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2020-10-12 12:38:08潘柏松項(xiàng)涌涌羅路平俞銘杰

計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)訂閱 2020年9期 收藏

關(guān)鍵詞：觸點(diǎn)代理精度

潘柏松，丁 煒，項(xiàng)涌涌，羅路平，俞銘杰

(浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310014)

0 引言

直紋面是實(shí)際工程應(yīng)用中常見的一種曲面類型，在汽輪機(jī)葉輪以及航天航空領(lǐng)域等關(guān)鍵部件中應(yīng)用十分廣泛。這類零件整體性能受實(shí)際加工精度影響大且具有復(fù)雜的幾何形狀。直紋面?zhèn)茹娂庸ぶ写嬖陔S機(jī)不確定性、認(rèn)知不確定性[1-2]和動態(tài)不確定性等因素，現(xiàn)有研究將動態(tài)不確定激勵描述為隨機(jī)過程[3]。分析影響實(shí)際側(cè)銑加工過程中的不確定性因素，建立反映側(cè)銑過程不確定性誤差與加工精度映射的誤差傳遞模型，對實(shí)現(xiàn)有效的精度可靠性分析和精度可靠度預(yù)測至關(guān)重要。

加工精度建模以刀觸點(diǎn)或刀軸線精度[4-5]為指標(biāo)，基于多體系統(tǒng)理論，運(yùn)用多體運(yùn)動學(xué)原理和體間變換方法描述設(shè)備各類不確定性誤差與加工精度間的關(guān)系[6]。影響側(cè)銑加工精度的不確定誤差主要包括機(jī)床誤差和加工過程誤差，分別包括由機(jī)床部件幾何誤差引起的隨機(jī)不確定誤差，以及由運(yùn)動參數(shù)和刀具、工件參數(shù)引起的動態(tài)不確定誤差。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對以不確定性誤差為基礎(chǔ)的加工精度建模與可靠性理論展開了大量研究。余治民等[7]基于磨床綜合幾何誤差傳遞模型建立了加工精度近似模型；Ding等[8]基于幾何誤差、工件定位誤差以及刀具參數(shù)誤差綜合建立了五軸外圓銑削加工精度模型。與上述誤差精度建模相比，側(cè)銑加工精度建模仍需考慮隨機(jī)過程動態(tài)不確定性因素導(dǎo)致模型非線性度增加的問題。機(jī)床加工精度可靠性研究主要分析方法有蒙特卡洛法、一次二階矩法(First Order Reliability Method, FORM)、響應(yīng)面法等[9]。以上方法需獲得明確的極限狀態(tài)函數(shù)且計(jì)算效率低，不適合求解帶有隨機(jī)過程不確定性變量輸入的動態(tài)可靠性問題。隨機(jī)過程往往帶有時(shí)變特性，故又稱時(shí)變可靠性問題[10]。針對這一類問題，在超越理論[11-13]與極值法[14-15]兩個(gè)主要理論基礎(chǔ)上，Andrieu-Renaud等[16]提出了PHI2方法及其改進(jìn)方法；Jiang等[17]提出一種基于隨機(jī)過程離散化的時(shí)變可靠性分析方法。兩者有效地將動態(tài)可靠性模型求解問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)可靠性問題，但無法保證解決復(fù)雜模型的動態(tài)可靠性問題時(shí)的求解精度。Wang等[18]提出一種自適應(yīng)極值響應(yīng)面法的時(shí)變可靠性求解方法，計(jì)算結(jié)果更為精確，但多數(shù)情況下分析結(jié)果仍較難獲得精確的極值響應(yīng)分布。

為此，本文將綜合考慮側(cè)銑誤差傳遞模型中存在的幾何誤差因素以及隨機(jī)過程動態(tài)不確定性因素，應(yīng)用動態(tài)可靠性方法對側(cè)銑加工精度可靠度預(yù)測展開研究。基于兩點(diǎn)偏置刀位算法并考慮刀具參數(shù)不確定性，獲得以高斯隨機(jī)過程表征的切觸點(diǎn)坐標(biāo)變化。建立了基于LU400型BC軸機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)且綜合考慮驅(qū)動誤差的精度可靠度模型以及精度可靠度高斯過程(Gaussian Process，GP)代理模型。在少樣本數(shù)據(jù)條件下，為保證可靠度計(jì)算精度，以模型精度指標(biāo)迭代更新計(jì)算模型，基于更新后的高精度代理模型，運(yùn)用蒙特卡洛法獲得可靠度值。

1 側(cè)銑精度可靠度模型

運(yùn)用多體系統(tǒng)理論獲得BC軸五軸機(jī)床誤差傳遞模型，并量化側(cè)銑加工過程中存在的各類不確定因素，建立了基于切觸點(diǎn)GP模型的直紋面?zhèn)茹娋瓤煽慷饶Ｐ汀?/p>

1.1 GP模型

GP模型可通過均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)k(x,x′)來表示。在擬合噪聲數(shù)據(jù)時(shí)，能夠通過指定每個(gè)點(diǎn)的噪聲方差來使用。帶噪聲的隨機(jī)變量函數(shù)f(x)可由GP模型[19]表示為：

f(x)～GP(m(x),k(x,x′))。

(1)

式中：m(x)?E(f(x))，k(x,x′)?Σ(f(x),f(x′))，x′表示不同于x的測試樣本點(diǎn)。

協(xié)方差函數(shù)也稱核函數(shù)(kernel function)。典型的GP模型設(shè)均值函數(shù)為零，核函數(shù)為指數(shù)平方形式如式(2)所示：

(2)

式中l(wèi)為由模型確定的長度參數(shù)。

由于GP建模的關(guān)鍵假設(shè)是分析數(shù)據(jù)可以表示為來自多元高斯分布的樣本集，假設(shè)：

(3)

式中：T表示矩陣轉(zhuǎn)置，y表示現(xiàn)有樣本觀測值，y*表示預(yù)測樣本點(diǎn)x*估計(jì)值，相應(yīng)符號表示如下：

K**=k(x*,x*)。

對測試樣本范圍內(nèi)任意測試輸入x*，高斯過程模型的預(yù)測分布可以表示為：

(4)

1.2 側(cè)銑原理及切觸點(diǎn)坐標(biāo)GP模型

直紋面在工程運(yùn)用中的矢量表達(dá)式如式(5)所示：

S(u,v)=(1-v)B0(u)+vB1(u)。

(5)

式中：B0(u)、B1(u)分別表示兩條準(zhǔn)線函數(shù)，u、v分別表示準(zhǔn)線與直母線變量參數(shù)。相應(yīng)示意圖如圖1所示。

結(jié)合文獻(xiàn)[20]中的推理，易證圖中∠O1C1Q1=∠Q2C2O2=α，并通過數(shù)值迭代計(jì)算參數(shù)d、α的值，最終O1、O2的坐標(biāo)如式(6)所示。O2為刀具端面中心，O1O2即為刀位矢量。

(6)

(7)

則最終獲得螺旋線方程為：

(8)

已知在坐標(biāo)系(xyz)t中Q1、Q2坐標(biāo)，則可得直線Q1Q2的方程為：

(9)

根據(jù)螺旋線方程和理想點(diǎn)直線方程Q1Q2即可獲得理想?yún)?shù)下側(cè)銑加工切觸點(diǎn)坐標(biāo)，兩個(gè)坐標(biāo)的空間距離即可表示原理誤差值。設(shè)在刀具坐標(biāo)系中，切觸點(diǎn)坐標(biāo)為Pt；工件坐標(biāo)系中，理想點(diǎn)坐標(biāo)為Pw。由于刀具半徑不確定性項(xiàng)R、參與銑削刃長不確定性項(xiàng)b存在，且無法獲得切觸點(diǎn)坐標(biāo)顯式函數(shù)，以高斯隨機(jī)過程表征的切觸點(diǎn)坐標(biāo)變化，即Y(s)～GP(m(s),k(s,s′))。本文用Pts(ptsx、ptsy、ptsz)表示刀具坐標(biāo)系下x、y、z三個(gè)方向切觸點(diǎn)預(yù)測坐標(biāo)值。

1.3 直紋面?zhèn)茹娋瓤煽慷饶Ｐ?/h3>

以LU400型BC軸五軸機(jī)床為加工設(shè)備分析，運(yùn)用D-H矩陣[21]建立側(cè)銑加工精度誤差模型。機(jī)床結(jié)構(gòu)示意圖如圖3所示。根據(jù)多體系統(tǒng)理論，相應(yīng)BC軸機(jī)床拓?fù)錂C(jī)構(gòu)圖如圖4所示。

誤差建模通過齊次坐標(biāo)變化來描述誤差在不同坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換，并通過特征矩陣來建立模型，即位置特征矩陣和姿態(tài)特征矩陣。結(jié)合相鄰序體間的誤差變換矩陣[22]可表示為：

Tij=Tij·pTij·peTij·sTij·se。

(10)

式中：Tij·p表示相對靜止的理想靜止特征矩陣，Tij·pe表示相對靜止的靜止誤差特征矩陣，Tij·s表示相對運(yùn)動的理想運(yùn)動特征矩陣，Tij·se表示相對運(yùn)動的運(yùn)動誤差特征矩陣。

驅(qū)動誤差指機(jī)構(gòu)動力源驅(qū)動誤差，即機(jī)構(gòu)驅(qū)動元件的輸出誤差[22]。本文模型考慮當(dāng)工藝系統(tǒng)溫度變化很小，且工藝系統(tǒng)的剛度可以忽略剛度誤差。根據(jù)文獻(xiàn)[22]的分析，所建模型條件可只考慮驅(qū)動產(chǎn)生的微小誤差進(jìn)行建模。而實(shí)際驅(qū)動誤差測量結(jié)果也包含了其他誤差源的影響，只是影響系數(shù)小。本文將機(jī)床繞Y軸轉(zhuǎn)動和繞Z軸轉(zhuǎn)動驅(qū)動力導(dǎo)致的驅(qū)動誤差量分別定義為ΔβB、ΔγC，將機(jī)床導(dǎo)軌沿X軸、Y軸、Z軸平動時(shí)驅(qū)動力導(dǎo)致的誤差驅(qū)動量分別定義為ΔxX、ΔyY、ΔzZ。坐標(biāo)系設(shè)定過程中(如圖3)：將床身、立轉(zhuǎn)臺以及擺動轉(zhuǎn)臺的原點(diǎn)設(shè)定在擺動轉(zhuǎn)臺中心點(diǎn)O1；3個(gè)滑軌與主軸的原點(diǎn)設(shè)定在主軸端面中心點(diǎn)O2；刀具的坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定在刀具端面中心點(diǎn)處O3；工件坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)定在工件端面處O4。其中，O2點(diǎn)處的坐標(biāo)系相對于O1點(diǎn)處的坐標(biāo)系平移了矢量P1=(x21,y21,z21)T，O3點(diǎn)處的坐標(biāo)系相對于O2點(diǎn)處的坐標(biāo)系平移了矢量P2=(0,0,z32)T，O4點(diǎn)處的坐標(biāo)系相對于O1點(diǎn)處的坐標(biāo)系平移了矢量P3=(x41,y41,z41)T。獲得如表1所示的體間特征矩陣，表中：Δz87為裝刀后實(shí)測刀長方差；x、y、z、B、C為根據(jù)上節(jié)求得刀軸矢量，通過機(jī)床運(yùn)動學(xué)反變換公式所求得各軸瞬時(shí)運(yùn)動參數(shù)值，E表示單位矩陣。

表1 體間特征矩陣

設(shè)刀具切觸點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系下齊次坐標(biāo)為Pt=(ptx，pty，ptz，1)T，則高斯隨機(jī)過程表征下切觸點(diǎn)齊次坐標(biāo)為Pts=(ptsx，ptsy，ptsz，1)。側(cè)銑加工策略下，在工件坐標(biāo)系下與加工成形點(diǎn)對應(yīng)的理想加工成形點(diǎn)位置點(diǎn)齊次坐標(biāo)為Pw=(pwx，pwy，pwz，1)T。利用特征矩陣，分別沿著刀具—床身和工件—床身的路線，將高斯隨機(jī)過程表征的切觸點(diǎn)坐標(biāo)與理想點(diǎn)分別變換到基坐標(biāo)系下，即可獲得最終側(cè)銑精度可靠度模型。

Ε=T01T12T23Pw-T04T45T56T67T78Pts

=(Ex,Ey,Ez,1)。

(11)

根據(jù)精度可靠性定義，在允許極限誤差下精度可靠度模型狀態(tài)函數(shù)如式(12)所示：

g(X,Y(s),S)=δ-E(Δ)。

(12)

式中：δ表示允許極限誤差，X表示所考慮模型隨機(jī)不確定性變量，S表示切觸點(diǎn)允許范圍。

2 基于GP模型的側(cè)銑精度可靠度求解算法

2.1 隨機(jī)過程預(yù)處理

運(yùn)用K-L變換[23]將精度可靠度模型中隨機(jī)過程變量Y(s)表征為一組具有相應(yīng)隨機(jī)系數(shù)的確定性函數(shù)。將切觸點(diǎn)坐標(biāo)在[0,S]上按位置節(jié)點(diǎn)離散成(s1,…,si,…,sn)，其中任意si與sj間的協(xié)方差函數(shù)通過k(si,sj)表示，相應(yīng)的協(xié)方差矩陣如式(13)所示：

(13)

顯然Σ為對稱的正定矩陣，可表示為Σ=Φ·I·ΦT。式(13)中：Φ是由特征向量組成的特征矩陣，I是包含相應(yīng)特征值的對角矩陣，I=[I1,I2,…,In]。此時(shí)隨機(jī)過程Y(s)可以通過帶有隨機(jī)權(quán)重Z的確定性函數(shù)的線性求和來重構(gòu)，如式(14)所示：

(14)

式中Z表示隨機(jī)過程重構(gòu)中的P個(gè)不相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，Z=[Z1,…,ZP]，且P

(15)

式中臨界閾值θ表示隨機(jī)過程重構(gòu)的精度閾值，一般設(shè)θ=0.95。

通過上述方法即可將隨機(jī)過程Y(s)表示成P個(gè)帶有相應(yīng)權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z的線性求和，實(shí)現(xiàn)將帶隨機(jī)過程的輸入[X,Y(s)]變換為[X,Z]，Z=[Z1,Z2,…,ZP]。

刀觸線上離散點(diǎn)超出精度閾值時(shí)，失效概率可表示為：

Pf(0,S)=Pr(ge,S(X,Z,S)>0)

(16)

2.2 精度可靠度GP代理模型

為提高模型計(jì)算效率，通過構(gòu)造一個(gè)位置節(jié)點(diǎn)GP代理模型來預(yù)測基于參數(shù)s的極限狀態(tài)函數(shù)，并最終運(yùn)用蒙特卡洛法來計(jì)算失效概率值Pf(0,S)?？紤]預(yù)處理后模型輸入均為隨機(jī)變量，用W替代輸入變量[X,Z]，且W=[W1,W2,…,Wk,]。采用的相關(guān)函數(shù)如式(17)所示，其協(xié)方差可表示為Cov(i,j)=σ2C(i,j)，

C(i,j)=Corr(wi,wj)=exp

(17)

式中au與bu是由高斯過程模型確定的參數(shù)值，且u=1,…,k。

假設(shè)當(dāng)代理模型通過p個(gè)樣本值時(shí)，其對數(shù)似然函數(shù)如式(18)所示：

LGP=-1/2·[pln(2π)+plnσ2+ln|C|+1/(2σ2)·

(G-Aμ)TC-1(G-Aμ)]。

(18)

式中：A表示p維的單位陣，G表示模型輸入的訓(xùn)練觀測值。

通過最大化對數(shù)似然函數(shù)來更新獲取GP代理模型的超參數(shù)。并通過極大似然估計(jì)獲得抽樣數(shù)據(jù)下的GP模型，則可將新樣本測試點(diǎn)w′的預(yù)測值表示為：

gS(w′,si)=μ+rTC-1(G-Aμ)。

(19)

式中：μ為預(yù)測均值；r表示新樣本測試點(diǎn)w′與訓(xùn)練樣本輸入值w=[w1,w2,…,wn]的相關(guān)向量，r(i)=corr(w′,wi)。

因此，節(jié)點(diǎn)處測試點(diǎn)預(yù)測值均方誤差可以用式(20)表示：

(20)

根據(jù)所構(gòu)造GP代理模型以及式(19)獲得設(shè)定樣本預(yù)測值，第i個(gè)位置節(jié)點(diǎn)的指示函數(shù)如式(21)所示：

(21)

2.3 代理模型更新及可靠度求解

計(jì)算模型可靠度值的精度取決于GP代理模型的精度，為實(shí)現(xiàn)少樣本數(shù)據(jù)下獲得精確的可靠度，通過設(shè)定代理模型精度指標(biāo)以更新計(jì)算模型。由于模型預(yù)測的不確定性，將si節(jié)點(diǎn)上樣本點(diǎn)wi正確預(yù)測的概率定義為Pc(wi,si)，如式(22)所示：

(22)

結(jié)合文獻(xiàn)[25]將代理模型更新條件精度指標(biāo)定義為節(jié)點(diǎn)上樣本預(yù)測概率的期望，當(dāng)輸入m個(gè)有效樣本時(shí)，如式(23)所示為節(jié)點(diǎn)si下代理模型精度指標(biāo)。一般將η值設(shè)定為[0.95～1]，其值越大表示模型精度越高。

(23)

同時(shí)，為了在連續(xù)迭代過程中獲得有用的樣本點(diǎn)來更新代理模型，將新樣本點(diǎn)的重要性指標(biāo)定義為φ(wi,si)，如式(24)所示：

(24)

在位置節(jié)點(diǎn)si處，通過最大化φ值可獲得該位置節(jié)點(diǎn)處的有用樣本點(diǎn)，如式(25)所示，用于更新代理模型，直至滿足代理模型精度指標(biāo)η(si)。

(25)

對于單個(gè)刀位下整條刀觸線上的可靠度計(jì)算，其可靠度隨直紋面參數(shù)v的變化而變化。設(shè)v=S，則該刀觸線上可靠度可表示為

=E[I(w)|[0,S]]。

(26)

式中：I(w)|[0,S]表示n個(gè)位置節(jié)點(diǎn)上由相應(yīng)的n個(gè)GP模型近似的預(yù)測響應(yīng)值的指示函數(shù)，如式(27)所示：

I(w)|[0,S]=

(27)

式中g(shù)s(w,si)，1≤i≤n表示si位置節(jié)點(diǎn)處n個(gè)由GP模型近似所得預(yù)測值。

當(dāng)使用蒙特卡洛法進(jìn)行N次抽樣后即可求得在整條切觸線上的可靠度值，即精度可靠度值R(0,S)：

(28)

根據(jù)以上分析，所提算法流程圖如圖5所示。

具體步驟如下：

步驟1初始化。采用輸入位置表征S的范圍值，初始化位置節(jié)點(diǎn)數(shù)s，置信度目標(biāo)值η；對隨機(jī)過程Y(s)進(jìn)行K-L變換分解，輸入用于構(gòu)建GP模型的訓(xùn)練樣本數(shù)，將隨機(jī)過程Y(s)表示成P個(gè)帶有相應(yīng)權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Z的線性求和。

步驟2根據(jù)已有數(shù)據(jù)集構(gòu)建一個(gè)位置節(jié)點(diǎn)GP模型來預(yù)測基于s的極限狀態(tài)函數(shù)。將刀觸線按位置節(jié)點(diǎn)離散si，并對預(yù)處理后W變量采樣n個(gè)樣本點(diǎn)，計(jì)算每個(gè)離散節(jié)點(diǎn)上的響應(yīng)值，構(gòu)建所有位置節(jié)點(diǎn)的GP模型，等待訓(xùn)練點(diǎn)更新模型。

步驟3更新模型超參數(shù)。根據(jù)初始輸入的樣本點(diǎn)可獲得初始超參數(shù)值，模型加入新樣本點(diǎn)后對所有樣本點(diǎn)的預(yù)測代理模型進(jìn)行最大化對數(shù)似然函數(shù)，即可獲得新的GP模型的超參數(shù)，從而更新預(yù)測模型。

步驟4GP代理模型精度計(jì)算。由于模型預(yù)測的不確定性，根據(jù)模型精度指標(biāo)η更新代理模型；對于每個(gè)位置節(jié)點(diǎn)，通過最大化樣本重要性指標(biāo)φ(wi,si)的值來確定新樣本點(diǎn)。并運(yùn)用輸入新樣本點(diǎn)預(yù)測值更新GP模型超參，直到滿足代理模型精度閾值，否則返回步驟2。

步驟5計(jì)算加工精度可靠度值。運(yùn)用蒙特卡洛法進(jìn)行N次抽樣，計(jì)算獲得GP代理模型預(yù)測值的指示函數(shù)I(w)|[0,S]的值，根據(jù)式(28)即可求得在整條切觸線上的可靠度值R(0,S)。

3 算例研究

基于LU400型五軸數(shù)控機(jī)床，通過建立側(cè)銑加工精度可靠度模型，以文獻(xiàn)[26]中設(shè)計(jì)曲面為例進(jìn)行算法驗(yàn)證分析。根據(jù)曲面精度等級要求設(shè)定允許極限誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μ0=0.02,σ0=0.008。本算例采用直徑為6 mm的立銑刀，非可展直紋面參數(shù)方程為：

B0(u)=[u20.429 0],

B1(u)=[u0.0382u233.995],

u∈[0,23.014],v∈[0,1]。

取u=11.507處直母線，等分離散位置節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)n=21。數(shù)值計(jì)算Pwi與Pti相應(yīng)的坐標(biāo)值，Pwi、Pti分別表示對應(yīng)節(jié)點(diǎn)下的切觸點(diǎn)與理想點(diǎn)理論坐標(biāo)值，如表2所示。表3為求解切觸線位置參數(shù)過程中的中間參數(shù)值。

表2 抽樣切觸點(diǎn)與理想點(diǎn)位置坐標(biāo)值

表3 中間參數(shù)計(jì)算值

理想側(cè)銑參數(shù)下切觸點(diǎn)空間位置如圖6所示，圖中三維空間中的點(diǎn)即切觸線上等分離散點(diǎn)在刀具坐標(biāo)下的空間示意，具體數(shù)據(jù)如表2中Pti所示。由于引入不確定性項(xiàng)R、b，且迭代計(jì)算過程無法獲得顯式函數(shù)，以高斯隨機(jī)過程Y(s)表征切觸點(diǎn)坐標(biāo)變化，用Pts(ptsx、ptsy、ptsz)表示刀具坐標(biāo)系下x、y、z三個(gè)方向切觸點(diǎn)預(yù)測坐標(biāo)值。在實(shí)際工程中，可以獲得刀具半徑誤差數(shù)據(jù)，參與銑削側(cè)刃長度則應(yīng)根據(jù)實(shí)測曲面參數(shù)確定。后者在實(shí)際過程中檢測困難，本文由某企業(yè)代加工，并通過三坐標(biāo)測量機(jī)檢測獲取訓(xùn)練與測試樣本數(shù)據(jù)。為獲得足夠精確的預(yù)測數(shù)據(jù)，本算例2×104組訓(xùn)練數(shù)據(jù)來進(jìn)行模型預(yù)測，為體現(xiàn)數(shù)據(jù)變化過程離散抽取實(shí)測數(shù)據(jù)中102數(shù)據(jù)樣本作為測試數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)據(jù)分析后所選取的訓(xùn)練數(shù)據(jù)以及測試數(shù)據(jù)的樣本量能滿足預(yù)測要求。

為獲得預(yù)測坐標(biāo)值Pts的變化趨勢，本文采用z-score標(biāo)準(zhǔn)化處理(正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化)對GP代理模型中隨機(jī)過程變量Y(s)的測試與訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，并采用零均值、平方指數(shù)核函數(shù)模型預(yù)測Pts坐標(biāo)的變化，即ptsx、ptsy、ptsz三個(gè)輸出量的變化，如圖7～圖9所示。圖7中通過高斯隨機(jī)過程Y(s)表征的切觸點(diǎn)X軸坐標(biāo)，即ptsx，通過100個(gè)測試樣本點(diǎn)的預(yù)測響應(yīng)值來表示，由圖7可知，在設(shè)定目標(biāo)置信度95%范圍內(nèi)，預(yù)測數(shù)據(jù)波動小，有效降低了訓(xùn)練數(shù)據(jù)中過大的幅值波動，剔除了數(shù)據(jù)獲取隨機(jī)性引起的部分失效數(shù)據(jù)，同時(shí)保證了后續(xù)樣本點(diǎn)抽樣的數(shù)據(jù)穩(wěn)定。同理，圖8與圖9分別為利用高斯隨機(jī)過程Y(s)表征的切觸點(diǎn)Y軸與Z軸坐標(biāo)，由圖可知，ptsy與ptsz相較于ptsx在95%置信度范圍下數(shù)據(jù)波動幅度更小，說明預(yù)測響應(yīng)值更接近訓(xùn)練數(shù)據(jù)的變化趨勢。

為盡可能覆蓋隨機(jī)過程Y(s)的變化過程，采用K-L變換來實(shí)現(xiàn)隨機(jī)過程數(shù)據(jù)的重構(gòu)與降維。當(dāng)P=3時(shí)，對應(yīng)特征向量的特征值為0.008 6，根據(jù)式(15)計(jì)算左側(cè)式為0.961>0.95，故滿足判斷條件。將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z=[Z1,Z2,Z3]作為系數(shù)的3個(gè)最重要的特征函數(shù)包含在展開式中。如圖10所示，不同圖形節(jié)點(diǎn)的三條散點(diǎn)線依次表示數(shù)據(jù)重構(gòu)后，帶有隨機(jī)權(quán)重的變量Z1、Z2、Z3的相應(yīng)位置節(jié)點(diǎn)下的特征函數(shù)值。根據(jù)文獻(xiàn)[24]中重構(gòu)變量數(shù)P的確定方法，此時(shí)重構(gòu)后變量Z的確定性函數(shù)能夠捕捉到隨機(jī)過程Y(s)的變化過程。通過特征函數(shù)簡化帶隨機(jī)過程的輸入[X,Y(s)]，使后續(xù)分析模型輸入變量均為隨機(jī)變量輸入。

上述步驟完成了對輸入變量的預(yù)處理和數(shù)據(jù)重構(gòu)。加工過程中引起的隨機(jī)誤差主要為驅(qū)動力誤差，需作為后續(xù)可靠度計(jì)算的計(jì)算變量，為獲得驅(qū)動力帶來的誤差，即由單個(gè)軸驅(qū)動產(chǎn)生的微小誤差。本文算例中，LU400型數(shù)控機(jī)床規(guī)格參數(shù)如表4所示，數(shù)控機(jī)床的實(shí)際驅(qū)動誤差分布如表5所示。為計(jì)算最終加工精度響應(yīng)模型，兩點(diǎn)偏置法下獲得刀位數(shù)據(jù)后，根據(jù)現(xiàn)有運(yùn)動學(xué)反變換公式求解獲得各運(yùn)動軸位置坐標(biāo)如表6所示，且表中后3項(xiàng)為模型計(jì)算所需參數(shù)常量，根據(jù)實(shí)際加工坐標(biāo)系設(shè)定條件確定。

表4 機(jī)床規(guī)格參數(shù)表

表5 驅(qū)動誤差分布

表6 計(jì)算中間量參數(shù)

算法通過在位置節(jié)點(diǎn)建立GP模型并通過極大似然估計(jì)來獲取重要樣本點(diǎn)。獲取一定數(shù)量新樣本點(diǎn)后更新模型及模型參數(shù)，直至滿足預(yù)測閾值η(si)，本算例設(shè)定為0.98。圖11表示在模型更新過程中不同位置節(jié)點(diǎn)GP模型迭代數(shù)目。圖12以第11處位置節(jié)點(diǎn)為例，表示節(jié)點(diǎn)GP模型更新過程中模型精度指標(biāo)η的變化趨勢，當(dāng)閾值連續(xù)大于0.98時(shí)更新結(jié)束，由圖12可知當(dāng)?shù)螖?shù)到達(dá)10、11次時(shí)，連續(xù)大于0.98，則迭代結(jié)束。

最終運(yùn)用指示函數(shù)通過蒙特卡洛法抽樣計(jì)算最終可靠度值R(0,S)。根據(jù)本文算法求得側(cè)銑加工精度可靠度如表7中所示，節(jié)點(diǎn)范圍表示指定母線參數(shù)系數(shù)下的節(jié)點(diǎn)區(qū)間，表中Nc表示本文方法模型狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)以及傳統(tǒng)蒙特卡洛法模型狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)，迭代數(shù)表示本文方法代理模型更新迭代數(shù)。分析表7可知，與傳統(tǒng)蒙特卡洛法相比，所提出的方法在保證可靠度預(yù)測精確性同時(shí)，可明顯提高計(jì)算效率。根據(jù)圖13，在直母線參數(shù)為1的情況下，可知隨著計(jì)算位置節(jié)點(diǎn)范圍增大，失效概率先增大后漸趨于平緩，與傳統(tǒng)方法變化一致，實(shí)現(xiàn)了在該側(cè)銑策略下直紋面連續(xù)位置節(jié)點(diǎn)上加工精度可靠度的預(yù)測。

表7 加工精度可靠度對比

4 結(jié)束語

本文建立了考慮機(jī)床驅(qū)動誤差與刀具參數(shù)不確定性的側(cè)銑加工精度可靠度模型。以高斯隨機(jī)過程表征切觸點(diǎn)坐標(biāo)變化，基于LU400型BC軸機(jī)床誤差傳遞模型，利用多體系統(tǒng)理論獲得了精度可靠度模型，為加工精度可靠性分析打下了基礎(chǔ)。建立了基于GP模型的側(cè)銑精度可靠度代理模型。運(yùn)用K-L變換對隨機(jī)過程變量預(yù)處理并建立了切觸點(diǎn)位置節(jié)點(diǎn)GP代理模型，根據(jù)代理模型精度定義與模型精度閾值η更新獲得了高精度代理模型。

基于更新后的高精度代理模型運(yùn)用蒙特卡洛法計(jì)算加工精度可靠度，計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)蒙特卡洛法相比，有效預(yù)測了切觸線上精度可靠度的變化趨勢，在保證可靠度預(yù)測精確性的同時(shí)，可明顯提高計(jì)算效率，為直紋面?zhèn)茹娂庸ぞ瓤煽慷阮A(yù)測提供了有效的方法。當(dāng)模型數(shù)據(jù)量少時(shí)，基于GP模型預(yù)測可提供有效精度分析方法，以此為基礎(chǔ)，未來將拓展對機(jī)床加工精度預(yù)測的分析研究。

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