蔡海濤 盧 妮
(福建省莆田第二中學 351131)
題目(2020年高考江蘇卷12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),則x2+y2的最小值是____.
點評利用消元轉(zhuǎn)換消去x,把x2+y2化為只含有y一個變量的式子,再利用基本不等式求得求值.多元變量求最值問題利用消元轉(zhuǎn)化是常規(guī)套路,利用基本不等式要注意“一定、二正、三等號”.
解法3 同解法2把問題轉(zhuǎn)化為求a+b的最小值.
點評解法2基本思路同解法1,均是先利用消元轉(zhuǎn)化再利用基本不等式求得最值,區(qū)別之處是發(fā)現(xiàn)已知和要求的式子次數(shù)較高,先利用換元進行降冪,使得運算簡化.解法3關(guān)鍵是注意到5ab+b2為定值,故進行配湊再利用基本不等式得到一個關(guān)于a+b的不等關(guān)系,從而求得a+b的范圍.
點評首先把a+b看作一個整體t,再得到關(guān)于b的一元二次方程,利用判別式求得t的范圍.
點評考慮將式子a2+(2-5λ)ab+(1-λ)b2配成一個完全平方式,故令Δ=(2-5λ)2-4(1-λ)=0,求得λ的值,進而得到(a+b)2的不等關(guān)系,求得范圍.
解法6 同解法2,5ab+b2=1,則(5a+1)b=1(a,b≥0).
點評雙變量問題常??梢酝ㄟ^確定主元,看成一個函數(shù)關(guān)系來進行處理.
多元變量最值問題在近年各地高考中頻頻出現(xiàn),其特殊的解析式結(jié)構(gòu)決定其具有知識覆蓋面廣、綜合性強、解題方法靈活多樣的特點.通過以上高考題的多解分析,可總結(jié)方法一般是從數(shù)和形兩個角度著手進行研究.從數(shù)的角度出發(fā),常常是利用函數(shù)方程思想,進行消元轉(zhuǎn)化,結(jié)合換元簡化,再利用基本不等式求得范圍;從形的角度出發(fā),常常是發(fā)現(xiàn)多元變量之間的關(guān)系,具有怎樣的幾何意義,再利用幾何特征判斷取得最值的位置,最后求得范圍.