葉 紅

(武漢交通職業(yè)學(xué)院,湖北 武漢 430065)

1 引言

目前,關(guān)于任意點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的研究主要集中在“平面應(yīng)力狀態(tài)”,特別是材料力學(xué)[1-2]和彈性力學(xué)[3-5]中“平面應(yīng)力狀態(tài)”的斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用研究。例如,王家林[6]指出了材料力學(xué)的平面應(yīng)力狀態(tài)分析中剪應(yīng)力正向與空間單元體的正向不一致問題,調(diào)整了剪應(yīng)力正向后平面應(yīng)力的計算公式和應(yīng)力圓的相應(yīng)畫法,提出了在調(diào)整剪應(yīng)力正向后在應(yīng)力分析教學(xué)中引入矩陣計算方法的建議;但是,韓勇等[7]對此指出了其不足的地方,并表達(dá)了平面應(yīng)力狀態(tài)分析中切應(yīng)力正負(fù)規(guī)定的正確性和存在的必要性;馮兆奇[8]對平面應(yīng)力分析中剪應(yīng)力的正向進(jìn)行了必要的調(diào)整,同時還改進(jìn)了計算公式以及應(yīng)力圓的畫法,在實際的使用過程當(dāng)中,充分證明這種方法具有可行性;許楊劍等[9]利用Excel中的VBA語言對材料力學(xué)中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行了編程實踐,并對復(fù)雜工程問題的解決進(jìn)行了應(yīng)用展示;胡恒山等[10]考察了薄板V形切口尖端應(yīng)力的特性,總結(jié)出了“斜面應(yīng)力公式的適用條件是斜面上的應(yīng)力需連續(xù)變化”的結(jié)論;陸仁強(qiáng)[11]通過對材料力學(xué)中點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行了深入研究,總結(jié)了一套簡單易懂的分析方法,并以“平面應(yīng)力狀態(tài)任意方向面上應(yīng)力”的求法為例進(jìn)行了案例分析。以上的研究成果主要是針對平面中任意點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行應(yīng)力分析,涉及空間中任意點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析方面的研究成果還很少。本文基于空間中任意點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),參考平面中任意點(diǎn)平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析方法,擬對三維空間中一種特殊點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行應(yīng)力分析,以此豐富任意點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析內(nèi)容。

2 特殊點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析

在三維直角坐標(biāo)系下通過空間中任意點(diǎn)的微小立方體上的應(yīng)力分量可以用來表示該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),如圖1所示。假設(shè)該微小立方體各面上的應(yīng)力分量是均勻分布的,則微小立方體每個面上可由作用著的3個應(yīng)力分量來表示,由于剪應(yīng)力成對(τxy=τyx、τxz=τzx、τyz=τzy),可用6個應(yīng)力分量的列矩陣來表示該三維空間點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),表達(dá)式如下:

圖1 點(diǎn)的空間應(yīng)力狀態(tài)

如果在該三維空間點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)中,(τxy,τxz)、(τyx,τyz)和(τzx,τzy)三對中至少有一對為0,由于通常習(xí)慣于用x、y平面,故可令τxz=τzx=0、τyz=τzy=0。此時該微小立方體沿x軸和y軸的4個平面上分別作用著2個應(yīng)力分量,垂直于沿z軸的2個平面上分別作用著1個應(yīng)力分量,如圖2所示?？紤]剪應(yīng)力成對(τxy=τyx),該三維空間特殊點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)最少可用4個應(yīng)力分量的列矩陣來表示,表達(dá)式如式(2):

圖2 特殊點(diǎn)的空間應(yīng)力狀態(tài)

如果用平行于z軸的平面斜切該微小立方體,獲得微小三角柱體,其中平行于x軸、y軸和z軸平面上的應(yīng)力分量沒有變化,如圖3所示。參考平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析方法,平行于z軸斜面上的應(yīng)力分量可由通過靜力學(xué)平衡條件求得。假設(shè)微小三角柱體中△bef的面積為dB,斜面的面積為dA,斜面上的法向應(yīng)力為σα,斜面上的切向應(yīng)力為τα,斜面與x軸之間的夾角為α,如圖4所示。可根據(jù)微小三角柱體的靜力學(xué)平衡來分析該點(diǎn)的空間應(yīng)力狀態(tài)。

圖3 特殊點(diǎn)的空間應(yīng)力狀態(tài)分析

根據(jù)微小三角柱體z軸方向的靜力學(xué)平衡條件(∑Fz=0),則有:

根據(jù)微小三角柱體斜面上的法向方向的靜力學(xué)平衡條件(∑Fn=0),則有:

根據(jù)微小三角柱體斜面上的切向方向的靜力學(xué)平衡條件(∑Ft=0),則有:

由式(3)—(5),可得微小三角柱體的應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力分量表達(dá)式如下:

其中在式(6)中,σx、τyx分別為微小三角柱體eb平面上的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力,σy、τxy分別為微小三角柱體bf平面上的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力,σz為微小三角柱體ebf平面上的法向應(yīng)力。

3 算例分析

某半無限彈性體內(nèi)部的集中力F作用在某段圓弧端頭,其中由集中力F的方向和圓弧(S)確定的平面垂直于水平面(如圖4所示),基于Mindlin基本解討論該段圓弧上的法向應(yīng)力(σα)和切向應(yīng)力(τα)。

集中力的豎向分量(Fv=Fcosθ)作用在半無限彈性體內(nèi)部的Mindlin基本解[12],其應(yīng)力分量如下:

圖4 集中力作用無限體示意圖

集中力的水平分量(Fh=Fsinθ)作用在半無限彈性體內(nèi)部的Mindlin基本解[12],其應(yīng)力分量如下:

如果在式(7)—(14)中y=0,由式(7)—(14)通過應(yīng)力疊加可以得到三維直角坐標(biāo)系下該段圓弧上任意點(diǎn)的應(yīng)力分量:

參考以上三維空間特殊點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析,可得到該段圓弧上任意點(diǎn)的法向應(yīng)力(σα)和切向應(yīng)力(τα)應(yīng)力分量,如下:

其中,在式(7)—(14)中,其參數(shù)含義詳見參考文獻(xiàn)[12];在式(15)—(16)中,σx、σy、σz、τzx分別為集中力F作用在半無限彈性體內(nèi)部時直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量,x為該段圓弧(S)上任意點(diǎn)x軸方向的坐標(biāo),c為集中力F作用點(diǎn)z軸方向的坐標(biāo),R為圓弧(S)的半徑。α為該段圓弧(S)上任意點(diǎn)的切線與x軸之間的夾角。

如果該算例中μ=0.2,θ=π/6,R=20m,F=100kN,由式(16)可以得到該段圓弧上任意點(diǎn)的法向應(yīng)力(σα)和切向應(yīng)力(τα),該段圓弧上的法向應(yīng)力分布情況和切向應(yīng)力分布情況如下圖。

圖5 圓弧法向應(yīng)力分布情況圖

在算例中,圖5為圓弧上點(diǎn)的法向應(yīng)力沿圓弧軌跡的分布圖,圖6為圓弧上點(diǎn)的切向應(yīng)力沿圓弧軌跡的分布圖。由圖5和圖6可知,該算例中圓弧上法向應(yīng)力分布曲線和切向應(yīng)力分布曲線按冪函數(shù)變化,圓弧上法向應(yīng)力和切向應(yīng)力主要集中在集中力作用點(diǎn)0.5m范圍內(nèi),其中應(yīng)力峰值也位于集中力作用點(diǎn)附近。

圖6 圓弧切向應(yīng)力分布情況圖

4 結(jié)束語

基于三維直角坐標(biāo)系下任意點(diǎn)的空間應(yīng)力狀態(tài),參考材料力學(xué)中“平面應(yīng)力狀態(tài)”斜面應(yīng)力公式的推導(dǎo)過程,對三維空間中一種特殊點(diǎn)的空間應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行了應(yīng)力分析,并進(jìn)行了算例應(yīng)用。雖然取得了一些理論方面的成果,但還需要通過數(shù)值模擬分析方法、實驗分析方法來進(jìn)一步驗證。