楊 亮 孫紅靈 楊 軍

(1 中國(guó)科學(xué)院噪聲與振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(聲學(xué)研究所) 北京 100190)

(2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

0 引言

管道消聲系統(tǒng)在噪聲控制工程中廣泛使用，其聲學(xué)性能的準(zhǔn)確快速仿真預(yù)測(cè)具有重要意義。管道聲學(xué)問題的求解主要包括解析方法和數(shù)值方法。解析方法[1]一般計(jì)算速度快且計(jì)算精度高，包括以傳遞矩陣法為代表的一維解析方法以及以模態(tài)匹配法為代表的三維解析方法，通常情況下，解析方法只適用于簡(jiǎn)單規(guī)則結(jié)構(gòu)的聲學(xué)計(jì)算，很多情況下并不滿足實(shí)際工程的計(jì)算需求。三維數(shù)值方法(主要包括有限元方法[2?3]和邊界元方法[4])理論上可以計(jì)算任意復(fù)雜形式管道的聲學(xué)性能，但消聲管道一般長(zhǎng)度較長(zhǎng)、截面尺寸較大，且通?？紤]計(jì)算的頻率范圍較寬，如果進(jìn)行三維數(shù)值仿真將花費(fèi)較多的計(jì)算時(shí)間，并不適用于消聲管道的前期設(shè)計(jì)優(yōu)化。近年來，以快速多極邊界元[5]為代表的快速算法得到了較快的發(fā)展并在聲學(xué)計(jì)算領(lǐng)域日趨成熟，一些商業(yè)軟件也集成了這一算法，但是目前商業(yè)軟件中的快速多極邊界元還不能考慮管道中包含吸聲材料的情況，無(wú)法應(yīng)用于消聲管道的聲學(xué)計(jì)算。另外，以有限體積法為代表的時(shí)域方法[6]由于可以考慮復(fù)雜流動(dòng)對(duì)聲場(chǎng)的影響而得到了廣泛的關(guān)注，但是時(shí)域法的計(jì)算對(duì)計(jì)算環(huán)境的要求過高，目前還很難應(yīng)用于實(shí)際管道聲學(xué)問題的求解。

綜上所述，針對(duì)消聲管道的聲學(xué)性能計(jì)算，現(xiàn)有的方法存在一些不足，適用于大尺寸消聲管道優(yōu)化設(shè)計(jì)的聲學(xué)計(jì)算方法需要進(jìn)一步研究。消聲管道的聲學(xué)性能計(jì)算雖然本質(zhì)上是三維聲學(xué)問題，但是在很多應(yīng)用情況下，消聲管道沿氣流方向的截面是均勻一致的，此時(shí)可以將三維聲學(xué)計(jì)算問題簡(jiǎn)化為二維聲學(xué)問題。這時(shí)，消聲管道的傳遞損失可以表示為與軸向波數(shù)有關(guān)的表達(dá)式，而軸向波數(shù)可以通過計(jì)算截面的特征值得到。

本文對(duì)消聲管道的聲學(xué)性能計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化處理并使用兩種簡(jiǎn)化方法：(1) 對(duì)簡(jiǎn)單規(guī)則截面結(jié)構(gòu)形式使用基于傳遞矩陣的方法計(jì)算特征值。需要指出的是，傳統(tǒng)的傳遞矩陣法[7]應(yīng)用于沿介質(zhì)氣流方向(軸向)各個(gè)子結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣計(jì)算，本文在消聲管道截面使用傳遞矩陣法，在一定的邊界條件下得到特征方程用于計(jì)算特征值(也就得到了軸向波數(shù))。(2) 對(duì)于復(fù)雜形式的截面特征值使用二維有限元方法進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而計(jì)算消聲管道的傳遞損失。值得注意的是，二維有限元方法在文獻(xiàn)[8–9]中被應(yīng)用于消聲器的聲學(xué)性能預(yù)測(cè)：文獻(xiàn)[8]將二維有限元方法與模態(tài)匹配法結(jié)合形成數(shù)值模態(tài)匹配法，結(jié)合管道截面變化處的邊界條件形成一系列方程用于求解模態(tài)幅值系數(shù)；文獻(xiàn)[9]將二維有限元方法與配點(diǎn)法結(jié)合，將管道內(nèi)的聲學(xué)量表示為半解析的形式，在選取的配置點(diǎn)處利用聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的連續(xù)條件得到進(jìn)出口的模態(tài)幅值系數(shù)。與上述文獻(xiàn)不同，本文直接使用二維有限元法得到截面特征值用于傳遞損失的計(jì)算，將三維問題簡(jiǎn)化為二維問題以提高計(jì)算效率。通過與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)值及數(shù)值結(jié)果的比較驗(yàn)證了簡(jiǎn)化方法的有效性，并對(duì)考慮均勻流情況下的消聲管道傳遞損失進(jìn)行了預(yù)測(cè)。簡(jiǎn)化方法可以在保證計(jì)算精度的同時(shí)極大程度地提高計(jì)算效率，簡(jiǎn)化計(jì)算方法可用于管道消聲系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 理論基礎(chǔ)

通常情況下，消聲管道在進(jìn)出口處存在截面變化，因此三維數(shù)值方法常被用于管道內(nèi)部聲場(chǎng)的計(jì)算，雖然三維方法計(jì)算精度高，但計(jì)算效率較低，給實(shí)際的工程應(yīng)用帶來很大困難。本文在計(jì)算中忽略了進(jìn)出口截面變化的影響，將三維聲傳播問題簡(jiǎn)化為二維問題，并通過實(shí)例說明這種簡(jiǎn)化假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中是可行的。

對(duì)于如圖1 所示的包覆式消聲管道，可以使用基于傳遞矩陣的方法計(jì)算傳遞損失；如果結(jié)構(gòu)截面形式較為復(fù)雜，即對(duì)于更一般的情況無(wú)法直接應(yīng)用傳遞矩陣法時(shí)，可以使用二維數(shù)值方法(如有限元方法)進(jìn)行計(jì)算。

1.1 等截面消聲管道傳遞損失計(jì)算公式

對(duì)于一定長(zhǎng)度的等截面消聲管道，傳遞損失可以根據(jù)式(1)計(jì)算得到[10]：

其中，p(0)和p(z)分別為相對(duì)位置為0 和z處的聲壓值，kzi為軸向波數(shù)的虛部，z為管道長(zhǎng)度，e 為自然對(duì)數(shù)的底。可以發(fā)現(xiàn)，在等截面情況下，管道的傳遞損失可以通過計(jì)算軸向波數(shù)得到，值得注意的是，公式(1)是在無(wú)限長(zhǎng)管道假設(shè)條件下得到的，因此對(duì)于長(zhǎng)管道有更好的適用性。

1.2 管道消聲性能計(jì)算的傳遞矩陣法

傳遞矩陣描述了管道進(jìn)出口聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速的關(guān)系，可以表示為

其中，T為傳遞矩陣，pI和pO分別為進(jìn)出口的聲壓，uI和uO分別為進(jìn)出口的質(zhì)點(diǎn)振速。

對(duì)于如圖1 所示的包覆式消聲管道，如果忽略矩形管道截面邊角的影響，可以分別考慮x和y兩個(gè)方向的傳遞矩陣關(guān)系，在y方向，吸聲材料及空氣中的傳遞矩陣分別表示為

其中，ky和分別為空氣和吸聲材料中y方向的波數(shù)，ρ0和分別為空氣和吸聲材料的密度，ty為吸聲材料y方向厚度，h為空氣域厚度，i 為虛數(shù)單位，ω為圓頻率。穿孔板內(nèi)外兩側(cè)的傳遞矩陣可以表示為

即為

圖1 方形包覆式消聲管道Fig.1 Square silencing duct with packed housing

根據(jù)位置1 和位置4 處的剛性壁邊界條件，得到t21=0，即為y方向的特征方程。

同理，使用同樣的方法可以得到x方向的特征方程。求解由兩個(gè)特征方程構(gòu)成的方程組即可求得兩個(gè)方向的波數(shù)kx和ky，軸向波數(shù)可以通過式(9)計(jì)算得到：

將軸向波數(shù)代入式(1)即可得到傳遞損失。

對(duì)于圓形截面包覆管道，如圖2 所示，ri和ro分別為穿孔管內(nèi)側(cè)空氣域半徑以及管道半徑，空氣中的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速可以分別表示為

其中，A為模態(tài)系數(shù)，ρ0為空氣密度，kr為橫向波數(shù)，J0和J1分別為0 階和1 階第一類貝塞爾函數(shù)，0r

其中，B和C為模態(tài)系數(shù)，為吸聲材料的密度，為吸聲材料中的橫向波數(shù)，Y1為第二類1 階貝塞爾函數(shù)，rir

圖2 圓形包覆式消聲管道Fig.2 Round silencing duct with packed housing

穿孔管處以及管道外壁的邊界可以分別表示為

將聲壓以及質(zhì)點(diǎn)振速表達(dá)式代入邊界條件得到如式(15)的方程組，求解方程組并利用波數(shù)關(guān)系式(16)得到軸向波數(shù)進(jìn)而計(jì)算傳遞損失。

求解行列式等于0 的特征方程可以得到kr，軸向波數(shù)kz可以通過下式得到

需要指出的是，傳遞矩陣法中只考慮了管道中平面波傳播的情況，沒有考慮高階模態(tài)的影響。

1.3 管道消聲性能計(jì)算的二維有限元方法

傳遞矩陣法的計(jì)算效率較高，但是對(duì)于更一般的情況，如果截面形式較為復(fù)雜，無(wú)法使用傳遞矩陣法，這時(shí)可以考慮使用二維數(shù)值方法計(jì)算軸向波數(shù)，本文使用的是二維有限元方法。

空氣域和吸聲材料域如圖3 所示，兩個(gè)區(qū)域通過穿孔邊界連接，在空氣域考慮存在均勻流，空氣和吸聲材料中的二維聲波控制方程為

空氣和吸聲材料中等效的橫向波數(shù)kxy1和kxy2分別滿足以下方程：

其中，M為馬赫數(shù)。

圖3 非規(guī)則消聲管道截面示意圖Fig.3 Cross-section of non-regular silencing duct

消聲管道的邊界條件為剛性壁面邊界條件和穿孔阻抗邊界條件，應(yīng)用伽遼金加權(quán)余量法以及格林公式可以得到橫截面C1和C2上的橫向本征方程為[11]

其中，

分別為橫截面上的廣義剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和穿孔阻抗矩陣。N為形函數(shù)的列向量，p1和p2分別為橫截面C1和C2上節(jié)點(diǎn)聲壓組成的列向量，角標(biāo)“e”代表單元，Se為空氣域或吸聲材料域面單元，Le為穿孔邊界線單元。

聯(lián)立方程(21)和(22)可以得到考慮均勻流影響的消聲管道的橫向本征方程為

其中，

求解方程(23)即可以得到軸向波數(shù)，進(jìn)而計(jì)算傳遞損失。

2 算例驗(yàn)證

本節(jié)將通過若干算例驗(yàn)證基于傳遞矩陣法和二維有限元法的兩種簡(jiǎn)化方法的合理性，說明簡(jiǎn)化計(jì)算方法在實(shí)際工程問題中的應(yīng)用價(jià)值。

2.1 無(wú)流情況包覆式消聲管道

首先對(duì)一個(gè)如圖1所示的方形包覆式消聲管道進(jìn)行消聲量的計(jì)算，管道外尺寸為0.6 m×0.6 m，吸聲材料厚度0.1 m，管道長(zhǎng)度2 m，吸聲材料為巖棉，其流阻率為31500 Rayl/m，穿孔板厚度為0.7 mm，穿孔直徑為3 mm，穿孔板穿孔率為33%，穿孔阻抗公式來源于文獻(xiàn)[9]?；趥鬟f矩陣的簡(jiǎn)化方法與文獻(xiàn)[11]中有限元方法的比較如圖4 所示，二者趨勢(shì)吻合較好，說明對(duì)于包覆式方形管道，邊角對(duì)其聲學(xué)性能的影響較小，本文1.2 節(jié)中的簡(jiǎn)化處理較為合理。傳遞矩陣法的計(jì)算效率高，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

圖4 方形包覆消聲管道消聲量Fig.4 TL of a square packed silencer

2.2 無(wú)流情況Bar消聲器

考慮一個(gè)方形Bar 消聲器(此處命名為消聲器a)，結(jié)構(gòu)截面如圖5 所示，消聲器外殼尺寸為0.6 m×0.6 m，Bar 尺寸0.4 m×0.4 m，管道長(zhǎng)度2 m，吸聲材料參數(shù)及穿孔率與上例包覆消聲管道算例相同。使用二維有限元簡(jiǎn)化方法計(jì)算傳遞損失，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[12]比較如圖6 所示，二者在寬頻范圍內(nèi)吻合較好，說明了基于二維有限元的簡(jiǎn)化方法的正確性。

圖5 方形Bar 消聲器截面形式Fig.5 Cross-section of the square Bar silencer

考慮文獻(xiàn)[11]中的另一個(gè)Bar 消聲器(此處命名為消聲器b)，與消聲器a 不同的是外殼尺寸為0.6 m×0.8 m，Bar的尺寸以及其它參數(shù)與消聲器a相同。使用二維有限元方法計(jì)算傳遞損失的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值[11]對(duì)比如圖7 所示，仿真結(jié)果同樣較好地預(yù)測(cè)了消聲管道的聲學(xué)性能。

第三個(gè)算例為如圖8 所示的圓形Bar 消聲器，包覆吸聲材料的圓形管道內(nèi)部包含一個(gè)圓形的Bar，尺寸為r= 0.1 m，R= 0.291 m，t= 0.147 m，管道長(zhǎng)度L= 0.9 m，穿孔板穿孔率為27%，穿孔孔徑3 mm，穿孔板厚度1.6 mm，穿孔阻抗公式及吸聲材料特征參數(shù)與文獻(xiàn)[9]中相同。特征值使用有限元方法計(jì)算得到，管道傳遞損失計(jì)算結(jié)果如圖9所示，除了極高頻附近頻段，仿真預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值[9]在寬頻范圍內(nèi)吻合較好。

圖7 Bar 消聲器b 傳遞損失對(duì)比Fig.7 TL comparison of bar silencer “b”

圖8 圓形Bar 消聲管道截面Fig.8 Cross-section of round Bar silencing duct

圖9 圓形消聲管道傳遞損失與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Fig.9 TL comparison of round Bar silencing duct

2.3 均勻流情況消聲管道的聲學(xué)性能

消聲管道作為介質(zhì)傳輸?shù)穆窂?，介質(zhì)存在流動(dòng)速度，流速對(duì)管道的聲學(xué)性能具有一定的影響，本節(jié)考慮兩個(gè)均勻流情況下的消聲管道傳遞損失計(jì)算，說明方法在這種情況下的適用性。

第一個(gè)算例為一個(gè)片式消聲器，結(jié)構(gòu)截面如圖10 所示，結(jié)構(gòu)尺寸為a= 0.1 m，b= 0.1 m，管道長(zhǎng)度為1.8 m，穿孔率27%，穿孔孔徑3 mm，吸聲材料流阻率為1881 Rayl/m，穿孔阻抗以及吸聲材料特征參數(shù)公式與文獻(xiàn)[9]一致。管道內(nèi)流速馬赫數(shù)為0.022。仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值[13]對(duì)比如圖11 所示，在極高頻處預(yù)測(cè)結(jié)果存在一些偏差，但總體來說二者的趨勢(shì)整體吻合較好，說明了本文仿真方法的正確性。

圖10 片式消聲管道截面形式Fig.10 Cross-section of a splitter silencer

圖11 有流情況下方形片式消聲管道傳遞損失與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Fig.11 TL comparison of square splitter silencer with uniform flow

第二個(gè)算例為一個(gè)Bar 消聲器，Bar 尺寸為0.4 m×0.4 m，外殼尺寸為0.6 m×0.6 m，氣流速度40 m/s，管道長(zhǎng)度為2 m，吸聲材料流阻率為31500 Rayl/m，穿孔率33%，穿孔孔徑5 mm。仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[11]中實(shí)驗(yàn)值對(duì)比如圖12所示，仿真結(jié)果較好地描述了消聲管道的聲學(xué)性能，進(jìn)一步說明了計(jì)算方法的正確性。由于簡(jiǎn)化方法將三維數(shù)值計(jì)算轉(zhuǎn)化為二維數(shù)值計(jì)算，將極大程度地提高計(jì)算效率。

圖12 均勻流(40 m/s)情況下方形Bar 消聲器傳遞損失Fig.12 TL comparison of Bar silencer with uniform flow 40 m/s

3 結(jié)論

聲學(xué)性能的快速準(zhǔn)確計(jì)算對(duì)于消聲管道的設(shè)計(jì)具有重要意義。傳統(tǒng)三維數(shù)值方法計(jì)算量較大，計(jì)算效率低。由于消聲管道一般具有沿軸向(氣流)方向截面均勻一致的特點(diǎn)，此時(shí)管道的聲學(xué)性能可以通過軸向波數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，軸向波數(shù)可以通過對(duì)管道截面進(jìn)行特征值分析獲得。針對(duì)不同的消聲管道結(jié)構(gòu)形式，本文使用兩種簡(jiǎn)化方法：基于傳遞矩陣的簡(jiǎn)化方法和基于二維有限元的簡(jiǎn)化方法，通過與文獻(xiàn)中的數(shù)值結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較說明了簡(jiǎn)化方法可以在較寬的頻率范圍較好地描述管道的消聲性能，說明了簡(jiǎn)化方法的有效性。另外，簡(jiǎn)化方法也可以考慮管道內(nèi)介質(zhì)存在均勻流速的情況。簡(jiǎn)化方法將三維聲學(xué)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為二維聲學(xué)問題，極大程度地提高了計(jì)算效率，可用于消聲管道的快速優(yōu)化設(shè)計(jì)。