李斌

摘 要：不動點理論的出現(xiàn)推動了數(shù)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的發(fā)展，由此受到廣泛關(guān)注。教師講授不動點理論，能開闊學(xué)生的眼界，為學(xué)生將來的理論研究奠定扎實的基礎(chǔ)。文章主要介紹不動點理論的發(fā)展歷程以及不定點定理的實質(zhì)，并對幾個重要的不動點理論在已學(xué)知識中的應(yīng)用加以探索和總結(jié)，以體現(xiàn)不動點理論應(yīng)用的靈活性和廣泛性。

關(guān)鍵詞：不動點理論;數(shù)學(xué);發(fā)展歷程;實質(zhì)

中圖分類號：G642 文獻標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2020）27-0110-02

不動點理論的探索興起于20世紀(jì)初，荷蘭數(shù)學(xué)家Brouwer在1909年創(chuàng)立了不動點理論。在此基礎(chǔ)上，波蘭數(shù)學(xué)家Banach提出了壓縮映射原理，從而使不動點定理有了進一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動點的思想。美國數(shù)學(xué)家萊布尼茨于1923年發(fā)現(xiàn)了更為重要的不動點理論，并稱為萊布尼茨不動點理論。1927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森進一步研究了不動點個數(shù)問題，從而提出了尼爾森數(shù)的概念。不動點理論的研究內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)里的非線性泛函分析和一般拓?fù)鋵W(xué)范疇，研究結(jié)果被廣泛應(yīng)用于非線性規(guī)劃、分析數(shù)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、力學(xué)、微分方程、控制理論、最優(yōu)化理論及博弈論等應(yīng)用性學(xué)科和領(lǐng)域。本文對不動點理論的發(fā)展歷程、實質(zhì)以及一些著名的不動點理論進行論述。

一、不動點理論的發(fā)展歷程

1909年，Brouwer發(fā)表了著名的不動點定理及一系列的論文，奠定了不動點理論的基礎(chǔ)。1922年，波蘭著名數(shù)學(xué)家巴拿赫提出了一個既簡單又實用的壓縮映射原理，稱為巴拿赫壓縮映射原理。巴拿赫壓縮映射原理不僅提出了映射不動點的存在性及唯一性，還提出了一種求不動點的逼近方法。1941年，日本著名數(shù)學(xué)家角谷靜夫的集值不動點理論為博弈論建立在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上做了理論準(zhǔn)備。1967年，Brouwer不動點定理的構(gòu)造性證明被美國數(shù)學(xué)家Scarf找到，其使用的是計算單純形連續(xù)映射不動點的組合拓?fù)溆邢匏惴ā?968年Brouwer不動點定理被證明，1972年Himmelberg不動點定理被證明。1987年和1992年，Tarafdar分別在拓?fù)渚€性空間、H-空間建立的不動點定理都把不動點定理推向了更深遠(yuǎn)。

關(guān)于不動點理論的研究達到高潮是在1990年以后，把討論不動點、幾乎不動點、隨機不動點等放在各種映射或空間條件下，新的不動點定理和各種迭代逼近方法不斷出現(xiàn)，每年有大量論文發(fā)表。不動點理論研究的內(nèi)容大部分屬于非線性泛函分析和一般拓?fù)鋵W(xué)范疇，其研究出的結(jié)果已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、分析數(shù)學(xué)、微分方程、控制理論、力學(xué)、最優(yōu)化處理、非線性規(guī)劃及博弈論等相應(yīng)的學(xué)科。目前，關(guān)于不動點的理論發(fā)展，主要有兩方面：第一，各類方程不動點的存在性、唯一性以及解集的性態(tài)研究，第二，某些算子不動點逼近算法的理論研究，其中解集性態(tài)的研究成為近年來國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點。

二、不動點定理的實質(zhì)

在泛函分析中，把某些分散在各個數(shù)學(xué)分支中的定理加以統(tǒng)一處理，如隱函數(shù)定理、微分方程解的存在性定理、積分方程解的存在性定理。在泛函分析中，把它們都?xì)w結(jié)為一個定理既不動點定理，這正是抽象和統(tǒng)一的結(jié)果。關(guān)于算子方程Fx=x的求解問題的實質(zhì)就是不動點定理，其在數(shù)學(xué)的各個分支中都是重要的基礎(chǔ)理論，通常是用來求解關(guān)于具體問題解的存在及唯一性的重要定理。最著名的巴拿赫不動點定理，亦稱壓縮映射原理，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中有著重要的地位和作用，它提供了線性方程解的最佳逼近方法，給出了近似解的構(gòu)造程序，在偏微分方程、不定積分方程等領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用。

三、巴拿赫不動點定理

壓縮映射原理又稱為巴拿赫不動點定理或壓縮映射定理，是泛函分析里一個重要的定理，其不僅提供了度量空間中如何求出這些不動點的構(gòu)造性方法，并且論證了度量空間的一定自映射的不動點的存在性及唯一性，在許多方程求解問題上都有著廣泛的應(yīng)用。這個定理是波蘭數(shù)學(xué)家斯特凡·巴拿赫在1922年提出來的，并以此命名為巴拿赫定理。自此之后，許多數(shù)學(xué)研究人員在這方面進行了大量的研究，對該定理的推廣產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的理論和實際意義，取得了豐碩的成果。該不動點定理已經(jīng)在數(shù)個領(lǐng)域有著深入且廣泛的應(yīng)用，如積分方程、代數(shù)方程、數(shù)學(xué)分析、微分方程、算子方程等學(xué)科。其中，許多方程解的存在性與唯一性都可以用巴拿赫不動點定理及推論加以證明。在高等數(shù)學(xué)課程講授過程中融入巴拿赫不動點的思想，不僅對參加數(shù)學(xué)建模的學(xué)生有幫助，而且可以給參加大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生提供更多的解題思路。在高數(shù)的后續(xù)課程，如微分方程、數(shù)學(xué)建模、泛函分析、圖論中深入講解巴拿赫不動點定理，也能開闊學(xué)生的眼界，為他們將來的理論研究奠定扎實的基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生積極探索的興趣。

四、不動點迭代

不動點迭代的研究最開始是從一個球體的實際問題引出的非線性方程進行探索的，是在理解迭代規(guī)則Pk+1=g（Pk）的基礎(chǔ)上，通過對迭代法和不動點迭代法的基本思想的融合，進而找出f（x）=0的同解變形x=g（x），然后給出初值x0，再運用迭代規(guī)則，求出誤差范圍內(nèi)的近似解x≈Pk+1。迭代的步驟為：首先證明不動點的存在性，可以運用函數(shù)連續(xù)性，其次證明不動點唯一性，可以運用中值定理和均值定理，然后證明收斂性，可以運用均值定理及數(shù)學(xué)歸納法，并在此基礎(chǔ)上引出誤差邊界的定義，這樣就可以通過迭代求出非線性方程的近似解。再回到球體問題案例的求解中，進一步驗證非線性方程求解過程中不動點迭代的優(yōu)勢。由此，可以發(fā)現(xiàn)不動點定理的迭代法在其他學(xué)科領(lǐng)域的算子方程中也有重要的實用價值。不動點的迭代通常用于收斂算子的近似值求解，但對于不收斂的非線性算子，可以拓展到加速迭代法的收斂性討論，進而加速了對Steffensen加速迭代和Aitken加速迭代的研究，這也是以后研究的重點。

五、算子不動點

算子不動點理論是巴拿赫不動點定理一個重要應(yīng)用，也是非線性泛函分析理論的重要研究領(lǐng)域，與近代數(shù)學(xué)的許多分支都有緊密的聯(lián)系，如拓?fù)鋵W(xué)理論空間、算子理論、近代分析、結(jié)構(gòu)理論等。它經(jīng)常用來求解泛函微分方程、非線性方程、確定性和隨機性微分方程、函數(shù)方程、積分方程及各類算子方程等問題的解，并且用來判斷解的存在性。除此之外，算子不動點理論也是許多經(jīng)濟均衡問題求解的重要工具。算子不動點理論更加具體化和代表性強，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究，理論成果顯著，每年都有大量的研究成果出現(xiàn)在各個領(lǐng)域。

總之，不動點理論是泛函分析和高等數(shù)學(xué)中的一個非常重要的理論，也是泛函分析教學(xué)中的一個難點。因此，教師應(yīng)了解不動點理論的發(fā)展歷程以及不定點定理的實質(zhì)，并將一些不定點定理教授給學(xué)生，為學(xué)生更深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)，使學(xué)生能夠利用不定點定理開展數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等相關(guān)學(xué)科的研究。

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