葉 紅

(武漢交通職業(yè)學院,湖北 武漢 430065)

1 引言

目前,關于任意點應力狀態(tài)的研究主要集中在“平面應力狀態(tài)”,特別是材料力學[1-2]和彈性力學[3-5]中“平面應力狀態(tài)”的斜面應力公式的應用研究。例如,王家林[6]指出了材料力學的平面應力狀態(tài)分析中剪應力正向與空間單元體的正向不一致問題,調整了剪應力正向后平面應力的計算公式和應力圓的相應畫法,提出了在調整剪應力正向后在應力分析教學中引入矩陣計算方法的建議;但是,韓勇等[7]對此指出了其不足的地方,并表達了平面應力狀態(tài)分析中切應力正負規(guī)定的正確性和存在的必要性;馮兆奇[8]對平面應力分析中剪應力的正向進行了必要的調整,同時還改進了計算公式以及應力圓的畫法,在實際的使用過程當中,充分證明這種方法具有可行性;許楊劍等[9]利用Excel中的VBA語言對材料力學中點的應力狀態(tài)進行了編程實踐,并對復雜工程問題的解決進行了應用展示;胡恒山等[10]考察了薄板V形切口尖端應力的特性,總結出了“斜面應力公式的適用條件是斜面上的應力需連續(xù)變化”的結論;陸仁強[11]通過對材料力學中點的應力狀態(tài)進行了深入研究,總結了一套簡單易懂的分析方法,并以“平面應力狀態(tài)任意方向面上應力”的求法為例進行了案例分析。以上的研究成果主要是針對平面中任意點的平面應力狀態(tài)進行應力分析,涉及空間中任意點應力狀態(tài)的應力分析方面的研究成果還很少。本文基于空間中任意點的應力狀態(tài),參考平面中任意點平面應力狀態(tài)的應力分析方法,擬對三維空間中一種特殊點的應力狀態(tài)進行應力分析,以此豐富任意點應力狀態(tài)的應力分析內(nèi)容。

2 特殊點應力狀態(tài)的應力分析

在三維直角坐標系下通過空間中任意點的微小立方體上的應力分量可以用來表示該點的應力狀態(tài),如圖1所示。假設該微小立方體各面上的應力分量是均勻分布的,則微小立方體每個面上可由作用著的3個應力分量來表示,由于剪應力成對(τxy=τyx、τxz=τzx、τyz=τzy),可用6個應力分量的列矩陣來表示該三維空間點的應力狀態(tài),表達式如下:

圖1 點的空間應力狀態(tài)

如果在該三維空間點的應力狀態(tài)中,(τxy,τxz)、(τyx,τyz)和(τzx,τzy)三對中至少有一對為0,由于通常習慣于用x、y平面,故可令τxz=τzx=0、τyz=τzy=0。此時該微小立方體沿x軸和y軸的4個平面上分別作用著2個應力分量,垂直于沿z軸的2個平面上分別作用著1個應力分量,如圖2所示?？紤]剪應力成對(τxy=τyx),該三維空間特殊點的應力狀態(tài)最少可用4個應力分量的列矩陣來表示,表達式如式(2):

圖2 特殊點的空間應力狀態(tài)

如果用平行于z軸的平面斜切該微小立方體,獲得微小三角柱體,其中平行于x軸、y軸和z軸平面上的應力分量沒有變化,如圖3所示。參考平面應力狀態(tài)下的應力分析方法,平行于z軸斜面上的應力分量可由通過靜力學平衡條件求得。假設微小三角柱體中△bef的面積為dB,斜面的面積為dA,斜面上的法向應力為σα,斜面上的切向應力為τα,斜面與x軸之間的夾角為α,如圖4所示。可根據(jù)微小三角柱體的靜力學平衡來分析該點的空間應力狀態(tài)。

圖3 特殊點的空間應力狀態(tài)分析

根據(jù)微小三角柱體z軸方向的靜力學平衡條件(∑Fz=0),則有:

根據(jù)微小三角柱體斜面上的法向方向的靜力學平衡條件(∑Fn=0),則有:

根據(jù)微小三角柱體斜面上的切向方向的靜力學平衡條件(∑Ft=0),則有:

由式(3)—(5),可得微小三角柱體的應力狀態(tài),應力分量表達式如下:

其中在式(6)中,σx、τyx分別為微小三角柱體eb平面上的法向應力和切向應力,σy、τxy分別為微小三角柱體bf平面上的法向應力和切向應力,σz為微小三角柱體ebf平面上的法向應力。

3 算例分析

某半無限彈性體內(nèi)部的集中力F作用在某段圓弧端頭,其中由集中力F的方向和圓弧(S)確定的平面垂直于水平面(如圖4所示),基于Mindlin基本解討論該段圓弧上的法向應力(σα)和切向應力(τα)。

集中力的豎向分量(Fv=Fcosθ)作用在半無限彈性體內(nèi)部的Mindlin基本解[12],其應力分量如下:

圖4 集中力作用無限體示意圖

集中力的水平分量(Fh=Fsinθ)作用在半無限彈性體內(nèi)部的Mindlin基本解[12],其應力分量如下:

如果在式(7)—(14)中y=0,由式(7)—(14)通過應力疊加可以得到三維直角坐標系下該段圓弧上任意點的應力分量:

參考以上三維空間特殊點應力狀態(tài)的應力分析,可得到該段圓弧上任意點的法向應力(σα)和切向應力(τα)應力分量,如下:

其中,在式(7)—(14)中,其參數(shù)含義詳見參考文獻[12];在式(15)—(16)中,σx、σy、σz、τzx分別為集中力F作用在半無限彈性體內(nèi)部時直角坐標系下的應力分量,x為該段圓弧(S)上任意點x軸方向的坐標,c為集中力F作用點z軸方向的坐標,R為圓弧(S)的半徑。α為該段圓弧(S)上任意點的切線與x軸之間的夾角。

如果該算例中μ=0.2,θ=π/6,R=20m,F=100kN,由式(16)可以得到該段圓弧上任意點的法向應力(σα)和切向應力(τα),該段圓弧上的法向應力分布情況和切向應力分布情況如下圖。

圖5 圓弧法向應力分布情況圖

在算例中,圖5為圓弧上點的法向應力沿圓弧軌跡的分布圖,圖6為圓弧上點的切向應力沿圓弧軌跡的分布圖。由圖5和圖6可知,該算例中圓弧上法向應力分布曲線和切向應力分布曲線按冪函數(shù)變化,圓弧上法向應力和切向應力主要集中在集中力作用點0.5m范圍內(nèi),其中應力峰值也位于集中力作用點附近。

圖6 圓弧切向應力分布情況圖

4 結束語

基于三維直角坐標系下任意點的空間應力狀態(tài),參考材料力學中“平面應力狀態(tài)”斜面應力公式的推導過程,對三維空間中一種特殊點的空間應力狀態(tài)進行了應力分析,并進行了算例應用。雖然取得了一些理論方面的成果,但還需要通過數(shù)值模擬分析方法、實驗分析方法來進一步驗證。