高振寧

(山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

原題再現(xiàn)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

當(dāng)a=1時(shí)，f′(1)=0,當(dāng)x∈(0,1)，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上是減函數(shù);x∈(1,+)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(1,+)上是增函數(shù).∴f(x)min=f(1)=1,故f(x)≥1恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).

方法二(放縮法)：當(dāng)0

當(dāng)a>1時(shí)，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx，由a=1的結(jié)論可知f(x)=ex-1-lnx≥1恒成立.

綜上可知：a的取值范圍是[1,+).

方法四(同構(gòu)函數(shù)y=xex):

因f(1)=a+lna≥1，設(shè)g(a)=a+lna，顯然y=g(a)在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù)，g(a)≥g(1)=1，故a≥1.f(x)=aex-1-lnx+lna≥1，得顯然則原不等式等價(jià)于設(shè)g(x)=xex，顯然g(x)在(0,+)上是增函數(shù)，則上述不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí)顯然成立;當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于由于ex≥1+x，且a≥1則可得故a的取值范圍是[1,+).

方法六(分而治之法):

方法三、四、五可以歸結(jié)成同構(gòu)法，同構(gòu)法的本質(zhì)是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，借助目標(biāo)函數(shù)單調(diào)性把復(fù)雜函數(shù)簡(jiǎn)單化遞減，比方說若F(x)≥0能等價(jià)變形為F(f(x))≥F(g(x))，若F(x)遞增，則問題轉(zhuǎn)化為f(x)≥g(x)，若F(x)遞減，則問題轉(zhuǎn)化為f(x)≤g(x).此類方法的關(guān)鍵是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，高考?jí)狠S題中的構(gòu)造常見形式可分為兩類：

(1)aea≤blnb可以同構(gòu)aea≤lnbelnb，借助函數(shù)f(x)=xex解決，也可以同構(gòu)ealnea≤blnb，借助f(x)=xlnx解決，更可以同構(gòu)為lna+a≤lnb+ln(lnb)，借助f(x)=x+lnx解決.

方法六屬于解決問題的巧妙方法，不屬于通性解法，一般情況下f(x)≥g(x)不等價(jià)于f(x)min≥g(x)max，但是對(duì)于極個(gè)別的問題，利用上分而治之的方法，會(huì)極大地降低運(yùn)算程度，但是構(gòu)造不等式兩側(cè)的目標(biāo)函數(shù)有一定的技巧性，學(xué)生不易掌握.