1,a2,…,ak+1)-f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1)

=4[ak-1ak+akak+1+a1ak+1-ak-1(ak+ak+1)-(ak+ak+1)a1]

=-4[(ak-1-ak)ak+1+a1ak] ≤0,

故f(a1,a2,…,ak+1) ≤f(a1,a2,…ak-1,ak+ak+1) .

由歸納假設(shè)知

f(a1,a2,…,ak-1,ak+ak+1) ≤0，

則f(a1,a2,…,ak+1)≤0,

故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.引理證畢.

引理2[1]對(duì)任意x≥0，都有xm+1-(m+1)kxm+mmkm+1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=mk時(shí)等號(hào)成立(其中m為正整數(shù)，k為正實(shí)數(shù)).

根據(jù)引理2及x≥0可知，不等式x[xm+1-(m+1)kxm+mmkm+1]≥0成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或x=mk時(shí)等號(hào)成立.

上述不等式等價(jià)于

(m+1)mmkm+2≥-(xm+1+mmkm+1)[x-(m+1)k],

從而有

其中當(dāng)且僅當(dāng)

a1=a2=mk,a3=a4=…=an時(shí)等號(hào)成立.

三、應(yīng)用

根據(jù)這個(gè)定理，我們可以獲得一些有趣的題目的解答或不等式.

設(shè)整數(shù)n>3，非負(fù)實(shí)數(shù)a1,a2,…,an

滿足a1+a2+…+an=2，