成國慶，李 玲

(1.上海海洋大學 工程學院，上海 201306；2.上海立信會計金融學院 統(tǒng)計與數(shù)學學院，上海 201209)

0 引言

工程中的多系統(tǒng)在運行過程中會受到外部環(huán)境突變的影響，如溫度、電流，壓力等的突然升高。這些外部因素的變化可能導致系統(tǒng)故障，可將其看作是對系統(tǒng)的沖擊。沖擊模型是可靠性與維修領域中的一類重要模型，主要研究在沖擊環(huán)境中系統(tǒng)的生存、故障等特征，并為系統(tǒng)的維護決策提供理論依據(jù)。根據(jù)沖擊導致故障機理的不同，可將沖擊模型大致分為[1]：①極端值沖擊模型[2](extreme shock model)，單個沖擊的強度達到閾值導致系統(tǒng)故障；②累積沖擊模型[3](cumulative shock model)，多個沖擊的強度累積量達到閾值導致系統(tǒng)故障；③連續(xù)沖擊模型[4](run shock model)，連續(xù)k個沖擊的強度都達到閾值導致系統(tǒng)故障；④δ-沖擊模型[5](δ-shock model)，連續(xù)兩次沖擊的時間間隔小于閾值δ，導致系統(tǒng)故障。后來，有學者提出了混合沖擊模型。如Mallor等[6]研究了累積沖擊和連續(xù)沖擊的混合模型、Wang等[7]提出了δ-沖擊和極端值沖擊的混合模型，其他混合沖擊模型還可見文獻[8-9]。

與其他3種沖擊模型不同的是，δ-沖擊模型關注的是連續(xù)兩次沖擊到達時間間隔而非沖擊強度。如某些系統(tǒng)在運行過程中受到諧波電流的影響，導致部件發(fā)熱，需要一定的時間恢復，若在完全恢復之前又一次受到諧波電流的沖擊，則導致部件故障。δ-沖擊模型可應用于交通問題、電子器件系統(tǒng)、機械系統(tǒng)、庫存管理等多個實際工程領域[10]。

從可靠性分析的角度，Li等[15]在假設沖擊達到服從泊松過程的條件下，研究了δ-沖擊模型中系統(tǒng)的生存函數(shù)，壽命的一、二階矩及其性質(zhì)。其后，Li等[11]進一步研究了沖擊達到為非齊泊松過程的情形。Eryilmaz[12]研究了沖擊到達為波利亞過程(沖擊到達間隔不獨立)下的系統(tǒng)生存函數(shù)及壽命的相關性質(zhì)。

隨著企業(yè)競爭的日益激烈，合理的設備維護方案是企業(yè)降低運行成本、提高維護效率和生產(chǎn)效益的重要途徑[13]。在δ-沖擊模型維修決策優(yōu)化方面，Lam等[14]假設故障閾值和逐次維修時間逐漸增加，對系統(tǒng)的更換策略進行了優(yōu)化。Wang等[7]考慮了δ-沖擊和極端值沖擊的混合模型的維修更換問題。Tang等[15]在假設沖擊間隔為Weibull分布和Gamma分布的情形下，利用幾何過程和更新過程理論對系統(tǒng)的更換策略進行了優(yōu)化。王小林等[16]考慮了可用度約束下的更換策略。

目前，關于δ-沖擊模型維修更換策略的研究對象均為單設備(部件)系統(tǒng)，而在工程實際中，串聯(lián)系統(tǒng)也廣泛存在。如飛機起落架由減震器、收放系統(tǒng)、剎車系統(tǒng)以及轉(zhuǎn)彎系統(tǒng)串聯(lián)而成，每次降落都可視為一次沖擊。機動車的剎車系統(tǒng)由每個輪胎上的剎車裝置串聯(lián)構成，每次剎車就是對剎車系統(tǒng)的一次沖擊。再如諧波電流對同一線路上的多個電子設備造成的不良影響也可視為一次沖擊。對串聯(lián)系統(tǒng)而言，由于部件之間存在耦合關系，系統(tǒng)層面的部件最優(yōu)聯(lián)合更換策略顯然不是各部件最優(yōu)策略的聯(lián)合。因此，研究δ-沖擊環(huán)境下串聯(lián)系統(tǒng)的維修更換策略優(yōu)化問題具有理論意義和實際應用價值。本文從經(jīng)濟角度出發(fā)，在δ-沖擊環(huán)境下，利用更新過程理論建立了串聯(lián)系統(tǒng)長期運行條件下的平均費用率，研究并得出最優(yōu)聯(lián)合更換策略的解析求法。最后通過數(shù)值實驗，驗證了本方法并揭示了系統(tǒng)級最優(yōu)策略與部件級獨立最優(yōu)策略之間的關系。

1 模型描述

1．1 定義

定義1[17]設X，Y是兩個隨機變量，若對任意實數(shù)α，有

P(X>α)≥P(Y>α)，

則稱X隨機的大于Y，記為X≥stY。若對所有n=1,2,…，滿足Xn≥st(≤st)Xn+1，則稱隨機過程{Xn,n=1,2,…}是隨機遞減(遞增)的。

定義2[18]設{ξn,n=1,2,…}為一非負獨立隨機變量序列，且ξn的分布函數(shù)為Un(t)=U(an-1t)，n=1,2,…，其中a>0，則稱{ξn,n=1,2,…}是一個幾何過程。

顯然，若a>1，{ξn,n=1,2,…}隨機遞減；若a<1，{ξn,n=1,2,…}隨機遞增；若a=1，{ξn,n=1,2,…}退化為一個更新過程。

1．2 模型假設

假設1初始時刻，一個由k個不同型部件構成的串聯(lián)系統(tǒng)開始工作。在工作過程中，系統(tǒng)受到來自外部的隨機沖擊，其對每個部件均會產(chǎn)生破壞影響。若相鄰兩次的沖擊間隔小于某個部件的故障閾值，該部件發(fā)生故障，從而導致系統(tǒng)故障停機。系統(tǒng)故障后，關閉進行維修，不再受到外部沖擊的影響。

假設2k個部件的故障閾值分別為δ1,δ2,…,δk。設沖擊到達間隔為隨機變量τ，若其小于部件i(1≤i≤k)的故障閾值δi(即τ<δi)，則部件i故障。系統(tǒng)故障后立即接受維修或更換，然后重啟系統(tǒng)開始工作。沖擊的到達服從參數(shù)為θ的泊松過程，即沖擊間隔τ～H(t)=1-e-θt。

假設4由于修復是非新的，部件i在經(jīng)歷Ni次故障后不再維修，而是更換新的同型部件，假設更換時間可忽略不計。

2 模型建立

本章將建立部件聯(lián)合更換策略(N1,N2,…,Nk)下的平均費用率模型C(N1,N2,…,Nk)。目標是尋找最優(yōu)的更換策略(N1,N2,…,Nk)*，使得平均費用率達到最低。

(1)

[0,t]時間段可拆分為各部件的維修時間之和與系統(tǒng)的正常運行時間兩部分。故

(2)

(3)

[0,t]內(nèi)部件i的維修時間為其更新次數(shù)與一個更新期內(nèi)的平均維修時間之積，即

MTi(t)=NRi(t)·E[TWi(Ni)]

(4)

將式(3)和式(4)代入式(1)，得[0,t]時間段內(nèi)系統(tǒng)產(chǎn)生的總費用

(5)

將式(3)和式(4)代入式(2)，得總時長

(6)

于是，更換策略(N1,N2,…,Nk)下的系統(tǒng)平均費用率可表示為

(7)

接下來計算式(7)中的兩個數(shù)量指標：E[MTi(Ni)]與E[TWi(Ni)]。在部件i的一個更新期內(nèi)，共進行了Ni-1次維修，且逐次維修時間構成隨機遞增的幾何過程，由幾何過程定義，有

(8)

由文獻[5]可知，對于沖擊間隔服從指數(shù)分布H(t)=1-e-θt的δ-沖擊模型，其首次故障前平均時間為

(9)

(10)

則部件i在一個更新周期內(nèi)的正常工作時間期望

(11)

將式(8)和式(11)代入式(7)，可得系統(tǒng)平均費用率的解析表達式：

(12)

3 維修策略優(yōu)化

(13)

下面將優(yōu)化C(j,N2)的問題轉(zhuǎn)化為對Aj(N2)的優(yōu)化，先討論其單調(diào)性。為此，作差：

(14)

式中分母恒為正，其正負取決于分子，構造以下輔助函數(shù)：

(15)

則有Aj(N2+1)≥Aj(N2)等價于Bj(N2)≥1。

引理1當φ(j)-cm2ψ(j)<0時，函數(shù)Bj(N2)關于變量N2單調(diào)遞增；反之，Bj(N2)單調(diào)遞減。

證明Bj(N2+1)-Bj(N2)

(16)

從而，當φ(j)-cm2ψ(j)<(>)0時，Bj(N2+1)≥(≤)Bj(N2)，即Bj(N2)單調(diào)遞增(減)。

證畢。

當φ(j)-cm2ψ(j)>0時，Bj(N2)單調(diào)遞減。又

4 實驗分析

以某電動機的定子繞組為例，對串聯(lián)系統(tǒng)的δ-沖擊模型最優(yōu)更換策略進行演示與驗證。某三相異步電動機的同心式繞組由兩個形狀相似但大小不同的線圈按同一個中心位置嵌裝而成，是一個典型的兩部件串聯(lián)系統(tǒng)。電動機在運行過程中受到隨機諧波電流的影響，諧波電流進入定子繞組時可能會導致附加電能的損失和發(fā)熱。諧波電流的頻繁到達使得定子繞組過熱而發(fā)生故障。設諧波的到達服從參數(shù)為θ的泊松過程，兩個線圈的故障閾值分別為δ1和δ2，維修費用分別為cm1和cm2，更換費用為cr1和cr2。各參數(shù)值如表1所示(表中費用、維修參數(shù)和諧波電流到達率為模擬參數(shù))。

表1 參數(shù)設置表

表2 計算結(jié)果

同理有

表3 部件1的平均費用率計算結(jié)果

表4 部件2的平均費用率計算結(jié)果

表5 最優(yōu)策略對系統(tǒng)參數(shù)的敏感度分析結(jié)果

由表5可知，對所有參數(shù)設置變化情況，系統(tǒng)級的部件聯(lián)合最優(yōu)更換策略較各部件獨立最優(yōu)更換策略都要滯后，即系統(tǒng)級的最優(yōu)聯(lián)合策略并非各部件最優(yōu)策略的聯(lián)合。事實上，在聯(lián)合決策優(yōu)化中，每個部件都“讓渡”了一定的維修資源(表現(xiàn)為聯(lián)合最優(yōu)策略中各部件更換的相對滯后)，才能使得系統(tǒng)整體達到最優(yōu)。

5 結(jié)束語

本文研究了串聯(lián)系統(tǒng)的δ-沖擊模型及其維修更換策略的聯(lián)合優(yōu)化問題。系統(tǒng)運行過程中，各部件隨著役齡和維修次數(shù)的增加而逐漸退化，表現(xiàn)為故障率的升高和維修時間的延長，最終導致部件的更換。以最小化系統(tǒng)平均費用率為目標、以各部件故障次數(shù)為聯(lián)合更換策略，建立了平均費用率的數(shù)學模型。在分析費用率函數(shù)解析性質(zhì)的基礎上證明了最優(yōu)聯(lián)合更換策略的存在性，進一步給出最優(yōu)策略的求解算法。最后，以典型的串聯(lián)系統(tǒng)——電動機的定子繞組為例，對本模型和方法進行了驗證。敏感性分析結(jié)果揭示了系統(tǒng)級的最優(yōu)聯(lián)合策略與各部件獨立最優(yōu)策略之間的關系，可為維修管理人員提供決策支持。因此，本文對于企業(yè)合理制定維修更換策略、降低運行成本具有一定的指導意義和參考價值。本文假設沖擊到達間隔服從指數(shù)分布，未來將進一步研究沖擊達間隔為伽馬分布或威布爾分布，以及更為一般的波利亞過程(到達間隔不獨立)的情形，使得模型更加符合實際從而適用范圍更廣。