陳格爾 房天啟

摘 要：紅綠燈用以將道路通行權(quán)指定給車輛駕駛?cè)伺c行人，管制其行止及轉(zhuǎn)向之交通管制設(shè)施。設(shè)于交岔路口或其他必經(jīng)地點。在堵塞路段，司機在通過裝有紅綠燈的路段時，會根據(jù)自己對所駕駛車輛穿過紅路燈時間的估測，比較變燈時間，估計是否可穿行馬路，但由于對紅綠燈機制的不了解和錯誤的時間估計，常出現(xiàn)闖紅燈，黃燈不減速等問題，從而引發(fā)交通事故。為了使司機能正確估測自己在交通燈變換前能否安全通過。本文建模過程根據(jù)實際情況，考慮諸如道路車輛啟動速度，車輛行駛速度、車輛之間安全距離、紅綠燈變化時間、路段長度，路段限速等相關(guān)問題，對這些因素進行了數(shù)據(jù)收集，利用數(shù)學(xué)方法進行了分析，得出了車輛安全通過紅綠燈時間的規(guī)律及其擬合方程。

關(guān)鍵詞：紅綠燈問題;建立模型;模型優(yōu)化;擬合方程

司機在通過紅綠燈路段時，會根據(jù)紅綠燈變化的規(guī)律估計自己能否安全通行，如果司機對自己車輛安全通行時間估計錯誤，容易違反交規(guī)，造成交通事故。在日常生活中我們知道紅綠燈的表示如下：

綠燈亮?xí)r，準許車輛通行，但轉(zhuǎn)彎的車輛不得妨礙被放行的直行車輛、行人通行;黃燈亮?xí)r，已越過停止線的車輛可以繼續(xù)通行;紅燈亮?xí)r，禁止車輛通行。

根據(jù)其工作原理我們可以知道[1]，在紅綠燈前首先司機會看到黃燈，黃燈亮后變成紅燈，紅燈亮后，沒有通過停止線的車輛則要停止，行人此時過馬路。此后再變綠燈，以此循環(huán)。

一、建立模型

我們根據(jù)實際情況提出了研究的問題：

一輛車位于堵塞的路段之中，前方路口紅綠燈為紅燈，這輛車的前面還有n輛車在等待變燈，每輛車之間保持安全距離，在變燈后，所有的車將以相同的加速度啟動車輛，并保持加速度不變行駛。若啟動前，司機會有一段反應(yīng)時間T1，排在最前面的車的司機對紅綠燈變化做出反應(yīng)，后面的司機依此對前面的車的啟動做出反應(yīng)，求這輛車是否能安全通過紅綠燈，通過的時間為多長？（注意考慮道路限行速度）

二、模型的假設(shè)

1、假設(shè)公路路面行駛順暢，所有車輛長度恒定，車距相等;

2、假設(shè)司機的反應(yīng)時間相同;

3、假設(shè)車輛啟動速度相同。

4、假設(shè)紅綠燈在相同時間段內(nèi)變化時間相同

5、車輛行駛所受環(huán)境因素的阻力不計

6、全部的車輛車型相同

符號說明：

A為車輛由靜止啟動加速度（m/s）

V為車輛達到限速后勻速行駛的速度（m/s）

t為紅綠燈的變燈時間周期（s）

T1為司機反應(yīng)時間（s）

m為兩車間安全車距范圍最小值（m）

n為司機所駕駛車輛啟動前，紅綠燈和該車輛之間的等待車輛數(shù)（個）

d為車身長度（m）

T2，T3為不同條件下的汽車行駛時間（s）

X1，X2，X3，X4為不同條件下的汽車行駛位移（m）

三、模型求解

根據(jù)情景分析：在堵塞的路段，車輛緊密排列，各個車輛間保持安全行駛距離。紅綠燈變化后，排在第一位的車輛司機率先發(fā)生反應(yīng)，啟動車輛，后面的司機看到前方車啟動后，依次進行反應(yīng)并啟動車輛，使車輛進行勻加速運動，若路段有限速，則到達限速后，車輛保持勻速行駛。則車輛過燈行駛的時間，可分為兩部分：

（1）等待時間（等待前方車輛的啟動時間，司機的反應(yīng)時間）

（2）行駛時間（車輛以恒定加速度啟動并行駛，到達最大行駛速度后勻速行駛）

首先分析等待時間：

變燈后第一輛車的司機將先進行反應(yīng)，消耗時間T1，然后啟動汽車，后面的司機看到前方車輛啟動，進行反應(yīng)，消耗時間T1，再進行車輛啟動，依次類推。則易得出，司機的等待時間為nT1。

再分析行駛時間，若該道路沒有限速，則車倆將一直勻加速向前行駛，根據(jù)物理學(xué)公式推導(dǎo)車輛安全過燈所經(jīng)過的距離為：前方等待車輛數(shù)n乘以單個車輛長度m再加上每個車輛間的安全距

離n，即為X=dn+m（n-1）則通過該路段的時間為

在不限速（或行駛到紅綠燈前速度未達到限速）的情況下，

車輛過燈的時間為：

因此，當(dāng)T≤t，即：時，司機可駕駛

車輛安全過燈，安全過燈的時間為

四、優(yōu)化模型

為了更加貼合實際，除了車輛限速，還應(yīng)多加考慮追尾問題，倘若前方車輛已經(jīng)達到限速開始勻速行駛，而后方車輛還在加速運動，兩車就會有追尾的風(fēng)險，為了避免這種情況的發(fā)生，需考慮前后兩車的位移情況X3，X4，若會發(fā)生追尾事件，則在后面的車達到最大限速度開始勻速運動時，兩車位移X4>X3，為了避免追尾，后車的位移應(yīng)當(dāng)小于前車位移，并且兩車應(yīng)保持安全距離m。所以，應(yīng)該讓前面的車先行駛X4-X3+m的距離后，后面的車再開始啟動進行加速，達到避免追尾的安全行駛狀態(tài)，可列出方

程：①②③

聯(lián)立①②③可得，當(dāng)時，司機可駕駛車輛安

全過燈，過燈時間為，此問題得解。

五、數(shù)據(jù)記錄及帶入求解

根據(jù)實地考察和對某兩不同路口高峰期交通燈的變燈時間進行了的記錄和收集，紅綠燈變化周期約為30秒，可根據(jù)此數(shù)據(jù)確定上文中t的值，通過查閱文獻[2，3]：

小轎車車長約為4米，中型車約為5米，貨車約為13米，可根據(jù)不同情況確定上文中davg值為5.人對簡單事物的反應(yīng)時間約為1秒，既為T1=1;車輛之間安全距離約為1.5～2.5米，所以上文中m的值為2米;車輛加速度約為1m/s2，既為A=1;交叉路口限速約為

40km/h，即V=10;將數(shù)據(jù)據(jù)帶入，既t=30，d=5，

T1=1，m=2，A=1，V=10，

六、結(jié)論

在該理想模型下，位于堵塞路段的車輛，根據(jù)自身所處位置距路口的距離之間的車輛數(shù)n估算自己下次變燈安全通行路口的所

用時間為，當(dāng)所用時間小于等于紅綠燈時間時，可安

全過燈。

帶入實際數(shù)據(jù)，可知，在紅綠燈變化周期為30秒，限速為40KM/h的路口，自身所處位置距路口的距離之間的車輛數(shù)小于等于14時，可安全過燈。

七、關(guān)于模型應(yīng)用推廣的分析

若能根據(jù)改進和完善后的模型，整理出有關(guān)數(shù)據(jù)，作為學(xué)習(xí)內(nèi)容加入駕校課程，以后司機在堵塞路段行駛時，就可以根據(jù)估計自身與路口距離，紅綠燈變化時間，估計自己是否能安全過燈通行，避免交通事故的發(fā)生。

參考文獻

[1]段里仁，道路交通自動控制，中國人民公安大學(xué)出版社

[2]姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)建模，高等教育出版社，2003

[3]楊樹祺，道路交通常用數(shù)據(jù)手冊，中國建筑工業(yè)出版社，2002.11