沈 鋼，李 欽，陳 浩

（1. 同濟大學鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804；2. 上海市計量測試技術(shù)研究院，上海201203）

磁懸浮車輛有著速度快、能耗低、轉(zhuǎn)彎半徑小、爬坡能力強等優(yōu)點，是未來交通領(lǐng)域重要的發(fā)展方向［1］。德國對磁懸浮車輛的研究較早，研制的TR系列磁懸浮列車已有50 年的歷史［2］。我國上海的世界首條商用高速磁懸浮線路即由德國TR08 系列磁懸浮列車發(fā)展而來。日本的HSST型中低速磁懸浮和MLX 型高溫超導(dǎo)磁懸浮列車亦達到了較高的技術(shù)水平。然而，目前磁懸浮列車的車軌耦合振動問題急需解決［3］。日本的HSST 型列車和德國的TR04列車均曾發(fā)生過車軌耦合振動過大的情況［4］。當磁懸浮系統(tǒng)遇到軌道局部的不平順激勵時，磁鐵間由車輛鏈接形成的耦合導(dǎo)致車軌間的耦合振動，極大地影響車輛運行的舒適性甚至安全性。目前工業(yè)上廣泛使用的磁懸浮控制算法均基于將軌道板假設(shè)為絕對剛性而設(shè)計的，由于不考慮軌道板的振動自由度，從理論上車軌耦合振動無法完全抑制。只有增大軌道板剛度，提高軌道板和橋梁基礎(chǔ)的制造、安裝等精度，才能夠保證磁懸浮車輛系統(tǒng)具有可以接受的穩(wěn)定性，這也就造成了磁懸浮線路的建設(shè)成本極高，難以大規(guī)模推廣應(yīng)用。通過改進控制算法提升磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高容許的軌道板精度誤差、橋梁基礎(chǔ)精度誤差以及降低軌道板剛度要求，這無疑有著很大的經(jīng)濟價值和應(yīng)用價值。

本研究中探討了考慮軌道板振動的柔性控制算法下磁懸浮車輛系統(tǒng)對軌道板的剛度要求，并討論了磁懸浮系統(tǒng)在不同激勵作用下的響應(yīng)。

1 系統(tǒng)的數(shù)學描述

車軌耦合的磁懸浮車輛系統(tǒng)主要包括電磁鐵、軌道板、橋梁基礎(chǔ)等三個部分。為了數(shù)學描述的方便，將車體與懸浮架的質(zhì)量等效在電磁鐵上，將軌道板等效為橋梁基礎(chǔ)上的質(zhì)量剛度系統(tǒng)。圖1為磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖1 中，x1、x2分別為軌道板和電磁鐵的位移，w為基礎(chǔ)的位移激勵輸入，m1、m2分別為軌道板和電磁鐵的質(zhì)量，k為軌道板的等效剛度，F(xiàn)為電磁鐵的電磁力，R為電磁線圈的電阻，U為電磁線圈間的電壓，L為線圈的電感。

圖1 考慮基礎(chǔ)激勵輸入的磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of maglev system considering irregularity excitation

由電工學中電磁鐵的工作原理可知，電磁力的計算式如下所示［5］：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；N為線圈匝數(shù)；Asm為磁極面積；I為線圈電流。為了方便進行控制器的設(shè)計和研究，在工作點處將非線性的電磁系統(tǒng)方程線性化。令S=x2-x1為懸浮氣隙，分別將電磁力F關(guān)于電流I和氣隙S求偏導(dǎo)數(shù)，可得到電磁力的線性化方程，如下所示：

式（2）～（4）中：PI和PS分別為電流系數(shù)和氣隙系數(shù)；Ibal和dbal分別為系統(tǒng)的平衡電流和平衡氣隙。

由牛頓運動定律可得電磁鐵和軌道板的運動方程，如下所示：

由Meisinger等［6］的工作可以得到電磁鐵的電氣方程，如下所示：

式中：η為漏磁率。式（2）～（7）對磁懸浮系統(tǒng)進行了完整的數(shù)學描述。

2 控制器的設(shè)計

狀態(tài)反饋是一種廣泛應(yīng)用于控制領(lǐng)域的控制形式。將系統(tǒng)的狀態(tài)變量反饋給控制器進行計算，得到的控制量作用回系統(tǒng)中以實現(xiàn)控制［7］。下面建立針對磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器。對于磁懸浮系統(tǒng)而言，目前工業(yè)上廣泛應(yīng)用的控制器大多不考慮軌道板的振動情況，即將軌道板假設(shè)為絕對的剛性物體，基于此假設(shè)計算的控制器簡稱剛性控制器?？紤]軌道板振動自由度，軌道板被作為質(zhì)量剛度系統(tǒng)對待，基于此假設(shè)計算的控制器簡稱柔性控制器。從理論上看，剛性控制器在設(shè)計時不考慮軌道板的自由度，計算更為簡單、快速；柔性控制器考慮的自由度較多，控制器本身在實現(xiàn)控制時的計算量也會較大。

2.1 剛性控制器設(shè)計

由于不考慮軌道板振動的自由度，因此數(shù)學模型中的x1被認為是定值，不參與控制器的計算。針對式（2）～（7）描述的磁懸浮系統(tǒng)，選取x2、x?2、x?2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，Xs=[x2x?2x?2]T在平衡位置將系統(tǒng)線性化，則系統(tǒng)的數(shù)學描述可整理為如下形式的方程組：

式（8）～（10）為整理后剛性控制器控制下的系統(tǒng)描述，得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程如下所示：

式中：Ks為設(shè)計的剛性控制器。剛性控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

建立性能泛函，如下所示：

式中：qd、q2、r分別為懸浮氣隙加權(quán)系數(shù)、磁鐵振動加速度加權(quán)系數(shù)和控制電壓加權(quán)系數(shù)。由于剛性控制算法不涉及軌道板的自由度，因此性能泛函只能對電磁鐵自由度的相關(guān)信息進行約束。性能泛函的選取決定了控制器的控制效果。在Simulink平臺上不斷調(diào)試性能泛函中qd、q2、r的取值組合，以電磁鐵和軌道板振動較小和控制電壓在可接受范圍內(nèi)為目的，得到較優(yōu)的權(quán)重系數(shù)組合。經(jīng)過仿真試驗嘗試，取qd=106、q2=1、r=1，分別對懸浮氣隙、磁鐵振動加速度和控制電壓進行加權(quán)。

圖2 剛性控制器結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of stiff controller

式中：Qs和Rs分別為輸出加權(quán)矩陣和控制加權(quán)矩陣。對希望的輸出指標和控制電壓進行加權(quán)，達到使磁懸浮系統(tǒng)的氣隙振動和電磁鐵的振動較小，同時控制電壓不能太大的目的。

由最優(yōu)控制理論可知，滿足下式的U使得性能泛函J最?。?］：

式中：P為Riccati方程的解。Riccati方程如下所示：

2.2 柔性控制器設(shè)計

式（16）～（20）即為整理后柔性控制器下的系統(tǒng)描述方程組。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示：

狀態(tài)反饋控制律如下所示：

式中：Kf為設(shè)計的柔性控制器。柔性控制器結(jié)構(gòu)如圖3 所示。由于考慮了軌道板的振動，因此性能泛函便可對軌道板的運動做出控制要求。式（23）中qt便體現(xiàn)了對軌道板振動的約束，使得控制器工作時得以抑制軌道板的振動。性能泛函如下所示：

圖3 柔性控制器結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of flexible controller

取qt=107、qd=106、q2=1、r=1，分別對軌道板的振動速度、懸浮氣隙、電磁鐵的加速度、控制電壓進行加權(quán)。

令

式中：Qf和Rf分別為輸出加權(quán)矩陣和控制加權(quán)矩陣。希望通過加權(quán)，使得軌道板的振動和電磁鐵的振動較小，懸浮氣隙的波動也較小，同時控制電壓在合理的范圍內(nèi)。

由最優(yōu)控制理論可知，滿足下式的U使得性能泛函J最小：

式中：P為Riccati方程的解。Riccati方程如下所示：

3 軌道板剛度對懸浮穩(wěn)定性的影響

為了分析控制器的作用效果，建立了Matlab/Simulink 磁懸浮系統(tǒng)模型，并將不同的控制算法搭建在模型上。Simulink模型結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 Matlab/Simulink控制模型結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of Matlab/Simulink control model

在Simulink 模型中，剛性控制器和柔性控制器的控制矩陣皆建立在系統(tǒng)中，由開關(guān)通道選擇實行控制的控制算法。模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Parameters of model

分別使用第2 節(jié)推導(dǎo)的剛性控制算法U=-KsXs和柔性控制算法U=-KfXf進行仿真試驗。軌道板剛度取34 000 N·m-1，懸浮氣隙響應(yīng)如圖5所示。

圖5 懸浮氣隙響應(yīng)Fig.5 Air gap response

由圖5可見，剛性控制算法下系統(tǒng)是發(fā)散的，而柔性控制算法下系統(tǒng)可以很好地收斂。剛性控制算法下對磁懸浮系統(tǒng)增加不同的軌道梁剛度K，得到的懸浮氣隙響應(yīng)如圖6～9所示。

圖6 K=510 000 N·m-1Fig.6 K=510 000 N·m-1

圖7 K=680 000 N·m-1Fig.7 K=680 000 N·m-1

柔性控制算法下對磁懸浮系統(tǒng)增加軌道梁剛度K，得到的懸浮氣隙響應(yīng)如圖10和圖11所示。

圖8 K=1 020 000 N·m-1Fig.8 K=1 020 000 N·m-1

圖9 K=1 700 000 N·m-1Fig.9 K=1 700 000 N·m-1

圖10 K=34 000 N·m-1Fig.10 K=34 000 N·m-1

圖11 K=510 000 N·m-1Fig.11 K=510 000 N·m-1

由圖10和圖11可見，柔性控制算法下磁懸浮系統(tǒng)在初始剛度K=34 000 N·m-1時已經(jīng)穩(wěn)定，增大剛度只會進一步增強系統(tǒng)的穩(wěn)定性，懸浮氣隙響應(yīng)的波動進一步減小，系統(tǒng)更快收斂在平衡位置。由圖6～9可見，剛性控制算法很難使磁鐵軌道系統(tǒng)穩(wěn)定。軌道板剛度增大到原剛度的50倍時，剛性控制算法才能夠?qū)⑾到y(tǒng)穩(wěn)定在一定的范圍內(nèi)，但是對懸浮氣隙的響應(yīng)曲線放大后仍可看出系統(tǒng)在平衡位置處存在著振蕩，并且振蕩一直持續(xù)存在。這是由于控制系統(tǒng)未考慮軌道板的自由度，對軌道板振動無法進行抑制，除非軌道板自身存在一定的阻尼，否則系統(tǒng)很難趨向穩(wěn)定?，F(xiàn)實中，軌道板總會存在一定的阻尼，不斷地增大軌道板的剛度亦能夠使得系統(tǒng)趨向于穩(wěn)定，這也是實際工程中，采用剛性控制算法的磁懸浮線路軌道板質(zhì)量很大、造價高昂的原因。

4 軌道存在激勵

在工程實際中，由于磁懸浮車輛需要通過橋梁，因此橋梁間的制造精度誤差以及地表的沉降等因素都會造成磁懸浮線路基礎(chǔ)存在擾動。為了減少擾動對磁懸浮系統(tǒng)的不利影響，通常對橋梁和基礎(chǔ)的制造要求很高，這也大大提高了磁懸浮線路的工程造價。通過提升控制算法來提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低對橋梁基礎(chǔ)等的建造精度要求，無疑有著很大的經(jīng)濟價值，十分有利于磁懸浮車輛的進一步推廣應(yīng)用。下面對存在激勵情況時不同控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)進行分析。

4.1 固定基礎(chǔ)激勵

假定某一軌道板下的基礎(chǔ)存在垂向的不平順激勵，為階躍形式的激勵輸入。假設(shè)軌道板長度為3 m，磁懸浮列車通過的速度為200 km·h-1，則階躍激勵的時長為0.054 s。下面探討激勵的大小與磁懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。激勵輸入如圖12所示。

圖12 激勵輸入Fig.12 Disturbance input

在剛性控制算法下將軌道板的剛度增大50倍，K=1 700 000 N·m-1，加入激勵信號后，懸浮氣隙響應(yīng)如圖13和圖14所示。

圖13 w=0.1 mmFig.13 w=0.1 mm

圖14 w=0.5 mmFig.14 w=0.5 mm

由圖13和圖14可見，剛性控制算法下基礎(chǔ)激勵輸入后，系統(tǒng)被激勵并出現(xiàn)逐漸擴大的振蕩。在激勵輸入w=0.1 mm的情況下振蕩相對較小，但仍為緩慢發(fā)散的趨勢。因此，剛性控制算法校正下的磁懸浮系統(tǒng)對于基礎(chǔ)的激勵魯棒性很差，極易造成系統(tǒng)振蕩失穩(wěn)。。

柔性控制算法下的懸浮氣隙響應(yīng)如圖15～18所示，軌道板剛度取較小的預(yù)先值K=34 000 N·m-1。

圖15 w=0.5 mmFig.15 w=0.5 mm

由圖15～18 可見，激勵增加至1.5 mm 后，振蕩才超過8 mm的安全界限。在激勵小于1.5 mm的情況下，系統(tǒng)都可以很好地收斂并且振蕩小于安全界圖18w=1.5 mm Fig.18w=1.5 mm限。與剛性控制算法對比，柔性控制算法對固定基礎(chǔ)激勵的穩(wěn)定性更好。

圖16 w=1.0 mmFig.16 w=1.0 mm

圖17 w=1.2 mmFig.17 w=1.2 mm

4.2 隨機基礎(chǔ)激勵

在同樣的軌道剛度條件下，添加如圖19所示的軌道基礎(chǔ)擾動，每秒產(chǎn)生一個隨機的階躍信號。

從圖20和圖21可以看，剛性控制算法下懸浮氣隙的波動已超出8 mm的安全范圍，而柔性控制算法下懸浮氣隙可以保持在安全的范圍之內(nèi)。

軌道板的高頻不平順和基礎(chǔ)的高頻不平順也會對懸浮穩(wěn)定性造成影響。圖22 為由某實測高速磁懸浮線路不平順數(shù)據(jù)生成的高頻隨機激勵。剛性和柔性控制算法的懸浮氣隙響應(yīng)如圖23 所示。由圖23 可見，高頻激勵時剛性控制算法下懸浮氣隙更容易振蕩超限且振蕩有發(fā)散的趨勢；柔性控制算法下懸浮氣隙相對穩(wěn)定，振蕩的幅度更小，收斂得更快。

圖19 軌道激勵輸入Fig.19 Track disturbance input

圖20 柔性算法懸浮氣隙響應(yīng)Fig.20 Air gap response of flexible controller

圖21 剛性算法懸浮氣隙響應(yīng)Fig.21 Air gap response of stiff controller

圖23 兩種算法的懸浮氣隙響應(yīng)Fig.23 Air gap responses of two controllers

5 結(jié)論

（1）增大軌道板的剛度有利于磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定。剛性控制算法對剛度要求較高，而柔性控制算法對剛度要求較低。剛性控制算法下磁懸浮系統(tǒng)極易出現(xiàn)振蕩和車軌耦合振動，并且較難抑制。

（2）對于存在軌道基礎(chǔ)激勵的情況，剛性控制算法魯棒性較差，激勵極易造成系統(tǒng)振蕩甚至失穩(wěn)。柔性控制算法對軌道基礎(chǔ)不平順激勵輸入的魯棒性較好，在激勵不大于1.5 mm時皆可保證振蕩很快收斂且振幅不超過磁懸浮系統(tǒng)的安全界限。