徐俊起，林國斌，陳 琛，2，3，榮立軍，吉 文

（1. 同濟大學磁浮交通工程技術研究中心，上海201804；2. 同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804；3. 同濟大學交通運輸工程學院，上海201804）

自2003 年上海高速磁浮示范線投入運營以來，日本、韓國和中國又先后建成了四條中低速磁浮應用線。經(jīng)過半個多世紀的研發(fā)和初期應用，磁浮交通正逐步進入推廣應用階段。磁浮列車以其獨特的無接觸懸浮運行特點，吸引了眾多專家學者的關注。車輛懸浮系統(tǒng)的性能是磁浮交通的關鍵指標，而這一性能指標最初的懸浮控制技術研究大多基于單點懸浮系統(tǒng)，僅僅關注懸浮的穩(wěn)定性。然而，隨著研究的進行，越來越多的學者發(fā)現(xiàn)，應該更深入地分析懸浮系統(tǒng)在不同激勵擾動下的動態(tài)響應品質、系統(tǒng)魯棒性及抗干擾性等。Kim 等［1］、Al-Muthairi 等［2］基于單電磁鐵線圈進行控制器設計，分別提出模糊比例?積分?微分（PID）控制、滑模變結構控制等方法對磁浮車輛進行懸浮控制，有效提高了單電磁鐵線圈懸浮間隙的控制精度，但是仍未解決參數(shù)調試難問題。Chen 等［3］基于柔性軌道單跨簡支梁的動力學方程和懸浮電磁鐵自身的非線性方程以及徑向基函數(shù)（RBF）網(wǎng)絡逼近原理，設計了磁浮系統(tǒng)的滑模自適應狀態(tài)反饋控制器，但是沒有考慮實際系統(tǒng)中多點共同支撐懸浮時可能存在的輸出不一致問題。陳琛等［4］建立了軌道分段鏈式結構的離散形式和軌道結構的運動方程，采用虛擬激勵法將軌道不平順產(chǎn)生的隨機激勵轉化為系統(tǒng)輸入激勵，并將軌道隨機高低不平順作為振動激勵源進行車軌振動控制，但是沒有對控制算法進行有效優(yōu)化。封偉［5］、李奇南等［6-7］以鋼板為例，分析了多個電磁鐵協(xié)調下懸浮間隙控制的超靜定問題，但算法并未得到有效驗證。張敏等［8］基于中低速磁浮列車中電磁鐵線圈的連接方式及分布方式，提出一種更為科學的電磁鐵連接方式，并與現(xiàn)有系統(tǒng)進行對比，驗證該連接方式的優(yōu)越性。由于交叉耦合系統(tǒng)能夠在多體或多軸系統(tǒng)中進行有效的輸入輸出協(xié)同，因此在多電機傳動、多體機器人協(xié)同配合等領域得到了比較普遍的應用［9-10］。

基于非線性動力學方程搭建多點系統(tǒng)的懸浮模型，并設計負載擾動下多點懸浮控制算法。首先定義各懸浮點間的誤差關系，然后基于交叉耦合控制算法對各懸浮點的輸出誤差進行補償，最后針對負載擾動變化進行系統(tǒng)改進。基于Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的控制參數(shù)調節(jié)范圍，從而在降低調試難度的情況下提高系統(tǒng)懸浮穩(wěn)定性。

1 懸浮系統(tǒng)模型

由磁浮列車懸浮系統(tǒng)結構可知，每列車廂的懸浮系統(tǒng)由若干個相互獨立的懸浮架構成，每個懸浮架由4個懸浮點構成，如圖1、2所示。下面首先分析單點懸浮模型，然后對單側模型進行相應建模。

圖1 磁浮車輛結構側視圖Fig.1 Side view of maglev vehicle structure

1.1 單點懸浮系統(tǒng)模型

以同濟大學低速磁浮試驗車為例，假定懸浮系統(tǒng)可以進行完全解耦。為便于分析，將懸浮系統(tǒng)假定為單電磁鐵控制系統(tǒng)，在忽略耦合作用的情況下進行系統(tǒng)建模。單電磁鐵控制系統(tǒng)包括磁浮軌道、電磁鐵模塊、懸浮控制器、電渦流間隙傳感器、斬波器等。單電磁鐵控制系統(tǒng)如圖3所示［11-13］。

圖3中，電磁力F（B，z）由懸浮電磁鐵產(chǎn)生，z（t）是電磁鐵和磁浮軌道之間的間隙，i（t）是流過電磁鐵線圈的電流，u（t）是電磁鐵線圈兩端的激勵電壓，B（t）是懸浮電磁鐵表面的磁通密度，A是電磁鐵的磁極面積，mg是車體重力。由于懸浮系統(tǒng)最重要的是“浮車”和“落車”過程，因此僅僅考慮豎直方向自由度。

圖2 磁浮車輛懸浮架俯視簡圖Fig.2 Overlooking sketch of levitation frame of maglev vehicle

圖3 單電磁鐵控制系統(tǒng)Fig.3 Single electromagnet control system

基于電流控制的懸浮電磁力可以描述為

式中：wm是磁場能量密度；Wm是體積V的磁場能量；μ0是真空磁導率；?r是主磁通；z是懸浮間隙（未考慮時間變量）。

懸浮電磁鐵的控制電壓方程如下所示：

式中：ψ是間隙磁鏈；R是磁阻；N是線圈數(shù)。

基于牛頓定律，單點懸浮系統(tǒng)的動力學方程可表示為

式中：g是重力加速度；m是車體質量。

懸浮系統(tǒng)的非線性模型如下所示［14］：

式中：(i0，z0)表示平衡點。

1.2 單側懸浮架電磁鐵線圈系統(tǒng)協(xié)同模型

為分析低速磁浮車輛控制器的協(xié)調作用，將兩側8 個電磁鐵線圈假設為2 個完全相等的4 個電磁鐵線圈并分別協(xié)同，如圖4 所示。由于電磁鐵線圈之間采用剛性連接，因此單側電磁鐵的連接結構可視為桿結構。單側4 個線圈采用2 個控制回路進行連接，并且兩頭安裝對應電磁鐵，因此僅需要對2個回路的輸出進行協(xié)同，機械結構如圖5所示［15-17］。

圖4 電磁鐵線圈作用下的懸浮系統(tǒng)結構（單側）Fig.4 Structure of levitation system under the action of electromagnet coils (one side)

圖5 單側線圈耦合模型Fig.5 Coupling model of one-side coil

根據(jù)運行要求，在懸浮精度允許的范圍內作如下假設：

（1）對于四線圈耦合件而言，軌道具有無窮大的剛度系數(shù)，因此只對四線圈耦合件相對于軌道的運動關系進行分析。

（2）假定漏磁通現(xiàn)象和磁場邊緣效應不存在，并且忽略鐵芯和軌道磁阻。

（3）4個線圈排列均勻，質量分布均勻。

設單側懸浮架在豎直方向上的位移為zcg，轉動時產(chǎn)生的線位移為zcθ，期望間隙為ztar，線圈之間距離為2l，系統(tǒng)二系懸掛參數(shù)為ks、cs，懸浮模塊（線圈組）相對于軌道的轉角為θ，如圖6所示。

圖6 單側線圈作用下軌道變形和間隙變化示意圖Fig.6 Schematic diagram of track deformation and air gap change under the action of one-side coil

假設θ很小時zcg和zcθ與單側線圈輸出間隙的關系為

式中：z1、z3分別為由傳感器1和傳感器3直接測得的間隙。z1、z3與單側懸浮架運動坐標系中的位移zcg、zcθ存在如下變換關系：

將式（6）中常數(shù)矩陣定義為坐標系變換矩陣，如下所示：

單側電磁鐵線圈電磁力的合力FL為4個線圈提供電磁力的疊加，計算式如下所示：

式中：F1、F1_mid、F3_mid、F3分別為線圈1～4 所提供的懸浮力。

質心平動的動力學方程可描述為

單側懸浮架繞質心轉動的相關動力學方程可描述為

式中：I為轉動慣量。定義轉動等效質量mθ=I/(9l2)，可將式（10）進一步改寫為懸浮力在單側懸浮架運動坐標系與傳感器坐標系下的變換關系為

根據(jù)以上分析可以看出，如果對單側懸浮架進行整體分析，僅考慮2 個控制回路懸浮間隙即可固定整體懸浮。由式（15）所示動力學方程的系數(shù)矩陣可以看出，系數(shù)矩陣為非對角陣，因此可以判斷多點懸浮系統(tǒng)中不同輸出之間存在耦合［18］。

根據(jù)以往磁浮車輛單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的相關研究［1-4］，可以得到只考慮單電磁鐵情況下的動力學描述與電磁特性描述。假設平衡點為(i0，z0)，在該點線性化可以得到

式中：kc為關于懸浮力變化量與懸浮電流變化量的變化系數(shù)；kz為關于懸浮力變化量與懸浮間隙變化量的變化系數(shù)；ΔFj為不同線圈產(chǎn)生的懸浮力變化量；Δij、Δzj為對應的電流變化量和間隙變化量。kc和kz可表示為

電磁鐵線圈運動方程與控制電壓特性方程可以由下式得到：

式中：Δu 為控制電壓變化量；Δi 為穩(wěn)定懸浮時電流變化量；Δz為穩(wěn)定懸浮時懸浮間隙變化量；fd為負載擾動力。

根據(jù)式（16）～（18）可以得到

為簡化方程書寫，可以作如下假設：

式中：b31、b32分別為懸浮點1和懸浮點3所對應的控制增益；y為系統(tǒng)輸出。

對單側懸浮架懸浮系統(tǒng)輸入輸出以傳遞函數(shù)的形式進行描述，如下所示：

懸浮間隙誤差、懸浮間隙誤差變化速率以及懸浮電流偏差可以采用向量形式表示，即 ΔznΔz?nΔin]T，n=1，3。

結合式（20），采用一般空間狀態(tài)方程對單側懸浮架開環(huán)模型進行描述，如下所示：

傳遞函數(shù)矩陣中的各個子傳遞函數(shù)如下所示：

式（22）～（24）中：s為對應特征值。根據(jù)對傳遞函數(shù)矩陣中各個子傳遞函數(shù)的相關描述，可以確定G12(s)、G21(s)為非零且有理，單側懸浮架兩端狀態(tài)變量傳遞函數(shù)矩陣為非對角陣。由此可以確定，兩端狀態(tài)變量中不同輸出之間存在耦合關系［19-20］。

2 懸浮控制算法仿真平臺設計

針對不同模型進行仿真分析（見圖7），驗證所設計控制算法在抑制動態(tài)擾動以及提升系統(tǒng)控制精度方面的有效性。

圖7 懸浮系統(tǒng)算法仿真流程Fig.7 Simulation flow chart of the algorithm for levitation system

該仿真平臺共由以下六部分組成：

（1）基于動力學方程對車體進行基本約束，定義時只考慮垂向位移以及多電磁鐵間位移輸出不同步的垂向擺動，不考慮橫向位移。

（2）對如表1所示的系統(tǒng)物理參數(shù)進行定義。

（3）選取單點懸浮狀態(tài)方程所需狀態(tài)變量或者多點懸浮協(xié)同輸出下狀態(tài)變量用以構造模型。

（4）基于Simulink設計相關控制算法，并進行相關參數(shù)調試。

（5）采集相關變量進行網(wǎng)絡通信，構成閉環(huán)控制回路，并接出相關信號線以便系統(tǒng)調試。

（6）保存仿真計算結果，對于不同控制算法進行比較分析。

表1 多點懸浮系統(tǒng)物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of multi-point levitation system

3 控制算法設計

3.1 PID控制算法

PID控制算法是最為經(jīng)典且使用最為廣泛的線性化控制方法，控制原理如圖8所示［21］。圖8中，KP、KI、KD分別為比例控制增益、積分控制增益以及微分控制增益。

圖8 PID控制原理框圖Fig.8 Block diagram of PID control principle

采用PID控制時，如圖3所示的控制表達式為

第四，旅游危機事件網(wǎng)絡輿情依賴于網(wǎng)絡空間中各種形式的媒介。旅游危機事件網(wǎng)絡輿情的傳播和發(fā)布是通過各種形式的網(wǎng)絡平臺和移動客戶端得以實現(xiàn)的。“媒介即訊息”[10]，在網(wǎng)絡空間中信息的傳播依賴于網(wǎng)絡媒體。在某種意義上，網(wǎng)絡媒體既是傳播的渠道，又構成網(wǎng)絡輿情的信息本身。

式中：e(t)為懸浮誤差；TI為積分時間常數(shù)；TD為微分時間常數(shù)。令τ=0.1，可以得到KP的變化情況及取值范圍，得到的取值范圍為（2 500，6 000）。

3.2 交叉耦合反饋控制算法

對懸浮架單側線圈的協(xié)同控制可看作是兩端線圈為基礎的雙軸系統(tǒng)，交叉耦合控制可以實現(xiàn)在受到非線性時變擾動時的同步協(xié)調控制。

設2 個線圈的控制參數(shù)以及機械參數(shù)保持一致，定義u1、u3為懸浮點1 和懸浮點3 各自懸浮系統(tǒng)的控制輸入，采用懸浮間隙反饋、懸浮間隙變化速率反饋兩方面構成的雙環(huán)反饋系統(tǒng)。定義ε 為頻域內懸浮間隙同步誤差，可以采用下式進行描述：

式中：k為交叉耦合加權系數(shù)；w為耦合增益系數(shù)；e1、e3分別為懸浮點1 和懸浮點3 反饋系統(tǒng)的懸浮間隙跟蹤誤差；ks為交叉耦合增益。

在對懸浮架單側協(xié)同引入懸浮間隙交叉耦合之后，控制律u1、u3在頻域范圍內可以表示為

式中：Δf1(s)、Δf3(s)為單側懸浮架兩端各自對應的擾動量；kp為懸浮間隙反饋系數(shù)；kv為懸浮間隙變化速率反饋增益。

根據(jù)式（27）與式（21），可以得到相關系統(tǒng)的閉環(huán)輸出，如下所示：

式中：ki為電流誤差反饋增益。

式（30）和式（31）中：kf為擾動增益。可以看出，在擾動作用下，交叉耦合控制增益作用于系統(tǒng)輸出的傳遞函數(shù)矩陣，但對全局懸浮間隙系統(tǒng)反饋不產(chǎn)生影響。

3.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)懸浮間隙閉環(huán)輸出可以得到，在對系統(tǒng)采取交叉耦合控制策略進行協(xié)同輸出時，對應的特征方程為

在進行單點懸浮控制時，同樣可以根據(jù)懸浮間隙以及不同反饋控制參數(shù)列出特征方程組，因此在進行懸浮架單側輸出協(xié)同控制時得到的式（32）與單點懸浮控制得到的特征方程組具有高度相似性。根據(jù)式（32）以及特征根和系統(tǒng)穩(wěn)定性的關系可以得到

在進行單點懸浮控制時，也可以根據(jù)懸浮間隙以及式（33），得到交叉耦合控制算法在單側懸浮架協(xié)同控制時所需要滿足的穩(wěn)定性條件，如下所示：

系統(tǒng)靜懸浮時，在系統(tǒng)參數(shù)攝動及外載擾動的作用下，頻域內各個線圈之間的懸浮誤差可以表示為

根據(jù)終值定理得到頻域內穩(wěn)定狀態(tài)時的同步誤差，如下所示：

式中：Es表示頻域內單側懸浮架懸浮點1和懸浮點3之間的穩(wěn)態(tài)同步協(xié)調誤差。通過式（36）可以看出，耦合增益系數(shù)的變化可以對兩線圈之間的懸浮間隙差異進行有效協(xié)同，即隨著ks的增大，Es逐漸減小。交叉耦合系數(shù)ks取值不能過大，當取值過大時，可能會對系統(tǒng)整體穩(wěn)定性造成影響。

4 數(shù)值仿真

4.1 PID控制算法仿真

在對磁浮列車懸浮系統(tǒng)進行PID算法仿真計算時，采用目前廣泛使用的線性傳遞函數(shù)模型?？刂茀?shù)取KP=5 000，τ=0.1。負載擾動力如圖9 所示。分別對靜浮狀態(tài)以及可變負載狀態(tài)下的懸浮間隙進行仿真，如圖10和圖11所示。

圖9 負載擾動力Fig.9 Load disturbance force

從仿真結果可以看出，當磁浮列車處于靜浮狀態(tài)時，PID控制算法下的懸浮狀態(tài)非常平穩(wěn)，并且靜態(tài)誤差很小，大約為0.01 mm。然而，磁浮列車在運行過程中負載變化不可避免?？勺冐撦d狀態(tài)下懸浮間隙接近±1 mm，這表明PID控制算法對干擾較為敏感，系統(tǒng)魯棒性不強，在多點系統(tǒng)中難以保持懸浮間隙輸出的一致性。

圖10 靜浮狀態(tài)下懸浮間隙輸出Fig.10 Output of air gap in static floating state

圖11 可變負載狀態(tài)下懸浮間隙輸出Fig.11 Output of air gap under variable load conditions

4.2 交叉耦合反饋控制算法仿真

為了對交叉耦合控制律在低速磁浮車輛多線圈協(xié)同輸出中的效果進行驗證，同樣基于Matlab/Simulink 平臺搭建控制模型并進行數(shù)值仿真。為了與PID控制算法在負載變化激勵影響下的控制性能進行對比，分別對懸浮點1施加不同干擾，并在交叉耦合增益ks作用下描述4個電磁鐵線圈的相互協(xié)同效果。

（1）t=6 s 時在懸浮點1 上施加等效擾動量為3 mm的階躍擾動

從圖12 看出，交叉耦合協(xié)同作用下耦合增益ks發(fā)揮著重要作用。當ks=0 時，交叉耦合控制算法不起作用，線圈輸出偏差很大。在等效擾動量為3 mm的階躍擾動下，懸浮點1的輸出懸浮間隙始終為11 mm，距離8 mm 的期望懸浮間隙誤差非常大，無法實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。然而，隨著交叉耦合系數(shù)的增大，系統(tǒng)同步性增強，懸浮點間能夠更好地協(xié)同。當ks=200 時，系統(tǒng)同步性最強，不同懸浮點輸出的懸浮間隙誤差最小。雖然懸浮點1受到對應的階躍擾動，但是由于交叉耦合作用，輸出得到強制調整，系統(tǒng)恢復到穩(wěn)定懸浮狀態(tài)，整體誤差不超過1.5 mm。

圖12 階躍擾動下不同交叉耦合增益的多線圈懸浮間隙響應Fig.12 Response of multi-coil air gap with different cross-coupling gains under step disturbance

（1）t=7 s 時在懸浮點1 上間隔4 s 施加一次等效擾動量為±2 mm的方波干擾（共4次）

從圖13a 可以看出，在交叉耦合協(xié)同作用下，耦合增益ks發(fā)揮著十分重要的作用。t=7 s 時首次對懸浮點1施加方波時，出現(xiàn)2 mm懸浮間隙誤差。與此同時，由于剛性耦合的作用，懸浮點3同樣出現(xiàn)懸浮誤差，大致為0.8 mm。在最后一次方波時，對懸浮點1 造成的懸浮誤差有輕微減輕，大致為1.8 mm，而懸浮點3 出現(xiàn)的誤差僅為0.2 mm。仿真結果表明，在方波擾動期間各個懸浮點輸出懸浮間隙差異較大，各懸浮點間會產(chǎn)生較大耦合擾動，不利于懸浮穩(wěn)定。如圖13b 所示，ks=50 時，懸浮點1 首次遇到方波擾動的情況下，懸浮間隙誤差相對于圖13a有所減輕，而懸浮點3的誤差相應放大，此時各個懸浮點有協(xié)同作用的跡象。如圖13c～13d 所示，進一步增大交叉耦合增益時，懸浮點1 在方波擾動下的懸浮間隙誤差有了明顯降低，而懸浮點3 的輸出誤差與懸浮點1有了明顯的一致性。在圖13d中，懸浮點1 在受到方波擾動時誤差僅為0.5 mm，懸浮點1輸出誤差基本與懸浮點3保持一致。

5 試驗驗證

以同濟大學磁浮交通工程技術研究中心低速磁浮試驗車為例進行懸浮系統(tǒng)仿真，試驗車的車軌耦合系統(tǒng)如圖14 所示。分析不同控制算法下試驗車的懸浮情況。

通過沖擊力干擾響應，比較多點懸浮系統(tǒng)交叉耦合控制算法的協(xié)同控制與獨立控制的性能指標。試驗分為兩個步驟：第一步采用2 個懸浮點獨立控制而沒有施加交叉耦合控制算法的懸浮控制策略，第二步采用加入交叉耦合控制算法的協(xié)同控制策略。試驗結果如圖15～18所示。

從圖15～18 可以看出，在加入交叉耦合控制算法的協(xié)同控制策略時，懸浮點1 的間隙波動是未加交叉耦合控制策略時的40%，避免了因懸浮點1 間隙的較大波動而發(fā)生該懸浮點滑撬觸軌的可能，同時懸浮點3的間隙波動也有所減小。

圖13 方波擾動下不同交叉耦合增益的多線圈懸浮間隙響應Fig.13 Response of multi-coil air gap with different cross-coupling gains under square wave disturbance

圖16 電流響應（未施加協(xié)同作用）Fig.16 Current response(no synergistic effect)

圖17 懸浮間隙響應（協(xié)同作用）Fig.17 Levitation air gap response (synergistic effect)

6 結語

以單點懸浮模型為基礎構造了多點懸浮模型，并且通過求解多點系統(tǒng)中子傳遞函數(shù)來確定多點懸浮系統(tǒng)不同輸出之間存在耦合。引入交叉耦合控制算法，基于特征方程求解系統(tǒng)穩(wěn)定所需要的控制參數(shù)，并且給出了頻域內的同步誤差。不斷調節(jié)交叉耦合增益ks，可以有效改善多點懸浮輸出不一致的問題。交叉耦合增益使得懸浮點的輸出強制同步，提高系統(tǒng)的魯棒性，從而改善懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性。