張艷碩 常萬(wàn)里 李萬(wàn)玉 冷 南

1. 北京電子科技學(xué)院，北京市 100070；

2. 北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

引言

泰勒公式是把函數(shù)用多項(xiàng)式近似表示的重要依據(jù)，是高等數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，探討泰勒公式在函數(shù)的極限求解、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、近似計(jì)算和級(jí)數(shù)的斂散性判斷等方面應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中具有重要意義。

泰勒公式，于1715 年布魯克·泰勒發(fā)表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》[1]一文中首次提出，約瑟夫·拉格朗日將其稱之為“導(dǎo)數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)”，并由此開(kāi)創(chuàng)了有限差分理論。 泰勒公式廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理及其他領(lǐng)域，是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。 在高等教育出版社的《高等數(shù)學(xué)》第三章[2]中重點(diǎn)講解了泰勒公式及其相關(guān)內(nèi)容。

在高等數(shù)學(xué)中，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常常需要進(jìn)行有限和無(wú)限的相互變換，這是泰勒公式存在的重要意義，通過(guò)認(rèn)識(shí)這種函數(shù)展開(kāi)與向量空間的聯(lián)系可以更深的理解函數(shù)的微分學(xué)，成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題強(qiáng)有力的工具。

本文旨在探討泰勒公式在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的典型設(shè)計(jì)與應(yīng)用實(shí)踐。 文章將首先從泰勒公式在實(shí)際教育教學(xué)中的前置工作進(jìn)行總體概括，其次從極限、導(dǎo)數(shù)和積分學(xué)方面以經(jīng)典案例對(duì)泰勒公式進(jìn)行典型教學(xué)設(shè)計(jì)，在總結(jié)歸納知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)建立知識(shí)體系。 在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中注重邏輯推理及知識(shí)遷移能力，明晰證明思路、加強(qiáng)思辨能力、精準(zhǔn)挑選例題并體現(xiàn)知識(shí)應(yīng)用，為學(xué)生在今后高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)做好鋪墊、開(kāi)拓思路并打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

1 泰勒公式及其擴(kuò)展形式

泰勒公式[3]，也稱泰勒展開(kāi)式，是用一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的信息，描述其附近取值的公式。 如果函數(shù)足夠平滑，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下，泰勒公式可以利用這些導(dǎo)數(shù)值用以做系數(shù)，構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式近似函數(shù)，求得在這一點(diǎn)的鄰域中的值。 多項(xiàng)式函數(shù)是一種簡(jiǎn)單而又基本的函數(shù)，具有形式簡(jiǎn)單的表達(dá)式和很好的分析性質(zhì)。 泰勒公式是把函數(shù)用多項(xiàng)式近似表示的重要依據(jù)，利用該公式可以把對(duì)復(fù)雜函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)處理。

麥克勞林(Maclaurin)公式是泰勒公式(在x0＝0，記ξ ＝θx(0 ＜θ ＜1) 時(shí))的一種特殊表現(xiàn)形式，通過(guò)對(duì)泰勒中值定理的研究，其擴(kuò)展形式，帶有佩亞諾余項(xiàng)及帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式在高等函數(shù)極限與不等式研究當(dāng)中有著極為廣泛的應(yīng)用。

2 泰勒公式教學(xué)前置

前置性教學(xué)是生本教育理念的重要表現(xiàn)形式，可以有效銜接前置性學(xué)習(xí)與課堂教學(xué)。 泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”[4]的精髓，泰勒公式的使用可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，并且可以滿足高精度的計(jì)算。 多數(shù)學(xué)生在初識(shí)高數(shù)課程時(shí)，其認(rèn)知能力和邏輯思維大多都停留在高中階段，腦海中沒(méi)有明晰的連續(xù)和逼近等概念。 泰勒公式利用多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)，具有形式簡(jiǎn)單、易于理解和易于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)。 通過(guò)對(duì)泰勒公式以及其擴(kuò)展形式的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，為學(xué)生在高等數(shù)學(xué)在極限、微分和積分等方面的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，極大提升了學(xué)生在高數(shù)課程學(xué)習(xí)中的理解能力。我們將從無(wú)理數(shù)逼近計(jì)算、復(fù)變函數(shù)及其他方面進(jìn)行深入闡述。

2.1 無(wú)理數(shù)的逼近計(jì)算

此題利用3 階泰勒公式求解的一般步驟為:

由此可見(jiàn)，我們可以利用泰勒公式可以實(shí)現(xiàn)無(wú)理數(shù)的逼近計(jì)算并可以利用余項(xiàng)估計(jì)其誤差。

2.2 泰勒公式在復(fù)變函數(shù)中的典型應(yīng)用

歐拉公式[6]是將復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)相聯(lián)系的一個(gè)公式，eix＝cosx ＋isinx，e 為自然對(duì)數(shù)的底，i 為虛數(shù)單位。 歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)范圍，并建立三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更是被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。下面我們應(yīng)用不帶有余項(xiàng)的麥克勞林公式去驗(yàn)證歐拉公式。

驗(yàn)證歐拉公式:eix＝cosx ＋isinx

將上面的b 換成x，便得到了歐拉公式。 由歐拉公式，對(duì)任意一個(gè)復(fù)數(shù)z ＝ib，有

ea＋ib＝eaeib＝ea(cosb ＋isinb)

即復(fù)數(shù)z 的指數(shù)函數(shù)依然是一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)的模r ＝ea， 幅角θ ＝b。 若b ＝0， 則ez＝ea(cos0 ＋isin0) ＝ea，與實(shí)變函數(shù)f ( x) ＝ex在x＝a 時(shí)的函數(shù)值相同。

由此可見(jiàn)，我們可以利用泰勒公式實(shí)現(xiàn)在數(shù)學(xué)分析、復(fù)變函數(shù)論中的相關(guān)應(yīng)用。

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

泰勒公式[7]比較抽象，難以理解，學(xué)生一般很難吃透泰勒公式的實(shí)質(zhì)，更難以實(shí)現(xiàn)對(duì)公式的靈活運(yùn)用。 因此，泰勒公式一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。 為使學(xué)生能夠更好的理解泰勒公式思想，我們分別對(duì)極限問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題以及積分學(xué)問(wèn)題進(jìn)行典型案例教學(xué)設(shè)計(jì)。

3.1 基于泰勒公式的極限問(wèn)題案例教學(xué)

極限是高等數(shù)學(xué)中的重要基礎(chǔ)概念，連續(xù)、微分和積分等基本概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上。 等價(jià)無(wú)窮小代換和洛必達(dá)法是學(xué)生們常選用的兩個(gè)方法，但兩種方法都具有一定的局限性。 等價(jià)無(wú)窮小代換只能用于乘、除因子，在用作加、減項(xiàng)的無(wú)窮小量時(shí)，則不能隨意用其等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行替換。 應(yīng)用洛必達(dá)法則會(huì)造成有些函數(shù)求導(dǎo)十分繁瑣，多次應(yīng)用洛必達(dá)法則會(huì)使計(jì)算量增大。 此時(shí)，一般可以利用泰勒公式解決極限問(wèn)題。

(1)關(guān)于極限證明的典型設(shè)計(jì)

泰勒公式在極限證明題的應(yīng)用，常常會(huì)有化繁為簡(jiǎn)，化難為易的效果，下面我們以一道經(jīng)典極限證明問(wèn)題為例，討論泰勒公式在極限證明中的具體應(yīng)用。

學(xué)生有時(shí)并不清楚利用等價(jià)無(wú)窮小sinx ～x，tanx ～x 解題時(shí)會(huì)造成分子、分母不同階，進(jìn)而得出原式為0 的答案。 利用泰勒展開(kāi)式可以巧妙地解決這一困惑，由帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式

通過(guò)應(yīng)用泰勒公式，能夠加深學(xué)生對(duì)于等價(jià)無(wú)窮小在實(shí)際做題中的理解與應(yīng)用，在解決極限計(jì)算問(wèn)題中進(jìn)一步深刻體會(huì)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”思想。

(2)關(guān)于極限計(jì)算的典型設(shè)計(jì)

通過(guò)泰勒展開(kāi)式的運(yùn)用，我們可以清晰地看出，若步驟一或步驟二中使用等價(jià)無(wú)窮小x ～sinx 會(huì)因分子所忽略的余項(xiàng)影響計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而造成計(jì)算錯(cuò)誤。 泰勒公式通過(guò)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式近似函數(shù)，使得計(jì)算簡(jiǎn)化。

(3)利用泰勒公式求極限問(wèn)題的注意事項(xiàng)

b)極限形式為f ( x) - g ( x) 時(shí)，將f ( x) ，g ( x) 分別展開(kāi)到能令他們的系數(shù)不相等的最低次冪。

3.2 基于泰勒公式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題案例教學(xué)

泰勒公式[8]在微分學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，在解決計(jì)算、證明問(wèn)題時(shí)既十分方便又有規(guī)律可循。 一般地，對(duì)于題設(shè)條件中含有或蘊(yùn)含有“函數(shù)具有二階或二階以上導(dǎo)數(shù)”的題型，都可考慮應(yīng)用泰勒公式。

(1)關(guān)于導(dǎo)數(shù)計(jì)算的典型設(shè)計(jì)

在解決導(dǎo)數(shù)計(jì)算一類問(wèn)題時(shí)，特別是在函數(shù)有多階導(dǎo)函數(shù)時(shí)可以利用泰勒公式來(lái)進(jìn)行證明。下面我們以一道典型導(dǎo)數(shù)計(jì)算問(wèn)題為例，集中展示泰勒公式在導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的具體應(yīng)用。 設(shè)f(x)在[0，1] 上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(0)＝f(1)＝0 且當(dāng)x ∈(0，1) 時(shí)， ｜ f″(x) ｜≤2， 試證: ｜f′(x) ｜≤1。

證明:因?yàn)閒(x) 在[0，1] 上具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，因此，f(x) 的一階泰勒展開(kāi)式存在

其中， θ1介于0 與x 之間， θ2介于x 與1之間。

通過(guò)上述證明可以看出，關(guān)于導(dǎo)數(shù)計(jì)算的泰勒公式在不等式的證明過(guò)程中起到了非常關(guān)鍵的作用。

(2)關(guān)于導(dǎo)數(shù)綜合題的典型設(shè)計(jì)

在導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用方面熟練應(yīng)用泰勒公式及其擴(kuò)展形式麥克勞林公式、拉格朗日中值定理，有著極大的實(shí)用性和便捷性。 下面我們以一道根的唯一存在性的典型例題進(jìn)行說(shuō)明。 設(shè)f(x) 在[a， ＋∞) 上二階可導(dǎo)，且f(a) ＞ 0，f′(a) ＜0，對(duì)x ∈(a， ＋∞)，f″≤0，運(yùn)用泰勒公式證明: f(x) ＝0 在(a， ＋∞) 內(nèi)存在唯一實(shí)根。

因?yàn)閒″(x) ≤0， 所以f′(x) 單調(diào)減少，又f′(a) ＜0，因此x ＞a 時(shí)，f′(x) ＜f′(a) ＜0，故f(x) 在(a， ＋∞) 上嚴(yán)格單調(diào)減少。 在a 點(diǎn)展開(kāi)一階泰勒公式有

由簡(jiǎn)到繁，由特殊到一般，是理解泰勒公式這類抽象理論知識(shí)的極好方式。 本題通過(guò)巧妙的應(yīng)用泰勒公式，極大地提升了解題速度和準(zhǔn)確性。

(3)利用泰勒公式求導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的注意事項(xiàng)

3.3 基于泰勒公式的積分學(xué)問(wèn)題案例教學(xué)

泰勒公式在積分學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，在解決精確計(jì)算、不等式證明和積分?jǐn)可⑿耘袛嗟葐?wèn)題時(shí)能夠做到化繁為簡(jiǎn)，化陌生為熟悉，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的作用。

(1)關(guān)于不定積分的典型設(shè)計(jì)

設(shè)f ( x) ＝x3＋x2＋x ＋1，將函數(shù)f ( x) 在x ＝1 點(diǎn)展開(kāi)，有

從解題過(guò)程不難看出，利用泰勒公式免去了因?yàn)槔么ㄏ禂?shù)所帶來(lái)的繁雜運(yùn)算，減少了錯(cuò)誤發(fā)生的可能，進(jìn)而簡(jiǎn)化運(yùn)算。

(2)關(guān)于定積分精確計(jì)算的典型設(shè)計(jì)

(3)關(guān)于廣義積分有限區(qū)間斂散性判斷的典型設(shè)計(jì)。

(4)關(guān)于廣義積分無(wú)限區(qū)間斂散性判斷的典型設(shè)計(jì)

在對(duì)某些正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判定時(shí)，我們可以利用比較判別法，也可以利用比值判別法的極限形式，但是有些時(shí)候，泰勒公式是一個(gè)很好的橋梁，以實(shí)現(xiàn)級(jí)數(shù)的斂散性判定。

(5)利用泰勒公式求積分學(xué)問(wèn)題的注意事項(xiàng)。

a)在解決有關(guān)泰勒公式的積分學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意區(qū)分不定積分，定積分的實(shí)際應(yīng)用；

b)在解決有關(guān)廣義積分的斂散性判斷問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意區(qū)分積分有限區(qū)間，無(wú)限區(qū)間的差異；

c)在解決某些具體題目時(shí)，泰勒公式不一定是最簡(jiǎn)便的做法。 應(yīng)做到具體問(wèn)題具體分析，靈活運(yùn)用泰勒公式。

4 泰勒公式的廣泛應(yīng)用

泰勒公式是解決高等數(shù)學(xué)中許多問(wèn)題的重要工具，眾多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用泰勒公式可以得到更加簡(jiǎn)便快捷的解決。 由于某些數(shù)值計(jì)算和理論分析的需要，對(duì)于一些稍微復(fù)雜的函數(shù)，我們經(jīng)常需要用一些合適的多項(xiàng)式，即相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)對(duì)原函數(shù)進(jìn)行近似表示，泰勒公式[11]便是其中精確度比較高的一種。

泰勒公式在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[12]，利用它可以將非線性問(wèn)題化為線性問(wèn)題，并能滿足很高的精確要求，其在微分學(xué)相關(guān)計(jì)算與證明實(shí)例中的應(yīng)用方法，借助泰勒公式解決問(wèn)題更高效便捷。 帶有佩亞諾余項(xiàng)抑或是帶有拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式可應(yīng)用于高階不等式[13]的證明。 利用常見(jiàn)函數(shù)的泰勒公式，可以大大簡(jiǎn)化函數(shù)形式，求解時(shí)方便快捷。 還可以利用泰勒公式求極限問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，方程根的存在性證明，級(jí)數(shù)的斂散性判斷和方程的近似求解等等。 對(duì)于某些求不定積分的題型，若采取泰勒公式，將極大簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

同時(shí)， 泰勒公式[14]在其它學(xué)科中也有著廣泛而深遠(yuǎn)的應(yīng)用.例如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、金融學(xué)中期望效用函數(shù)和均值-方差分析的關(guān)系、時(shí)間序列分析中的平穩(wěn)化過(guò)程和彈性力學(xué)等方面都需要借助泰勒公式才能獲得重要成果。

5 總結(jié)

在高等數(shù)學(xué)中，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題常常需要進(jìn)行有限和無(wú)限的相互變換，這是泰勒公式存在的重要意義，通過(guò)認(rèn)識(shí)這種函數(shù)展開(kāi)與向量空間的聯(lián)系可以更深的理解函數(shù)的微分學(xué)，成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題強(qiáng)有力的工具。 我們深入探討泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題等方面的應(yīng)用，在對(duì)于解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常可以起到事半功倍的效果。 在具體應(yīng)用泰勒公式時(shí)，要具體問(wèn)題具體分析，靈活應(yīng)用泰勒公式。 在實(shí)際教育教學(xué)中，通過(guò)實(shí)例探討泰勒公式在微積分學(xué)中的相關(guān)證明及計(jì)算中的諸多應(yīng)用，令學(xué)生們體會(huì)到應(yīng)用泰勒公式解決問(wèn)題的便捷性與實(shí)用性。