閻昕明， 田德路， 張然然

（廣東第二師范學院 數(shù)學系， 廣東 廣州510303）

0 引言

《線性代數(shù)》是高等院校理工類和經(jīng)管類專業(yè)的數(shù)學基礎課程. 關于該課程的改革、教學方法等研究受到了學者們的普遍關注［1－2］. 隨著大學課程在線學習平臺和信息化教學手段的廣泛發(fā)展和取得的良好教學效果，有學者針對已上線的線性代數(shù)在線開放課程予以介紹［3］，也有對課前以在線學習引領線性代數(shù)課堂教學的混合式教學的研究［4］， 以計算思維驅動線性代數(shù)的現(xiàn)代教學和課程改革的研究［5］，以及線性代數(shù)課程中可視化教學案例的研究［6］等，但對基于在線學習平臺的線性代數(shù)課程混合式教學的具體教學設計與實施的研究尚未見到.

在傳統(tǒng)授課模式下，線性代數(shù)課堂教學存在一些難以逾越的困境. 例如，在一個約60 人的授課班級里，學生的數(shù)學學習基礎存在著明顯的差異，認知水平、理解能力和學習習慣都有較大的不同，教師很難顧及到每一個學生的學習狀況，導致有些學生“吃不飽”，有些學生“吃不著”，教學效果難以達到理想的水平. 另外，大學數(shù)學基礎課程普遍進度快、坡度大、概念強，外延知識較多［7］，僅憑借課堂教師的教學，難以最大程度地傳授知識. 因此針對類似線性代數(shù)的課程，在線開放平臺的利用和線上線下多種混合教學渠道將有利于解決教學活動中規(guī)?；c個性化之間的矛盾，并提供課前、課中和課后多種教學形態(tài)，滿足不同學習程度學生的需要.

鑒于利用在線學習平臺的教學與傳統(tǒng)意義上的教學在教學過程、教學方法和師生互動等方面存在明顯差異，作為一線教師如何最大程度地利用好信息化手段服務教學，教學設計方案的制定和實施就顯得尤為重要. 本文將從學情與教材分析、課前、課中、課后和教學反思5 個方面來制定和實施基于在線學習平臺的線性代數(shù)課程線上線下混合式教學設計方案.

1 《線性代數(shù)》課程混合式教學的設計與實施

1.1 學情與教材分析

在線學習平臺的真正價值在于輔助課堂教學并實現(xiàn)原有的教學手段難以達到甚至達不到的教學效果.因此，線性代數(shù)的教學設計須先進行學情分析和教材分析.

1.1.1 學情分析

《線性代數(shù)》課程教學對象為大學一年級非數(shù)學專業(yè)理工科學生，他們有強烈的好奇心、認知的敏銳性，具備一定的自學能力和對基本概念的理解能力，但仍欠缺大學數(shù)學學習的邏輯思維能力和深入分析問題的能力. 因此，針對各節(jié)教學內容，教師可借助學生已有的知識經(jīng)驗幫助其理解概念. 為了增強學生的求知欲，教師在教學中可創(chuàng)設富有挑戰(zhàn)性、新穎有趣的數(shù)學問題，并以微課和網(wǎng)上答疑的形式給出解決該問題的思路和方法.

針對學情，教師要“身臨其境”為學生著想，基于線性代數(shù)課程分析如何從學生角度出發(fā)，如何調動學生學習的主動性，充分利用在線開放課程獲得更多知識； 巧設教學內容，“知行合一”探索教學設計改革； 通過上一章節(jié)作業(yè)的在線反饋數(shù)據(jù)，精確地了解學生對上一節(jié)課學習內容的掌握情況等.

1.1.2 教材分析

教材在線性代數(shù)課程的教學中有很重要的作用，在線性代數(shù)課程混合式教學設計中，教師要認真分析和研究、理解和掌握教材內容，進而靈活地運用、組織和處理教材，合理地劃分線上和線下教學內容. 首先，教師應充分分析教材中知識發(fā)生的前因后果，例如“行列式”一節(jié)引入二階和三階行列式，是以加強與中學數(shù)學內容的銜接為目的； 又如先引進矩陣的初等變換和秩的概念，藉此建立線性方程組有唯一解和無窮多解的充要條件，解決線性方程組的求解問題. 其次，教師通過教材內容的結構分析，確定教學中需發(fā)布在平臺用于引入課程的材料，從而建立合理的課程結構并確定重難點. 例如“向量的正交性”一節(jié)共涉及4 個重要知識點：標準正交基、施密特正交化方法、正交矩陣和正交變換. 教學重點是標準正交基的概念和應用，教學難點是施密特正交化方法的推導過程. 通過分析教材，確定該節(jié)課程的結構：基本概念可以放在課前導學預習中，利用導學案或微課的形式線上推送； 教材中關于施密特正交化的幾何展示可在課中用多媒體演示，這更利于學生形象理解； 由于時間有限，教材中關于施瓦茨不等式的證明可留作課后練習并以網(wǎng)上推送證明過程的方式解答； 關于標準正交基有何優(yōu)勢可作為開放性思考題在課后以微課的形式展示并留言互動.

針對教材，教師要分析本節(jié)教材的哪些內容適合設計為在線開放課程的預習微課，哪些內容適合情景創(chuàng)設教學，哪些內容適合課后討論型微課，哪些內容可以推送給學生作為課外學習資源等.

在學情與教材分析環(huán)節(jié)，教師通過深挖教材，以培養(yǎng)學生能力為目標，確定課程的教學目標、完成課程所需的學時以及設計課程結構和學習活動來整合線上線下學習，從而促成教學目標的實現(xiàn).

1.2 課前導學預習

在線學習平臺是利用信息化手段開發(fā)的教學資源，可供學生在線觀看和學習. 針對線性代數(shù)課前導學預習部分， 學生可在線閱覽教學資源，完成課前測試（多數(shù)章節(jié)配有導學案或知識點微課供學生課前觀看，生動易懂，便于理解）. 根據(jù)上一節(jié)課后作業(yè)的完成情況，教師可適時調整課前預習內容，合理應用技術以促進學生學習.

例1“矩陣的運算”一節(jié)的課前導學案見表1.

表1 矩陣與行列式的區(qū)別

例2“向量的正交性”一節(jié)的課前教學設計要點如下.

第一部分以微課的形式介紹解析幾何中內積的概念、性質以及由此內積定義的長度、角度，啟發(fā)學生能否將此內積性質抽象化，得到數(shù)學上一般的內積概念的定義. 第二部分以線上導學案的形式給出本節(jié)基礎知識點的總結，具體見表2.

表2 “向量的正交性”導學案

在課前環(huán)節(jié)，學生通過導學預習本節(jié)學習內容并檢測認知水平； 教師通過線上反饋掌握學生學習情況，為高效的課堂教學奠定基礎.

1.3 課中探究學習、實時檢測

教師在授課過程中可借助線上信息化教學資源讓教學內容直觀化、動態(tài)化和多元化，這有助于學生領會教學內容. 根據(jù)課程特點，線性代數(shù)教學中常見的信息化教學資源有：動畫（二維或三維）、在線資源庫、思維導圖、線上實時檢測試卷和二維碼實時互動等. 在具體的制定和實施課中教學設計時，要注意設計的內容和形式是為了更好地解決當下的教學問題，改善教學效果.

例3“向量的正交性”一節(jié)的課中教學設計要點如下.

1）在學生課前線上預習的基礎上，教師要著重強調數(shù)學上向量內積的一般定義. 在講解定義的過程中強調內積是一個二元實函數(shù)，2 個向量作內積的結果是實數(shù)，不再是向量. 內積的正定性常常用于證明一個向量是零向量.

2）給出施瓦茨不等式，證明留作課后微課擴展學習.

3）動畫演示向量的正交性和線性相關性之間的關系.

4）給出標準正交基的定義，結合定義給出判斷標準正交基的充要條件，即設n維向量e1，e2，…，er是向量空間V（?Rn）的一個基，則e1，e2，…，er是V的一個標準正交基的充分必要條件是

注意結合幾何圖形演示：三維幾何空間中的基就是坐標系的坐標向量，標準正交基就是直角坐標系的坐標向量.

5）請同學們思考為什么在給向量空間取基時常常要取標準正交基，即標準正交基有何優(yōu)勢？ 針對這一思考題，學生課后可在充分自主探究后觀看線上微課.

6）幾何圖形演示二維和三維空間中的施密特正交化方法（如圖1 和圖2 所示），易于學生理解和記憶［8］.

7）板書講解例題，有助于學生領悟解題過程和掌握解題技巧.

8）講解正交矩陣和正交變換的定義和性質，關于正交矩陣和正交變換的擴展內容可留作課后線上閱讀材料.

9）本節(jié)涉及的知識點較多， 課上可借助思維導圖總結，如圖3 所示.

10）借助線上教學工具設計練習題，題型為選擇題或填空題，用于實時檢測本節(jié)學習內容，學生可借助電子終端設備作答，具體題目見表3.

在課中環(huán)節(jié)，教師充分利用線上可視化教學手段設計該節(jié)教學內容，可有效地幫助學生梳理線性代數(shù)中的數(shù)學概念、理解推導過程和建立數(shù)學模型應用等.

圖1 二維空間中的施密特正交化方法

圖2 三維空間中的施密特正交化方法

圖3 “向量的正交性”一節(jié)思維導圖總結

1.4 課后微課輔導、答疑互動、批閱作業(yè)

在線開放課程為課后閱讀、釋疑和擴展訓練帶來了豐富的交流渠道，由單一的線下交流變?yōu)榫€上、線下多途徑交流，這為學生提供了更多的互助溝通的機會，提高了學生的表達能力和分析解決數(shù)學問題的能力. 鑒于線性代數(shù)中各章節(jié)的關聯(lián)性較強，學生還可利用線上工具自主完成一節(jié)或一章內容的意義建構，他們在整合知識、充分思考后更樂于觀看和參與微課討論活動. 同時，信息技術成為學生主動學習的資源收集、建構以及分析的工具，例如基于Maple T.A.系統(tǒng)的在線進階測試，可以引導學生進行循序漸進的學習，前一環(huán)節(jié)的測試完成才可進入下一環(huán)節(jié)的測試，這有利于強化學生的薄弱環(huán)節(jié)［8］.根據(jù)線性代數(shù)各章節(jié)涉及的相關領域的發(fā)展背景，課后可增加前沿領域的相關介紹和聯(lián)系生活實際的數(shù)學問題，使學生具有較寬的數(shù)學知識面.

表3 “向量的正交性”課堂在線練習題

例4“矩陣的運算”一節(jié)課后線上題目如下.

假設某只股票的行情有3 種狀態(tài)：漲、跌、停， 如果這只股票今天跌，則明天漲的概率為1／2，跌的概率為1／4，停的概率也為1／4. 如果這只股票今天漲或停，則明天行情會出現(xiàn)另外的概率，如表4 所示.

表4 股票行情分析

我們將這些概率排成一個矩陣，設

已知這只股票今天漲、跌、停的概率可寫為

請問這只股票明天漲、跌、停的概率是多少？

該題目通過將矩陣乘法運算應用在預測股票行情的實際問題上，進而培養(yǎng)學生利用數(shù)學模型解決生活實際問題的能力.

例5“向量的正交性”一節(jié)的課后教學設計要點如下.

1）創(chuàng)設思考題.為什么我們在給向量空間取基時常常取標準正交基？ 即標準正交基有何優(yōu)勢？ 設計微課內容：首先，教師針對研究該問題所需的基礎知識進行復習回顧.其次，逐步探討標準正交基的優(yōu)勢，盡可能詳盡地為學生展示推導過程，并給學生預留分析的空間.再次，用通俗易懂的語言對標準正交基的優(yōu)勢進行小結：在標準正交基下一個向量的坐標可由內積得出； 在標準正交基下計算2 個向量的內積最簡單，進而計算向量的長度、2 個向量的距離等度量性質也簡單； 由標準正交基到標準正交基的過渡矩陣有特殊形式，是正交矩陣.最后針對這一開放性問題提出：若同學們找到更多的優(yōu)勢可以留言互動.

2）線上閱讀材料.材料1：歐式空間V 中的正交變換只包含：旋轉、反射以及旋轉加反射的組合（即瑕旋轉），分別對這3 種幾何直觀予以介紹； 材料2：正交矩陣的一些性質和證明； 材料3：施瓦茨不等式的證明.

3）除了書本習題作業(yè)以外，線上創(chuàng)設有一定難度的題目.如：“一組向量α1，α2，…，αn的格拉姆行列式是這組向量的關于內積的對稱矩陣的行列式，即

設α1，α2，…，αn是向量空間V 的一個線性無關向量組，β1，β2，…，βn是由α1，α2，…，αn通過施密特正交化所得的向量，證明這2 個向量組的格拉姆行列式相等.”

在課后環(huán)節(jié)，教師充分利用在線學習平臺投放閱讀材料，以彌補學有余地的學生課上知識量獲取的不足. 錄制的教學微視頻有助于學生完成知識整合，引導學生將知識碎片有效聚合，形成系統(tǒng). 創(chuàng)設的思考題有助于激發(fā)學生的學習興趣，從而提高他們的自我效能感.

1.5 教學反思

因為基于在線開放課程的線性代數(shù)課程混合教學模式的開展還處于探索階段，所以教學設計中有必要通過教學反思部分審視教學環(huán)節(jié)的合理性和必要性，從而不斷地調整教學內容、改進教學手段和創(chuàng)新教學模式.

例6 “向量的正交性”一節(jié)的教學反思如下.

課前線上微課和導學案的預習有助于培養(yǎng)學生自主探究的能力，也節(jié)省課時. 課中利用線上多媒體直觀性展示說明性質、定理和方法的推導過程，使課堂教學變得生動、形象. 課后自主探究開放性思考題，可發(fā)揮微課補充課堂教學的作用，也體現(xiàn)基于問題解決的課程設置理念［9］，學生在充分思考后更樂于觀看和參與微課. 總之，制定此教學設計的初衷是讓學生獲得愉快的學習體驗，增強學習的信心，通過這種“線上＋線下”混合教學的模式改變知識單向傳遞的弊端，極大地發(fā)揮了學生學習的主體地位.

在一節(jié)課的教學反思環(huán)節(jié)，教師應本著實事求是的原則，總結優(yōu)勢和不足，進而引導和啟發(fā)后續(xù)章節(jié)教學的設計和實施.

2 結語

應用信息技術變革教學方式、制定符合實際需要的教學設計是一個漫長而艱辛的進程，教學中通過調整課程結構、提供多種課堂形態(tài)、鼓勵任課教師積極學習和掌握多媒體技術以適應快速發(fā)展的教育教學方式.教學關涉師生的成長，課堂不能為了迎合技術而應用技術，而是合理應用技術以促進學生學習，只有教師恰當?shù)剡\用技術和精心地設計教學，才能夠達到線上與線下相輔相成和相互交融，從而提高教學質量和教學效率. 本文僅針對線性代數(shù)課程的教學內容并選取有代表性的章節(jié)進行教學設計，希望通過該教學設計的闡述，啟發(fā)教師更多地將線上線下混合式教學的設計方法、理念應用到其他課程中.

總之，線上學習平臺的引入并不代表教師為了最大化應用信息技術而丟失最基礎的教學設計環(huán)節(jié). 恰恰相反，由于混合教學模式的運用給教師的教學設計帶來了更多的創(chuàng)新和挑戰(zhàn)，教師應整合教學內容，重視每一節(jié)的教學設計，有的放矢地應用信息技術、創(chuàng)新教學模式，從而達到更好的教學效果.