秦江

【摘要】數(shù)學(xué)建模的認知與發(fā)展可劃分為四個階段：感知模型階段、 理解模型階段、構(gòu)建模型階段與遷移應(yīng)用模型階段。本文以均值不等式這一重要數(shù)學(xué)模型建構(gòu)為例，具體闡述了數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的必然聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 ? 均值不等式 ? 感知模型 ? 理解模型 ? 構(gòu)建模型

數(shù)學(xué)教學(xué)著眼于學(xué)生的終身發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程應(yīng)體現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。數(shù)學(xué)知識與方法的落腳點是什么？就是數(shù)學(xué)模型，因此數(shù)學(xué)建模教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)模型使得數(shù)學(xué)從理論回歸于現(xiàn)實背景，架起了數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實背景的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，從而也是我們數(shù)學(xué)教學(xué)實現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的重要渠道。

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，主要包括：在實際境遇中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果并改進模型，最終解決現(xiàn)實中的同類問題。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。數(shù)學(xué)建模問題應(yīng)貼近實際生活，有較強的趣味性、靈活性，能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，觸發(fā)不同層次、不同水平學(xué)生的創(chuàng)造性，使學(xué)生形成一定的實際經(jīng)驗和解決問題的能力。經(jīng)歷過程、體驗成功、感受經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界，也是學(xué)生核心素養(yǎng)獲取提升的重要渠道。

基于對數(shù)學(xué)建模的上述認識與多年的教學(xué)實踐，筆者認為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展可劃分為四個階段：感知模型階段、理解模型階段、構(gòu)建模型階段與遷移應(yīng)用模型階段。下面筆著以人教版<必修5>第三章《不等式》中均值不等式這一重要數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)為例，具體闡述數(shù)學(xué)建模與學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的必然聯(lián)系與教師的相應(yīng)處置策略。

一、感知模型階段——背景認識與數(shù)學(xué)聯(lián)想

感知模型階段是建模教學(xué)的初始階段，這一階段的目的是使學(xué)生感知現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)模型無處不在，在解決實際問題中感悟到數(shù)學(xué)模型的存在及其應(yīng)用價值，了解數(shù)學(xué)模型的含義及其功能。這一階段背景問題的設(shè)計或選用要求不宜過于隱蔽，也不易過于繁瑣，最好稍加分析就可以找到問題的數(shù)學(xué)背景，并能很輕松解決問題。此階段要求學(xué)生在了解簡單的的實際背景的基礎(chǔ)上，很快產(chǎn)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)聯(lián)想或數(shù)學(xué)描述，并對數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用有初步認識，因此，教師對背景問題的把控要適度，過度繁瑣或難于理解的的背景會傷害部分學(xué)生探究數(shù)學(xué)模型的積極性，從而產(chǎn)生畏懼心理，這對建模教學(xué)的后續(xù)推進極為不利。

評析：通過此例題的教與學(xué)，可以讓學(xué)生：（1）發(fā)現(xiàn)：用均值不等式解決“已知定積（或定和），求和（或積）的最小值（或最大值）”的問題，很方便簡潔。（2）感受：均值不等式的價值與意義。（3）注意：應(yīng)用均值不等式模型解決實際問題時應(yīng)注意“一正二定三相等”的要求。學(xué)生通過本例的學(xué)習(xí)，可以了解均值不等式的結(jié)構(gòu)與意義，初步體會建模過程中的數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)模型的重要性。

二、理解模型階段——背景理解與模型形成

這一階段的目的就是要求學(xué)生理解均值不等式模型的實際背景及其數(shù)學(xué)描述，其主要任務(wù)是：通過多個實際問題，讓學(xué)生體會均值不等式模型在解決實際問題中的價值與意義，理解模型的結(jié)構(gòu)特點與解決的問題類型。本階段所涉及的問題與第一階段一樣，也不宜過難，可以作為第一階段的鞏固與反復(fù)，但教師要及時關(guān)注學(xué)生的思維并及時引導(dǎo)或點評，迅速讓學(xué)生由被動性學(xué)習(xí)與模仿轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄啃匝芯俊?/p>

為了幫助學(xué)生理解均值不等式模型，教師可以利用人教版《必修5》P100頁練習(xí)以及習(xí)題3.4 中設(shè)計題組（共7個問題）：

例2.（1）x>0，當(dāng)x取什么值時，x+ ? ?的值最??？最小值是多少？

（2）已知直角三角形的面積等于50，兩條直角邊各為多少時，兩條直角邊的和最小，最小值是多少？

（3）用20cm長的鐵絲折成一個面積最大的矩形，應(yīng)當(dāng)怎樣折？

（4）做一個體積為32m3，高為2m的長方體紙盒，底面長與寬各取什么值時用紙最少？

（5）把36寫成兩個正數(shù)的積，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？

（6）把18寫成兩個正數(shù)的和，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最大？

（7）一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

評析：對這7個簡易問題的設(shè)置，對于學(xué)生初學(xué)均值不等式模型的結(jié)構(gòu)特點及其意義，起到循序漸進、由量變到質(zhì)變的作用，充分理解模型的意義，能夠利用數(shù)學(xué)語言表達模型，全方位理解模型并試圖解決實際問題，達到第二階段的目標(biāo)。

三、構(gòu)建模型階段——模型的形成與初步應(yīng)用

這一階段就是要求學(xué)生能夠在熟悉的現(xiàn)實背景與數(shù)學(xué)知識中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，抽象并建立數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，體會數(shù)學(xué)建模的過程。主要任務(wù)就是對相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實背景與數(shù)學(xué)知識進行數(shù)學(xué)抽象，構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型。這一階段的問題可以比第二階段有深度，但綜合性不宜過強，可以找一些經(jīng)典的建模案例，使學(xué)生充分感受其中的建模過程，經(jīng)歷失敗與成功，最終熟練掌握一定的有效方法。

在學(xué)生經(jīng)歷了對模型的理解階段之后， 怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)模型呢？細心閱讀課本，人教版《必修5》第三章《不等式》在習(xí)題3.4有兩個習(xí)題：第3題與第4題，可以作為均值不等式模型建構(gòu)的好案例。下面以第4題為例進行說明。

例3：某單位建造一間背面靠墻的小房，地面面積為12m2，房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋背面和地面的費用，問怎樣設(shè)計房屋，能使總造價最低，最低總造價是多少？

評析：當(dāng)學(xué)生理解了均值不等式這一數(shù)學(xué)模型之后，在本例中主動設(shè)兩個參數(shù)：地面的長a與寬b，那么本問題實際就是已知正數(shù)a、b滿足ab=12，求3a+4b的最小值，并能準(zhǔn)確的對等號成立的條件進行說明，就是在實際問題中構(gòu)建均值不等式模型解決問題，這對學(xué)生理解均值不等式又達到了一個新高度。在熟悉的情境中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，鼓勵學(xué)生主動構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并解決數(shù)學(xué)問題，充分理解均值不等式模型的價值和意義，使認識得到“升華”，這是第三階段的目標(biāo)。

四、遷移應(yīng)用模型階段——模型推廣與經(jīng)驗形成

遷移應(yīng)用模型階段是數(shù)學(xué)建模的最高層次，主要是在綜合情境中，運用數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系，并建立合理有效的數(shù)學(xué)情景轉(zhuǎn)換，從而對有效的數(shù)學(xué)模型實施有效的推廣，如在一些似乎與其不相關(guān)聯(lián)的情境中，找到相關(guān)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換，如在線性規(guī)劃中找到不等式模型，在立體幾何中找到方程模型，在概率中找到幾何模型等，是數(shù)學(xué)模型的綜合應(yīng)用。以均值不等式模型為例：

評析：例4與例5都是在綜合情境中運用數(shù)學(xué)思想和方法，發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系，構(gòu)造均值不等式模型解決最值問題的典型案例，這樣的案例很多，平時教學(xué)應(yīng)多留意。學(xué)生通過系列的建模及應(yīng)用訓(xùn)練，學(xué)生具備了一定的方法基礎(chǔ)，形成了一定的經(jīng)驗，在合適的情景下就自然具備解決問題的方向指引，解決問題的能力自然得到提升;獲取相應(yīng)的經(jīng)驗且影響終身，這就是學(xué)生核心素養(yǎng)的最大提升。

結(jié)束語

隨著課程改革的深入和不斷變革的高考，將來的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該朝重應(yīng)用、重能力的方向發(fā)展，愈加重視學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)重要的核心素養(yǎng)之一，對于如何提高學(xué)生的建模能力？筆者認為：（1）尊重學(xué)生的認識規(guī)律，循序漸進。對于數(shù)學(xué)模型，學(xué)生總是要經(jīng)過：感知模型階段、理解模型階段、構(gòu)建模型階段，最后再到遷移應(yīng)用模型階段。（2）作為教師，應(yīng)該深入專研教材，透徹理解教材，善于進行題組教學(xué)設(shè)計，教學(xué)時才能駕輕就熟，舉重若輕。循序漸進引導(dǎo)學(xué)生感受四個階段，鼓勵學(xué)生大膽聯(lián)想建模，師生共同經(jīng)歷成功與失敗，適時啟發(fā)學(xué)生模型的遷移與推廣，指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)相關(guān)的成功經(jīng)驗，學(xué)生深切感受數(shù)學(xué)的實用性價值。這是數(shù)學(xué)建模應(yīng)用教學(xué)過程中，作為教師不同階段的職責(zé)要求。均值不等式是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重要知識載體之一，本文以均值不等式為例，結(jié)合自己的長期教學(xué)實踐，借本文與讀者探討建模教學(xué)的最高境界，不妥之處懇請大家指正。

【參考文獻】

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