管小冬
《分數(shù)除以分數(shù)》一課的教學中,在呈現(xiàn)教材例題(如下圖),學生閱讀、分析并列出算式后,我請他們先獨立思考,再在小組中交流。隨后進行的全班交流中,大家一起梳理出了三種代表性方法:1.化為小數(shù)后計算;2.用分母除以分母的商作分母,分子除以分子的商作分子;3.將除以改為乘它的倒數(shù)。接著,大家又在更大范圍內分析、思考這些方法的適用性,進而發(fā)現(xiàn)前兩種方法均有一定的局限,方法3 則普遍適用。由此,學生總結出分數(shù)除法的計算方法——“除以一個數(shù)(0 除外),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”。
一節(jié)課下來,頗有些酣暢淋漓的感覺。原因有二:一是學生呈現(xiàn)了多種個性化算法。這表明即使在面對單純的計算問題時,他們也能積極從自身的知識、經驗出發(fā),思考解決問題的方法,思維趨于開放狀態(tài)。二是在算法優(yōu)化環(huán)節(jié),學生并未輕易否定與書本不同的方法,而是深入分析了各種方法的適用范圍,展現(xiàn)出他們分析問題時的審慎態(tài)度與思維的全面性。
欣喜之余,我習慣性地開始思考,課堂之中有哪些環(huán)節(jié)還可以處理得更好?在學生的生成中,是否還有些“靈光”未能被我及時捕捉?
盤點中,我的目光漸漸聚焦于一位學生提出的方法二——“用分母除以分母的商作分母,分子除以分子的商作分子”,她的靈感來自于分數(shù)乘法的計算方法。
初始,大家對她的方法是驚訝且欣喜的,她的臉上也洋溢著自豪。我想,這種驚訝、欣喜、自豪,可能源于他們其實已經知道了分數(shù)除以分數(shù)的“正規(guī)算法”,而又突然發(fā)現(xiàn)“分數(shù)除法竟然還可以這樣算!”隨后,經過進一步的嘗試、對比和分析,當發(fā)現(xiàn)這種方法的“局限”而又重歸“正規(guī)算法”時,大家又是平靜的?,F(xiàn)在回想起來,在這種平靜之中,他們似乎在對我、對這位學生、對他們自己說,“瞧,最后還得這樣吧!”
是的,縱觀整節(jié)課,雖說有學生的生成、碰撞、辨析與精彩,但作為組織者與引導者的我,一直都堅定地帶領他們從算法多樣化,經由算法優(yōu)化,最終走向算法一致化。而這,也是當下計算課堂的經典招式。因為,在我們的潛意識中,理解算理、掌握算法仍是計算課最重要的教學目標。還因為我們很清楚,學生個性化的算法,終究是敵不過教材呈現(xiàn)的那歷經人類千百年智慧凝練而成的算法的。所以,雖然我們始終在倡導算法多樣化,但其實只是將之作為通向“正規(guī)算法”路途中的點綴而已。
但對學生而言,重要的恰恰卻是那些屬于他們自己的算法。因為最終的“正規(guī)算法”可能早已經由書本、成人向他們傳遞,而這些屬于他們自己的個性化算法往往卻是他們經驗的匯聚、靈感的萌發(fā)。我想,帶領他們緊抓住自己的靈感,持續(xù)深入地思考下去,進而獲得屬于自己的解決問題的方法,感受數(shù)學學習、研究的樂趣,應該要遠比掌握一個“正規(guī)算法”重要得多。因為,數(shù)學學習的目的,不止于基礎知識與基本技能,更為重要的是帶領他們學會思考,特別是長時間的思考。
基于以上想法,我對這部分內容的教學做了如下改進與補充。
首先,在課堂的總結與回顧環(huán)節(jié),引導學生思考:針對方法二的局限性——只適用于被除數(shù)的分子、分母分別都是除數(shù)的分子、分母的倍數(shù)這一情況,我們能否想辦法化解,使之也能普遍適用。之所以放在總結與回顧環(huán)節(jié),是因為分數(shù)除法的計算方法是學生后續(xù)探究分數(shù)其他相關問題重要的基礎知識與基本技能,對個性化算法的繼續(xù)探究應建立在學生理解算理、掌握算法的基礎之上。同時,這樣的安排也使得在課末,對“分數(shù)除法可以怎樣算?”這一問題的探究,不因“正規(guī)算法”的歸納得出畫上句號,而是給學生留下了進一步思考與探索的空間,促使其根據問題的癥結所在,充分調動自身已有的知識與經驗,探尋解決問題的方法,并在此過程中進一步增強知識間的聯(lián)系與融通,達成對分數(shù)及分數(shù)運算的深度理解。
其次,將對方法二的研究作為學生近期數(shù)學研究的小課題,持續(xù)關注學生的研究進展,協(xié)助其解決研究中的疑難,組織開展交流討論活動。事實上,學生的后續(xù)研究也確實給大家?guī)聿簧袤@喜。有些方法甚至脫離了方法二的思路,真正是“條條大路通羅馬”“給我一個舞臺,還你一片精彩”!
現(xiàn)將部分學生的方法摘錄如下。
最后,組織學生對相應方法進行適當歸納、提煉。如對方法A,引導學生理解要求,即是求,根據分數(shù)乘法計算法則,有。顯然,被除數(shù)是除數(shù)與商的分子分母分別相乘并約分后的結果。由此理解“用分母除以分母的商作分母,分子除以分子的商作分子”這一算法的合理性。同時,引導學生進一步細化分析,即,發(fā)現(xiàn)雖然思路不同,計算途徑迥異,但最終仍可歸納提煉為“除以一個數(shù)(0 除外),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”,進而理解教材呈現(xiàn)的“正規(guī)算法”其實是建立在多種不同算法基礎上的最優(yōu)化、最簡潔的數(shù)學表達,并獲得算理的多元理解與算法的深度掌握。
在此基礎上,就算法優(yōu)化后,如何更進一步,讓我們的計算教學更好地由“方法的統(tǒng)一”和過于“注重計算技能”轉變?yōu)椤白鹬貙W生的思維特點、重視學生思維能力的培養(yǎng)”,我總結出以下幾點建議,與大家交流。
將對個性化算法的持續(xù)、深入研究放置于算法優(yōu)化后,主要基于三個方面的考慮。首先,在計算新授課中,我們往往需要在四十分鐘內帶領學生完成算理理解、算法掌握及鞏固等任務。而學生的個性化算法往往源自其自身知識、經驗基礎上的獨特思考,有些在短時間內可辨析清楚,有些需要較長時間的思考與理解,有些甚至短期內無法解決。其次,依據心理學的“首因效應”——“當不同的信息結合在一起時,人們總是傾向于重視前面的信息”,我們應首先促成學生對“正規(guī)算法”算理的理解和算法的掌握。最后,這樣的安排可以使學生認識到,算法的得出并不意味著研究的結束,后續(xù)持續(xù)深入的研究仍會有新理解、新發(fā)現(xiàn)。這也有利于培養(yǎng)、發(fā)展學生“長時間思考”的習慣與能力。
算法優(yōu)化后的持續(xù)探討,研究內容往往是課上暫時擱置的學生一些極具個性化的想法,或是在理解、掌握“正規(guī)算法”過程中引發(fā)的另類思考。這些想法的產生或基于經驗,或源自直覺,或初具理性。研究中,思路的梳理、方法的轉換、難點的突破、最終的表達都需要學生具備較高的分析、推理、判斷與決策能力,其間的困難不言而喻。而教師的適時參與與適度點撥,往往會使學生由“山窮水盡”到“柳暗花明”,從而完整經歷數(shù)學研究的全過程,并增添勇氣,增強攻堅克難意識,不斷樹立學好數(shù)學的信心。如上述教學中,交流方法A 后,教師適度點撥,“除了分數(shù)的基本性質,想想,還有哪些我們學過的知識可能對計算分數(shù)除法有幫助呢?由此,你能找到新思路、新方法嗎?”正是這樣的追問,促使學生不斷開闊思路,進而催生出之后呈現(xiàn)的更多方法。
基于小學生的思維特點、教材編排,我們的教學通常會將算法的研究放置于具體情境中進行,從而借助具體事件、直觀模型幫助學生理解算理、掌握算法。但我們應明白,培養(yǎng)、發(fā)展學生的抽象思維與邏輯推理能力是數(shù)學教學的必然追求,且“很多數(shù)學知識其實都是數(shù)學內部抽象與演繹的結果”。因此,算法優(yōu)化后的持續(xù)研究,可適當增加形式思維的比重,有意識地引導學生從具體直觀向形式抽象過渡,進而達成對數(shù)學知識形式化、結構化的理解,獲得數(shù)學思維能力的逐步提升。如上述教學中,引導學生借助已有知識將分數(shù)除法轉化為除數(shù)是整數(shù)的除法,乃至除數(shù)是1 的除法,都是培養(yǎng)、發(fā)展學生抽象思維與推理能力的一次有益嘗試。
最后,需要特別指出的是,“算法是指解題方案的準確而完整的描述,是一系列解決問題的清晰指令,代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問題的策略機制?!币虼?,對算法優(yōu)化后如何更進一步的探討,可從計算教學延伸至更大范圍,并借此推動學生數(shù)學學習能力,特別是長時間思考與系統(tǒng)思考能力的提升。