張振興

摘 要：研究了旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的辛約化問題，給出了辛約化下的相對平衡點(diǎn)及對應(yīng)的約化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng);辛約化;相對平衡點(diǎn)

一、背景介紹

旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)最初由[1]提出，它是一個(gè)帶有對稱的非線性的系統(tǒng)，并且其平衡點(diǎn)是非線性不穩(wěn)定的。關(guān)于這個(gè)問題的研究基本上是利用基于Lagrange力學(xué)的方法來研究其平衡點(diǎn)穩(wěn)定性問題和穩(wěn)定化問題，如[2]。由于Lagrange力學(xué)本身的特性，這些研究不能充分利用系統(tǒng)的對稱性。因此我們從Hamilton力學(xué)的角度出發(fā)，利用[3]中給出的辛約化理論，利用對稱性研究其約化問題。

本文利用正則辛點(diǎn)約化定理給出了旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的約化系統(tǒng)并證明了該約化系統(tǒng)具有兩個(gè)或者四個(gè)（根據(jù)約化時(shí)所選取動(dòng)量映射的正則值的不同而不同）平衡點(diǎn)。

二、旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的模型

旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)由一個(gè)平面擺及一個(gè)繞一豎直支撐桿旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)臂組成，擺的懸點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)臂的頂端，懸點(diǎn)處有一質(zhì)量M。擺所在的平面與長為R的旋轉(zhuǎn)臂正交。假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)只受到重力的作用，忽略摩擦力的作用（參見[1][2]）。

系統(tǒng)的位形空間為，我們用作為其上的局部坐標(biāo)，其中第一個(gè)因子θ表示擺與垂直向上方向的夾角，而第二個(gè)因子φ表示旋轉(zhuǎn)臂與某個(gè)固定垂直平面的夾角，如圖所示。此外，我們用作為動(dòng)量相空間的局部坐標(biāo)。系統(tǒng)的Hamilton函數(shù) 為

其中，

1.旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)相對平衡點(diǎn)的穩(wěn)定化

旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)具有一個(gè)對稱性，也即關(guān)于豎直支撐桿的旋轉(zhuǎn)。我們希望能約化掉這個(gè)對稱性從而得到旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的約化系統(tǒng)。

轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的相空間上具有典則的辛形式。李群通過映射作用于Q上。我們有S1-作用是自由且恰當(dāng)?shù)?。這一映射的余切提升為 。此作用也是自由恰當(dāng)?shù)牟⑶胰菰S一個(gè)-等變的動(dòng)量映射，其中是的李代數(shù)，是g的對偶。對任意的，由是交換群，。由正則辛點(diǎn)約化定理，我們有約化辛空間為，其中，其上的局部坐標(biāo)可用給出，約化辛形式為。

另一方面，我們有旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的Hamillton函數(shù)是上述S1-作用不變的。于是我們可以定義相關(guān)的約化Hamilton函數(shù)為，也即

下面我們來計(jì)算約化旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。計(jì)算可知約化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是如下方程組的解：

（1）

由上述第一個(gè)方程我們得到，代入第二個(gè)方

程，有.于是有θ=0，π或θi，i=1，2，其

中θi，i=1，2是方程

（2）

的根.注意到如果，則方程無解;若，方程有唯一解0;如果，則方程有兩個(gè)不同的解，記之為θ1和θ2。

（1）約化旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的總有兩個(gè)平衡點(diǎn)為

.

（2）當(dāng)時(shí)，約化系統(tǒng)有另外兩個(gè)平衡點(diǎn)和 ，其中θ1和θ2是方程（2）的解，

（3）相應(yīng)的，旋轉(zhuǎn)臂上擺系統(tǒng)的相對平衡點(diǎn)分別為

，

以及當(dāng)時(shí)存在的相對平衡點(diǎn)和，其中，是[0，2π]內(nèi)任意常數(shù).

參考文獻(xiàn)：

[1] K.J.?str?m and K.Furuta，Swinging up a pendulum by energy control，IFAC 13（San Francisco），1996.

[2] A.M.Bloch，N.E.Leonard，and J.E.Marsden，Stabilization of the pendulum on a rotor arm by the method of controlled Lagrangians，Proc.IEEE Int.Conf.Robotics and Automation，Detroit，MI，1999，pp.500-505.

[3] R.Abraham and J.E.Marsden，F(xiàn)oundations of mechanics，second ed.，AddisonWesley，Reading，MA，1978.