雷經(jīng)發(fā)，何玉，張淼，孫虹，李永玲

(1.安徽建筑大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.安徽省工程機(jī)械智能制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230601；3.過(guò)程裝備與控制工程四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 自貢 643000)

0 引言

近年來(lái)，三維激光掃描技術(shù)得到了快速發(fā)展，它對(duì)物體的三維模型重建起到了巨大的作用，提高了目標(biāo)物體的三維模型重建的效率，而三維激光掃描技術(shù)得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行建模[1]成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的問(wèn)題。

平面特征是機(jī)械零部件中最為常見(jiàn)的輪廓特征之一，利用一系列方法對(duì)相關(guān)機(jī)械零件點(diǎn)云數(shù)據(jù)來(lái)提取平面特征，其中在大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)中得到所需要的平面特征采取的方法有最小二乘法[2]、隨機(jī)抽樣一致性法[3-4]等。點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合過(guò)程中，如果只考慮觀測(cè)向量的誤差，可采用最小二乘法獲取參數(shù)。但是由于儀器精度、人為因素以及遮擋物等各種因素，掃描儀得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)往往存在噪聲點(diǎn)甚至是離群點(diǎn)，噪聲點(diǎn)指基本符合理論平面方程或有較小誤差的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，而離群點(diǎn)則指偏移較大的點(diǎn)云數(shù)據(jù)。隨后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)加權(quán)最小二乘法進(jìn)行深入研究[5-7]，其方法可以減小干擾點(diǎn)影響，并且用于點(diǎn)云平面擬合[8-9]。由于部分零部件點(diǎn)云數(shù)據(jù)中存在大量干擾點(diǎn)，隨機(jī)抽樣一致性算法可以在大量點(diǎn)云數(shù)據(jù)中分割得到平面特征。雖然國(guó)內(nèi)外對(duì)最小二乘法[10]、加權(quán)最小二乘法、隨機(jī)抽樣一致性算法[11-13]做了大量的研究，但是，這三種方法的擬合精度存在差異，缺少對(duì)于平面擬合效果的對(duì)比研究。針對(duì)這一問(wèn)題，本文通過(guò)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比這三種方法的精度，該研究對(duì)物體重建、逆向建模等具有重要的意義。

1 最小二乘法平面擬合

最小二乘法平面擬合主要是通過(guò)已知點(diǎn)云數(shù)據(jù)的坐標(biāo)值xi、yi、zi來(lái)擬合平面，利用xi、yi擬合得到的函數(shù)值? 與實(shí)際值z(mì)i之差的平方最小。根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi,zi)(i = 1,2,…,n)，將平面方程記為f( x,y )= pΤ( x,y )A，AΤ=( a,b,c )是平面方程的系數(shù)，其中PΤ是該平面方程的基函數(shù)，其中本文取pΤi=( xi,yi,1 )。

由最小二乘法的定義可得：

為使J( )A 中對(duì)平面方程的系數(shù)最小的結(jié)果，可將公式(1)改為：

為了求出上式的解，定義

2 加權(quán)最小二乘法平面擬合

2.1 權(quán)函數(shù)

在平面擬合過(guò)程中，點(diǎn)云數(shù)據(jù)中經(jīng)常會(huì)有大量的噪聲點(diǎn)和離群點(diǎn)。加權(quán)最小二乘的原理為：點(diǎn)云數(shù)據(jù)中每個(gè)樣本點(diǎn)都有不同大小的偏差，對(duì)不同的樣本點(diǎn)賦予不同的權(quán)重，其中偏差大的樣本點(diǎn)權(quán)重小，偏差小的樣本點(diǎn)權(quán)重大，這樣可以避免一些異常點(diǎn)在平面擬合過(guò)程中造成平面擬合精度較低的問(wèn)題。其中權(quán)函數(shù)w( x,y )在加權(quán)最小二乘法中起著非常重要的作用。由于權(quán)函數(shù)種類繁多，例如‘fair’、‘cauchy’、‘logistic’分 別 為 w( x,y )=1./( 1 + abs( r ))、w( x,y )= 1./(1 + r.^2)、w( x,y )=tanh(r)./r，其中r = uh(x,y)- u(x,y)，由于三種權(quán)函數(shù)效果基本差距不大，本文中選用‘cauchy’權(quán)函數(shù)。

2.2 加權(quán)最小二乘法數(shù)學(xué)模型

定義在某一區(qū)域Ω 的函數(shù)為u(x,y)，且函數(shù)u(x,y)在該區(qū)域Ω 內(nèi)存在n 個(gè)點(diǎn)，取函數(shù)

為函數(shù)u(x,y)的逼近函數(shù)。然而pTi=(xi,yi,1)是基函數(shù)，其中m 是其基函數(shù)的個(gè)數(shù)，a(x,y)是函數(shù)u(x,y)中對(duì)應(yīng)的系數(shù)。

其中系數(shù)ae(x,y)為使下面定義的函數(shù)取得極小值。

上式中w(xi,yi)是具有減小平面擬合誤差的權(quán)函數(shù)，為了求出上式的解，定義

其中矩陣A(x,y)和B(x,y)為：

A(x,y)= PTw(x,y)P

B(x,y)= PTw(x,y)

由(6)式可求得a(x,y)。

3 隨機(jī)抽樣一致性算法(RANSAC)

RANSAC 算法原理為：進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)分處理。首先針對(duì)一個(gè)具體的問(wèn)題設(shè)計(jì)判斷規(guī)則，利用其判斷規(guī)則來(lái)剔除不符合規(guī)則的數(shù)據(jù)，然后通過(guò)輸入符合規(guī)則的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)參數(shù)。

隨機(jī)抽樣一致性算法的參數(shù)估計(jì)要求在一定概率下，基本子集最小抽樣數(shù)k 與至少獲得一個(gè)良性子集的概率P 滿足相應(yīng)的關(guān)系為：

其中，w 是模型內(nèi)點(diǎn)的比例；n 為計(jì)算模型參數(shù)最小數(shù)據(jù)量是3；P 的取值一般在0.95-0.99。

RANSAC 算法是一種穩(wěn)健的參數(shù)估計(jì)算法，可采用此算法進(jìn)行平面擬合的過(guò)程如下：

(2)選取合理的閾值t，如果di≤t 就被認(rèn)為是平面內(nèi)點(diǎn)，得出此平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)N；

(3)然后重復(fù)以上步驟m 次，比較選擇內(nèi)點(diǎn)最多的平面。

4 實(shí)驗(yàn)分析

4.1 仿真數(shù)據(jù)

根據(jù)點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面方程z = 0.707x + 0.707y +1，利用matlab 隨機(jī)從此平面選取500 個(gè)點(diǎn)，利用matlab 中rand 函數(shù)隨機(jī)改變部分點(diǎn)的z 坐標(biāo)值，使其坐標(biāo)值z(mì) 在原來(lái)幅值基礎(chǔ)上(-5，5)范圍內(nèi)隨機(jī)改變，從而引入噪聲點(diǎn)，隨機(jī)選擇部分點(diǎn)使其z 原來(lái)坐標(biāo)值幅值上增加20，從而引入離群點(diǎn)，然后分別使用最小二乘法(LS)、加權(quán)最小二乘法(WLS)、隨機(jī)抽樣一致性算法(RANSAC)對(duì)上述點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，其中把平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)N 作為平面擬合精度的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多時(shí)，說(shuō)明算法效果越好。其中為了得到統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)?shù)匕验撝翟O(shè)為0.01 和隨機(jī)抽樣一致性算法中重復(fù)步驟m 設(shè)為1000。通過(guò)選取適當(dāng)?shù)脑肼朁c(diǎn)或者離群點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證不同算法的效果，通過(guò)各種算法擬合平面的相應(yīng)參數(shù)和平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)N 如表所示。

由表1 可得，點(diǎn)云數(shù)據(jù)中僅存在噪聲點(diǎn)時(shí)，隨機(jī)抽樣一致性算法中平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，且個(gè)數(shù)為除噪聲點(diǎn)外都為內(nèi)點(diǎn)，加權(quán)最小二乘法的個(gè)數(shù)次之，最小二乘法的個(gè)數(shù)最少，由此得最小二乘法擬合效果不好，加權(quán)最小二乘法和隨機(jī)抽樣一致性算法都可以擬合較好的參數(shù)，其中隨機(jī)抽樣一致性算法精度最高；由表2 可得，點(diǎn)云數(shù)據(jù)僅存在離群點(diǎn)時(shí)，最小二乘法中平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)較少，加權(quán)最小二乘法和隨機(jī)抽樣一致性算法中內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)依次增多，由此得最小二乘法效果較差，隨機(jī)抽樣一致性算法比加權(quán)最小二乘法精度要高；由表3 可得，點(diǎn)云數(shù)據(jù)中同時(shí)存在噪聲點(diǎn)和離群點(diǎn)時(shí)，利用LS 方法擬合的平面系數(shù)中出現(xiàn)較大偏差，是因?yàn)楦蓴_點(diǎn)的影響較大，最小二乘法中內(nèi)點(diǎn)少，加權(quán)最小二乘法比最小二乘法中平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)多，隨機(jī)抽樣一致性算法中除噪聲點(diǎn)和離群點(diǎn)外都屬于內(nèi)點(diǎn)，由此得最小二乘和加權(quán)最小二乘擬合效果較差，而隨機(jī)抽樣一致性算法比較穩(wěn)定。

表1 點(diǎn)云加20個(gè)噪聲點(diǎn)且閾值為0.01的擬和參數(shù)及個(gè)數(shù)

表2 點(diǎn)云加5個(gè)離群點(diǎn)且閾值為0.01的擬和參數(shù)及個(gè)數(shù)

表3 點(diǎn)云加20個(gè)噪聲點(diǎn)和10個(gè)離群點(diǎn)且閾值為0.01的擬和參數(shù)及個(gè)數(shù)

4.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

為進(jìn)一步驗(yàn)證隨機(jī)抽樣一致性算法的抗干擾性，采用3D 線激光傳感器ECCO95.100 獲取點(diǎn)云數(shù)據(jù)，掃描的對(duì)象為斜墊鐵的傾斜面。由于利用3D 線激光傳感器得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)較多，可以先利用點(diǎn)云降采樣，其中點(diǎn)云降采樣為利用MATLAB中點(diǎn)云函數(shù)來(lái)百分比的降低原始點(diǎn)云的數(shù)量，使其所測(cè)點(diǎn)云數(shù)據(jù)為1463 個(gè)，如圖1 所示。分別通過(guò)最小二乘法、加權(quán)最小二乘法、隨機(jī)抽樣一致性算法來(lái)擬合真實(shí)斜鐵傾斜面，其中隨機(jī)抽樣一致性算法中重復(fù)步驟為1000，然后設(shè)定統(tǒng)一的閾值為0.1來(lái)判斷算法的效果。

圖1 斜墊鐵點(diǎn)云降采樣數(shù)據(jù)

通過(guò)表4 可得，最小二乘法和加權(quán)最小二乘法中平面內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)較少，而隨機(jī)抽樣一致性算法中內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)較多，故隨機(jī)抽樣一致性算法擬合平面比最小二乘法和加權(quán)最小二乘法抗干擾性更好，且精度最高。

表4 三種方法擬合參數(shù)及內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)

通過(guò)上述仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)可以得到當(dāng)點(diǎn)云數(shù)據(jù)中存在噪聲點(diǎn)、離群點(diǎn)和兩者都有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，最小二乘法由于利用所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)去擬和平面，在文中添加干擾點(diǎn)進(jìn)行算法擬合平面系數(shù)過(guò)程中干擾點(diǎn)影響算法效果，得到的平面擬合參數(shù)精度不高；加權(quán)最小二乘法由于存在權(quán)函數(shù)，權(quán)函數(shù)使干擾點(diǎn)的權(quán)重減小，考慮到降低干擾點(diǎn)的影響，其算法擬和平面參數(shù)精度較最小二乘法高；隨機(jī)抽樣一致性算法中找出內(nèi)點(diǎn)最多的平面，干擾點(diǎn)比例小的環(huán)境下大概率可以避免干擾點(diǎn)的影響，所以該算法在三種算法中擬合平面參數(shù)精度最高。

5 結(jié)論

本文詳細(xì)闡述了三種點(diǎn)云擬合平面算法，根據(jù)在不同實(shí)驗(yàn)環(huán)境下來(lái)具體擬合平面參數(shù)從而求得內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)。然后，通過(guò)編制的MATLAB 算法對(duì)模擬的點(diǎn)云數(shù)據(jù)和斜鐵傾斜面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，把內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)作為擬和效果的指標(biāo)，分析結(jié)果表明：本文三種算法均可以進(jìn)行平面擬合得到平面系數(shù)，且在干擾點(diǎn)數(shù)量少和影響較小的情況下擬合的平面系數(shù)接近真實(shí)值，而在干擾點(diǎn)數(shù)量多和影響較大的情況下加權(quán)最小二乘法存在權(quán)函數(shù)降低干擾點(diǎn)權(quán)重比最小二乘法精度高，隨機(jī)抽樣一致性算法由于選取內(nèi)點(diǎn)最多的平面，從而剔除較多的干擾點(diǎn)影響，所以擬合平面參數(shù)精度最高。