劉 風

（1.中央司法警官學院信息管理系，河北保定 071000；2.中央司法警官學院戒毒康復研究中心，河北保定 071000）

0 引言

數學流行病學模型對于預測和控制傳染病的流行具有重要實用價值。自從SIR（Susceptible-Infected-Removed）流行病模型出現以來，針對某些流行病患者康復一定時期后免疫力喪失，可能再次被感染的現象，相關學者又先后提出了SIS（Susceptible-Infected-Susceptible）和SIRS（Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible）等模型［1-2］。

控制疾病傳播的一種常規(guī)措施是對患者進行隔離治療。文獻［3-5］考慮隔離治療措施分別建立了SIQR（Susceptible-Infected-Quarantined-Recovered）和SIQRS（Susceptible-Infected-Quarantined-Recovered-Susceptible）模型，并針對相應的閾值參數討論了模型的平衡點和穩(wěn)定性以及一定約束條件下模型的動力學性態(tài)。除此以外，通過接種疫苗（vaccination）使易感個體獲得免疫力，是防止疾病流行的另外一種有效方式。Parsamanesh等［6］分析了帶有疫苗接種措施的SIS模型的全局穩(wěn)定性；Arino 等［7］針對SIRS 模型研究了疫苗接種措施對模型穩(wěn)定性的影響，當疫苗并非完全有效時，模型將會出現后向分支。

考慮到毒品濫用與傳染病的擴散原理高度相似。White等［8］針對海洛因的流行構建了一個SIR模型，分析了模型平衡點的局部穩(wěn)定性，并給出了后向分支存在的必要條件。Mulone等［9］對文獻［8］進行了補充，證明了其平衡點的全局穩(wěn)定性。通過對藥物使用者依賴程度的劃分文獻［10］提出了一個雙藥物使用人群的流行病模型，并對模型進行了定性分析。以上研究成果均假設治愈后的吸毒者具有永久的毒品“免疫力”，針對此問題，文獻［11］提出了一個具有暫時“免疫力”的毒品濫用流行病學模型，并分析和證明了模型平衡點的存在性和穩(wěn)定性。

現實中，由于各種原因，只有有限的吸毒人員能夠接受治療，所以，單純地依靠治療手段難以從根本上消除毒品濫用現象的發(fā)生。為了更有效地防止毒品濫用的蔓延，針對毒品易感人群加強宣傳教育（類似于接種疫苗），提高其自身“免疫力”不失為一種合理的預防措施。雖然上述毒品濫用流行病學模型刻畫了事后的治療手段，但是作為影響毒品濫用關鍵因素的事前預防措施，卻沒有被引入到模型當中。而現有帶接種疫苗預防措施的流行病學模型均假設患者在接受治療期間除發(fā)生死亡情況外將全部治愈，這又與戒毒人群并非全部能夠戒斷“毒癮”，其中一部分戒毒人員結束治療后仍然未能康復的特點不相符合。因此，以各種傳染病為背景的流行病學模型無法直接用于分析研究毒品濫用的傳播規(guī)律。

鑒于上述原因，本文在文獻［11］的基礎上，針對其僅考慮了單一治療措施的不足，引入預防機制，提出了基于防治策略的毒品濫用流行病學模型，定性分析了模型的動力學性態(tài)，將模型的基本再生數與文獻［11］中單純依靠治療措施的基本再生數進行了比較，并經過仿真實驗進行了驗證，研究結果表明，若非預防措施完全無效，此模型比文獻［11］中的模型能夠獲得更小的基本再生數，采取綜合防治策略，通過提高預防措施的效果，可以避免產生后向分支現象，更有效地防止毒品濫用的滋生。

1 模型構建

經過治療的戒毒人員中，只有部分個體能夠治愈，對毒品產生“免疫力”，而這種“免疫力”不是終生的，隨著時間的推移，可能逐漸喪失。在考慮上述特點的基礎上引入預防機制，將總體人群劃分為四類，即易感人群、未隔離吸毒人群、隔離治療人群和免疫人群，建立了基于防治策略的SITRS（Susceptible-Infected-Treated-Recovered-Susceptible）模型。毒品濫用相關人群的狀態(tài)轉換過程如圖1所示。

圖1 毒品濫用相關人群的狀態(tài)轉換過程Fig.1 State transition process of populations correlated with drug abusers

其中：S、I、T、R、Λ分別代表易感人群、未隔離吸毒人群、隔離治療人群、免疫人群以及系統補充人群的人數在總體人群中所占的比例。θ為針對易感人群進行毒品危害宣傳的覆蓋率，α為宣傳教育的有效率，假定0 ≤α＜1，即宣傳教育并非完全有效。u1代表自然死亡率，u2和u3分別為未隔離吸毒人群和隔離治療人群的吸毒致死率，ε是未隔離吸毒人群的社區(qū)治療康復率，η為隔離治療率，假設未隔離吸毒人群對易感人群具有傳染性，隔離治療人群不具有傳染性。β1是未隔離吸毒人群與易感人群之間的接觸傳染率，β2是解除隔離治療人員的復吸率，φ是隔離治療的康復率，免疫人群的“免疫力”將逐漸喪失，“免疫”喪失率為代表平均“免疫期”。各人群間轉換規(guī)則如下：

1）預防措施使易感人群中αθ比例獲得“免疫力”，進入免疫人群。

2）(1-αθ)比例未獲得“免疫力”的易感者以β1I的概率被感染，成為未隔離吸毒者。

3）η比例的未隔離吸毒者會接受隔離治療，進入隔離治療人群；社區(qū)治療使ε比例的未隔離吸毒者得以康復，獲得“免疫力”，進入免疫人群。

4）φ比例隔離人員治療后將康復，獲得“免疫力”，進入免疫人群；解除隔離人員以β2I的概率重新成為未隔離吸毒者。

5）免疫人群以ρ的概率重新成為易感者。

根據上述轉換規(guī)則，按照圖1建立微分方程模型：

2 平衡點和穩(wěn)定性分析

按照文獻［12］提出的基本再生數的計算方法，系統（5）～（7）的再生數RVT可表示為：

2.1 無毒平衡點及其穩(wěn)定性

在無毒平衡點E0處，其雅可比矩陣為：

2.2 地方病平衡點及其穩(wěn)定性

考慮RVT＞1時，如果地方病平衡點E*=(S*，I*，T*)存在，則有S*≥0，I*＞0和T*≥0使得：

因為當RVT＞1 時，無毒平衡點E0不穩(wěn)定，所以對于系統（5）～（7），除可行域邊界上的點以外，從可行域內部出發(fā)且充分靠近E0的初值點的解均遠離E0。若存在集合K={E0}?Γ，則K是一個緊不變集，設KS是K的穩(wěn)定集，即KS包含了所有ω極限集ω(F)?K的初始可行解F，則KS只能存在于可行域的邊界上，這意味著可行域邊界上的最大緊不變集K是孤立的，由文獻［14］中定理4.1可知，系統（5）～（7）是一致持續(xù)的。

引理1定理3.5［17］。當單連通的可行域Γ內存在一個緊吸引集K?Γ時，若＜0，則Γ內的唯一平衡點是全局漸進穩(wěn)定的。

定理2對于系統（5）～（7），當RVT＞1 時，?ξ1＞0 和ξ2＞0，若“免疫力”喪失率ρ＜min{ξ1，ξ2}，則地方病平衡點E*具有全局漸進穩(wěn)定性。

證明 系統（5）～（7）的可行域Γ是單連通的，且由命題1、命題2 和引理1 可知，證明定理2 成立，需在賦范空間R3中選擇一個適當的向量范數|?|和一個3×3 的矩陣值函數以保證＜0。

2.3 后向分支

若β2η(u1+ρ)2＞(ε+η+u1+u2)Z，則a＞0，系統（17）～（19）可能出現后向分支現象。

后向分支現象的出現打破了傳統意義上將基本再生數作為控制疾病傳播的閾值理論，對于毒品濫用問題，這意味著即便RVT＜1，除無毒平衡點外，同時還可能有一個穩(wěn)定的地方病平衡點，毒品濫用現象仍然不能杜絕。只有采取更有效的措施，才能充分降低基本再生數，避免后向分支的產生，防止毒品濫用形成地方病。

考慮基本再生數

3 數值模擬

以某市相關數據為基礎設定參數（見表1），其中，自然死亡率u1為2009—2018年該市常住人口的平均死亡率，吸毒致死率u3依據該市2010—2018 年接受隔離治療的戒毒人員平均死亡率以及自然死亡率u1計算，假定未隔離吸毒致死率u2與u3相同，隔離治療康復率φ為隔離治療人員的3 年操守率，“免疫”喪失率ρ根據標準操守期的倒數計算，社區(qū)治療康復率ε、隔離治療率η和復吸率β2分別根據相關資料按照吸毒人員的顯性/隱性比進行調整，宣傳覆蓋率θ根據十八大以來全國歷年在校生人數和累計接受禁毒教育學生人數估計調整。

表1 模型參數設置Tab.1 Parameter settings of model

利用MatLab軟件模擬仿真不同初始條件下易感人群、未隔離吸毒人群和隔離治療人群的演化過程，驗證后向分支和各平衡點的存在性及穩(wěn)定性。

首先，考慮β1取值0.044，即當RVT=0.982 時，如圖2 所示，由于初始值不同，導致系統出現不同的平衡點，即同時存在無毒和地方病兩個均衡，可以看出，地方病平衡點E*是穩(wěn)定的，而無毒平衡點E0不穩(wěn)定，模擬結果支持了后向分支現象出現的可能性。

圖2 無毒和地方病兩個平衡點同時存在（RVT=0.982）Fig.2 Drug-free and endemic equilibrium points exist simultaneously（RVT=0.982）

其次，保持β1不變，假設宣傳教育完全無效，即α=0，則RVT=1.158 ＞1，如圖3 所示。對于任意的初始值，解曲線最終都匯聚到唯一的平衡點，仿真結果表明系統唯一的地方病平衡點E*是全局漸進穩(wěn)定的，單純依靠治療措施，難以從根本上杜絕毒品濫用的滋生，終將形成地方病。

最后，β1仍然取值0.044，維持原有的教育有效率α，將宣傳覆蓋率θ提高到50%，此時RVT=0.300 ＜1，如圖4所示。無論初始狀態(tài)如何，未隔離吸毒人群和隔離治療人群的比例最終都將趨近于0，可見，相對于文獻［11］中單純依靠治療措施，通過綜合防治，在教育有效率較高的前提下，提高宣傳覆蓋率可以避免后向分支的出現，更加有效地消除毒品濫用現象的產生。結合圖2 中后向分支現象的出現，模擬結果驗證了無毒平衡點E0的存在性和局部漸進穩(wěn)定性。

圖3 地方病平衡點模擬結果（RVT ＞1）Fig.3 Simulation results of endemic equilibrium point（RVT ＞1）

圖4 無毒平衡點模擬結果（RVT ＜1）Fig.4 Simulation results of drug-free equilibrium point（RVT ＜1）

4 結語

應用流行病學原理研究毒品濫用問題尚處起步階段，現有研究成果對毒品濫用的預防措施考慮不足，本文通過引入預防機制，構建基于防治策略的毒品濫用流行病學模型，對模型進行了定性分析，并計算了可能存在后向分支的必要條件，比較了單一治療和綜合防治策略下的基本再生數。模擬實驗驗證了后向分支的存在性和平衡點的穩(wěn)定性。研究結果表明單純依靠治療措施，難以從根本上消除毒品濫用現象，采取綜合防治策略，通過提高宣傳覆蓋率θ和教育有效率α，能夠進一步降低文獻［11］中的基本再生數，更加有效地防止毒品濫用的滋生。