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        對(duì)一道經(jīng)典競賽題的商榷

        2020-10-19 08:52:08
        數(shù)理化解題研究 2020年28期
        關(guān)鍵詞:競賽題初速度本題

        邵 韜

        (浙江省寧波市鄞州中學(xué) 315100)

        一、對(duì)一道競賽題的質(zhì)疑

        在高中物理磁場(chǎng)這一章,有這樣一道競賽題:

        如圖1所示,質(zhì)量為m,帶電量為q的正點(diǎn)電荷在水平面上運(yùn)動(dòng),受到的阻力f=-kv.有一寬度為d的帶狀區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于水平面向里,大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).問質(zhì)點(diǎn)要穿過MN區(qū)域,初速度v0至少要多大,方向θ0如何?

        當(dāng)前的解析是由動(dòng)力學(xué)方程出發(fā),寫出動(dòng)量微分關(guān)系

        在x方向上:-qvyB-kvx=max?-qΔyB-kΔx=mΔvx

        在y方向上:qvxB-kvy=may?qΔxB-kΔy=mΔvy

        考慮到剛好穿過MN區(qū)域時(shí)速度為零,對(duì)上式求和并代入始末條件

        在x方向上: -qBd-kx=0-mv0cosθ0

        在y方向上:qBx-kd=0-mv0sinθ0

        筆者認(rèn)為解析中對(duì)穿出磁場(chǎng)時(shí)速度為零的假設(shè)存疑.恰好穿出磁場(chǎng)時(shí)速度的豎直分量為零,水平分量一定為零嗎?

        二、對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的研究

        考慮到阻力始終與速度方向共線,洛倫茲力始終垂直于速度方向,建立自然坐標(biāo)系.設(shè)t時(shí)刻粒子的速度為v,如圖2.

        角速度恒定,可設(shè)t時(shí)刻速度方向與x軸正方向的夾角為θ=ωt+θ0

        粒子在xy方向上均做欠阻尼振動(dòng),速度不可能同時(shí)為零,僅在t→∞時(shí),速度v→0,靜止于某一點(diǎn)Q

        由分部積分法可推導(dǎo)積分公式

        得位移在直角坐標(biāo)系中的分量

        三、對(duì)習(xí)題的釋疑

        現(xiàn)在來解答本題,粒子剛好出磁場(chǎng)時(shí)vy=0,且第一次到達(dá)最高點(diǎn),則ωt1+θ0=π

        代入時(shí)刻t1,滿足關(guān)系

        本式表明,粒子恰好能出磁場(chǎng)時(shí),不同的入射方向θ0時(shí)所對(duì)于的初速度v0不同.仍然設(shè)定參數(shù)ω=1rad/s,k=0.1kg·s-1,m=1kg,并取d=1m,通過matlab軟件繪制θ0-v0圖,如圖4.由圖得當(dāng)v0min=0.579m/s,此時(shí)θ0=0.180rad.題目的設(shè)計(jì)者本身是想考察物理學(xué)習(xí)者對(duì)臨界思想在動(dòng)量微分關(guān)系上應(yīng)用技巧,但未考慮粒子運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性,因此本題只能從動(dòng)力學(xué)方程入手求解.

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