李國(guó)林

(江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 211200)

一、三角形中的隱圓

圖1

例3 在△ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a2+b2+2c2=8，則△ABC面積的最大值為_(kāi)___.

圖2

分析類比上題的想法，也可以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸

點(diǎn)評(píng)本題抓住所給條件是一個(gè)二次形式，以這樣對(duì)稱形式建系可得到較簡(jiǎn)單的“圓”的形式，回避了大量解三角形的運(yùn)算，優(yōu)化了解題過(guò)程，進(jìn)而降低了本題難度.實(shí)際上，對(duì)于兩個(gè)不同的定點(diǎn)A,B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=AB2，對(duì)則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的一個(gè)圓，類比這個(gè)結(jié)論，我們自然會(huì)想到：若PA2+PB2=m2(m>0)，則點(diǎn)P的軌跡是什么？點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，證明如下： 以AB所在直線為x軸，中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，不妨設(shè)AB=2a(a>0)，P(x,y)則A(-a,0)，B(a,0).

二、已經(jīng)建立坐標(biāo)系中的特殊條件

1.平面內(nèi)有一定點(diǎn)，若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到該定點(diǎn)的距離為常數(shù)，那么該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是“圓”

圖3

點(diǎn)評(píng)可以看到，從“形”入手，會(huì)使解題過(guò)程非常順暢，該問(wèn)題解決的關(guān)鍵點(diǎn)是挖掘動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)隱形圓.本題的關(guān)鍵是分析蘊(yùn)含的幾何條件，發(fā)掘其中的隱形圓，使問(wèn)題的解決有了實(shí)質(zhì)性的突破.

2.平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)，若一動(dòng)點(diǎn)到這兩個(gè)兩定點(diǎn)的連線彼此垂直，那么該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是“圓”

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線l3:x-y-4=0的距離的最大值為_(kāi)___.

分析這是一道解析幾何題，其常規(guī)思路是先聯(lián)立直線l1,l2，進(jìn)而求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求P到直線l3最大值，運(yùn)算繁冗.由于參量k不定，進(jìn)而點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，若能依據(jù)條件求得點(diǎn)P的軌跡，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線上動(dòng)點(diǎn)P到定直線的距離的最大值.

點(diǎn)評(píng)由于直線l1,l2處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們從動(dòng)態(tài)中發(fā)掘出不動(dòng)點(diǎn)A,B，這一策略的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)PA與PB的垂直關(guān)系挖掘出點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的隱形圓.

3.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為隱含圓

分析本題為參數(shù)方程與極坐標(biāo)的結(jié)合，直線l化為普通方程后為定直線，點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)是有聯(lián)系的，若能利用這個(gè)聯(lián)系，就能簡(jiǎn)化運(yùn)算了.

點(diǎn)評(píng)若從函數(shù)角度先表示距離，整個(gè)計(jì)算量較大，抓住點(diǎn)P橫縱坐標(biāo)的內(nèi)在規(guī)律，考慮曲線C的軌跡，從“形”的角度來(lái)處理,讓我們解題事半功倍.

總之，本文主要闡述隱含圓的發(fā)掘及其在解題中的作用.所述例題的特點(diǎn)都是題設(shè)條件涉及一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，結(jié)論則需要求一條線段長(zhǎng)度的范圍或最值，從數(shù)的角度看，最終都要依靠函數(shù)、方程或不等式的知識(shí)來(lái)解決，且都有較大的運(yùn)算量.這促使我們轉(zhuǎn)換解題的視角和入口，將“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“形”的問(wèn)題，運(yùn)用軌跡思想尋求動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，從而發(fā)掘隱含圓，進(jìn)而獲得問(wèn)題的最優(yōu)解決方案.這需要我們學(xué)生能經(jīng)常做一些積累，形成良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).