張 忠
(福建省福安市第一中學 355000)
數形結合技巧是解答一些相應的填空題中非常有效的一類方法,破解的基本思維就是利用題目條件,建立對應的圖形、圖象,借助圖形或圖象的直觀性,利用圖形或圖象的形象以及數量的關系來合理轉化,巧妙破解.數形結合法處理時,直觀形象,簡捷有效,是破解小題中的一大常見思維,在數學中占有十分重要的地位.
破解一些函數的填空題時,直接聯(lián)系函數圖象,通過對函數性質的分析,結合相應的圖象,對相應的函數或方程問題加以轉化,轉化為相應的函數圖象問題,數形結合,根據題意條件,結合性質簡捷分析與求解.
例1已知f(x)是以2為周期的偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=x,那么在區(qū)間[-1,3]內,關于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R且k≠-1,k≠0)的根的個數最少有____個,最多有____個.
分析直接確定相應方程的根的個數無從下手,而通過函數的性質作出相應的函數圖象,利用直線的性質,數形結合來處理相應的函數問題.
解析先作出x∈[0,1]時,f(x)=x的函數圖象,根據f(x)是以2為周期的偶函數,作出在區(qū)間[-1,3]內的圖象,而由于直線y=kx+k+1過點(-1,1)的一簇直線,結合y=f(x)的圖象(如下圖),易知相應的方程的根的個數最少有1個,圖中上面的那條直線與函數圖象的交點情況;最多有4個,圖中下面的那條直線與函數圖象的交點情況,
故分別填答案:1,4.
圖1
點評抓住函數的圖象與性質是解題的關鍵,同時要相應直線所表示的是一簇直線,利用一簇直線的變化,運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題.通過方程中的相關問題,轉化為函數來處理,結合方程與函數的對應關系作出相應的圖象,達到求解的目的.
涉及一些三角形、圓等幾何問題時,若有效借助數形結合,根據數中思形,以形助數,可以直觀有效地加以轉化,合理構建關系,正確破解相應問題.
分析根據曲線的實質,把問題轉化為直線與雙曲線的一部分之間有一個公共點的問題,利用數形結合加以直觀化,從而形象直觀,簡捷處理.
圖2
點評抓住題目條件中直線與曲線的本質,回歸圖象原型,正確畫圖,準確直觀,利用直線與曲線的圖象的交點情況加以正確解決,從而合理破解相應的解析幾何問題.
三角函數的圖象與性質是三角函數的重要部分,借助三角函數圖象與性質來處理問題,模型熟悉,直觀快捷.
分析通過條件中輔助角公式的應用,借助正弦型函數的圖象與性質加以數形結合,從而直觀確定方程的解的和問題.
圖3
點評結合三角函數的圖象數形結合,正確判斷出對應的方程的解的對稱情況,從而得以直觀確定兩個角的和的值,直觀形象,快速處理.
對于一些含有不等式背景的填空題,通過平面區(qū)域等關系知識的轉化,運用數形結合,往往能避免復雜的計算與推理,大大簡化了解題過程.
例4設實數x,y滿足x2+(y-1)2=1,若對于滿足條件的x,y,x+y+c≥0恒成立,則實數c的取值范圍為____.
分析結合題目條件,把對應不等式中的恒成立問題求解參數的值,轉化為直線和圓的位置關系,通過數形結合來處理相應的參數的取值問題.
圖4
點評:抓住不等式恒成立與平面區(qū)域之間的關系是破解問題的關鍵所在.合理借助圖象直觀,數形結合,可以把不等式恒成立問題直觀化,形象化,從而實現數形結合的巧妙應用.
當然,數形結合技巧只是解答填空題的一種特殊的策略,有時還要多種方法并重,與其他的破解方法加以組合,共同形成合力,進而快速有效地破解填空題,實現小題不大做,小題巧解,小題妙算,小題直觀形象處理.