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        一類競爭的病菌傳染模型在一定條件下的穩(wěn)定性研究

        2020-10-12 06:52:18左曉虹
        關(guān)鍵詞:平衡態(tài)曲線擬合傳染

        ◎左曉虹

        (三門峽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共教學(xué)部,河南三門峽472000)

        2020 年新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來,中國政府采取積極的防控策略和措施,經(jīng)過兩個多月的不懈努力,有效控制了新發(fā)病例的增長,本地傳播已經(jīng)完全控制,但全球疫情卻不容樂觀,本次新冠病毒肺炎疫情暴發(fā)讓筆者再次深刻體會到傳染病的巨大威力,所體現(xiàn)出來的人與人、人與動物、動物與動物之間的關(guān)系及其疾病關(guān)系是立體的也是復(fù)雜的,黃永鵬教授強(qiáng)調(diào)要正視人與動物共病關(guān)系防范惡性疫病傳播,他指出人與動物交錯生活在一個共病的體系中,多數(shù)疾病人與動物的致病概率是一樣的。世界衛(wèi)生組織根據(jù)近年的統(tǒng)計資料提出,在已知的能感染人的病原中有一半以上能在人與動物之間互相傳染。近30 年來新發(fā)現(xiàn)的傳染病達(dá)40 余種,幾乎每年都有一兩種新發(fā)傳染病。新發(fā)現(xiàn)的或重新出現(xiàn)的傳染病中80%是人與動物共患病[1]。

        1 研究現(xiàn)狀及模型的建立

        用數(shù)學(xué)建模思想描述傳染病在不同種群之間的關(guān)系,并用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究,用具體數(shù)字刻畫傳染病傳染規(guī)律,使得不同種群、相同種群之間的傳染得到合理的解釋和控制,用數(shù)學(xué)方法研究傳染病的規(guī)律,實(shí)現(xiàn)對傳染病的預(yù)防與控制,比如通過對新冠肺炎疫情全球大流行現(xiàn)狀分析[2],對新冠肺炎COVID-19 疫情傳染機(jī)理和統(tǒng)計數(shù)據(jù)研究,擬合疫情變化趨勢圖,建立有控制的SIR 傳染模型[3],為科學(xué)有效的傳染病疫情防控提供參考。為此筆者在文獻(xiàn)4 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了一類競爭的病菌傳染模型

        探討當(dāng)τ,σ 充分小時模型正平衡態(tài)的穩(wěn)定性,得出具體結(jié)論并帶入具體數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

        文獻(xiàn)4 是以Lotka 和Volterra 提出的Lotka-Volterra 模型[5]為基礎(chǔ)建立了一類競爭的生態(tài)模型[4]。

        (α,β,γ 均為實(shí)數(shù),且 α>0,β>0,γ≥0,δ≥0,θ為正奇數(shù))

        并進(jìn)行了初步探討,各參數(shù)的生態(tài)意義分別為:α 表示種群乙被帶有病菌的種群甲感染病菌的比率,β 表示種群甲被帶有病菌的種群乙感染病菌的比率,γ 表示種群甲的康復(fù)率,δ 表示種群乙的康復(fù)率,αm(t-τ)表示種群甲的抗病菌率,βh(t-σ)表示種群乙的抗病菌率,θ 為外界對種群的干擾參數(shù)。

        模型(1.2)滿足如下初始條件:

        其中 τ1=max {τ, }σ ,Φi(i=1,2)非負(fù)且在[-τ1,0]上連續(xù)有界,h(o)=Φ1(0)>0,m(o)=Φ2(0)>0.

        在文獻(xiàn)4 的基礎(chǔ)上筆者就一類競爭的病菌傳染模型(1.2)討論其當(dāng)T,σ 充分小時模型正平衡態(tài)穩(wěn)定性,給模型(1.2)各參數(shù)賦值,并運(yùn)用Matlab 繪出相應(yīng)的數(shù)值解圖形,對所得結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。

        2 當(dāng)τ,σ 充分小時模型正平衡態(tài)穩(wěn)定性

        設(shè) h(t)=X(t)+h*,m(t)=Y(t)+m*,則模型(1.2)有線性近似系統(tǒng)為:

        假設(shè)模型(1.2)中 τ=σ 且充分小,即 α=β,

        γ=δ,則在很小的一個時間間隔里[t-b,t],有

        代入系統(tǒng)(1.2),則系統(tǒng)(1.2)的近似系統(tǒng)為:

        整理可得

        則當(dāng) α>γ,且 ασ>1 時,系統(tǒng)(2.5)有虛根.

        綜上討論便有如下結(jié)論:

        定理 對于模型

        (1)當(dāng) α>γ 且 ασ<1 時,其平衡態(tài)(h*,m*)為中心且穩(wěn)定;

        (2)當(dāng) α>γ 且 ασ>1 時,其平衡態(tài)為鞍點(diǎn)且不穩(wěn)定.

        3 實(shí)例分析

        對于系統(tǒng)

        的正平衡態(tài),現(xiàn)由定理1 則可以得出(3.1)的如下結(jié)論:

        (1)若取τ=σ=0.5,此時該模型的正平衡態(tài)是穩(wěn)定的(如圖3-1)。

        (2)若取τ=σ=2.5,此時該模型的正平衡態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的(如圖3-2)。

        (3)若取]τ=σ=4,此時該模型的正平衡態(tài)是不穩(wěn)定的(如圖3-3)。

        運(yùn)用Matlab 繪出相應(yīng)的數(shù)值解圖形,由圖形再次驗(yàn)證定理1 的正確性.

        圖1 τ=σ=0.5 時的曲線擬合圖

        圖2 τ=σ=2.5 時的曲線擬合圖

        圖3 τ=σ=4 時的曲線擬合圖

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