楊 鑫

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是高校工科、經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)的一門重要的通識(shí)教育必修課，是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)課程，其理論及方法與數(shù)學(xué)其他分支相互交叉、滲透，已經(jīng)成為許多自然科學(xué)學(xué)科、社會(huì)與經(jīng)濟(jì)科學(xué)學(xué)科、管理學(xué)科重要的理論工具。由于它需要學(xué)生具備一定的微積分理論和計(jì)算基礎(chǔ)，因此在本課程的學(xué)習(xí)過程中，特別是微積分基礎(chǔ)不好的同學(xué)，常常感到概念無法理解，方法也無法掌握，更不要談如何運(yùn)用該課程解決專業(yè)課或是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題了。學(xué)生之所以會(huì)有這么多的問題，原因在于大腦放射性的工作機(jī)制與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)科的線性教學(xué)方式不一致造成的。這兩者不一致造成了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)效率低，長期的惡性循環(huán)，導(dǎo)致學(xué)生的成績低，應(yīng)用能力差，因此，我們要尋找一個(gè)更合適的教學(xué)手段來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)優(yōu)秀的應(yīng)用型人才。

1 思維導(dǎo)圖及其繪制方法

1.1 思維導(dǎo)圖概述

思維導(dǎo)圖的創(chuàng)始人是世界著名心理學(xué)家、教育學(xué)家東尼·博贊，他曾因幫助查爾斯王子提高記憶力而被譽(yù)為英國的“記憶力之父”。思維導(dǎo)圖是一種可視圖表，一種整體思維工具，可應(yīng)用到所有認(rèn)知功能領(lǐng)域，尤其是記憶、創(chuàng)造、學(xué)習(xí)和各種形式的思考，它被描述為“大腦的瑞士軍刀”。通過捕捉和表達(dá)發(fā)散性思維，思維導(dǎo)圖將大腦內(nèi)部的過程進(jìn)行了外部呈現(xiàn)。本質(zhì)上，思維導(dǎo)圖是在重復(fù)和模仿發(fā)散性思維，這反過來又放大了大腦的本能，讓大腦更加強(qiáng)大有力，從而提高大腦處理信息時(shí)的工作效率。

1.2 思維導(dǎo)圖的繪制方法

在生活或?qū)W習(xí)過程中，首先要找到一個(gè)主題，然后以這個(gè)主題為中心放射性的想象與其相關(guān)的內(nèi)容，把他們以圖形、符號(hào)等方式記錄下來，就構(gòu)成了思維導(dǎo)圖。在繪制前，準(zhǔn)備一張白紙，不同顏色的水彩筆。具體步驟為：

（1）繪制中心主題。圖像可以自動(dòng)地吸引眼睛和大腦的注意力，所以將能夠表達(dá)主題的圖像繪制在紙的正中央。

（2）繪制次主題。在中心主題用不同顏色，不同粗細(xì)的線條向四周分散分支，在分支上寫上次主題。整個(gè)思維導(dǎo)圖中都要用圖像，只要有可能，就要用圖像表達(dá)。

（3）理脈絡(luò)。再次以主題為核心繼續(xù)向外發(fā)散，寫出關(guān)鍵詞。圖像和詞匯的周圍要有層次感，不同的主題用粗細(xì)不同的線條連接起來。

隨著信息時(shí)代的進(jìn)步，產(chǎn)生了越來越多的繪制思維導(dǎo)圖的軟件，不僅頁面簡單，操作也很方便，易于保存和修改，常用的軟件有iMindMap，Mindmanager，Mindmapper 等等。

2 課程內(nèi)容特點(diǎn)及現(xiàn)狀

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是高等院校必修的一門公共基礎(chǔ)課，它的理論知識(shí)及應(yīng)用可以作為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)的一個(gè)非常重要的工具，它的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)據(jù)和隨機(jī)現(xiàn)象，可以通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)，以及對(duì)事件發(fā)生概率的計(jì)算，幫助人們做出合理的判斷和預(yù)測。但是，由于該學(xué)科不僅用到微積分知識(shí)，同時(shí)具有高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系緊密而隱蔽，如果想學(xué)好這門課也不是很容易的。

高校每學(xué)期都會(huì)開設(shè)多門課程，教學(xué)進(jìn)度相對(duì)較快，還需要學(xué)生有較強(qiáng)的自覺性和自學(xué)能力，在有限的一個(gè)學(xué)期內(nèi)，學(xué)生可能不太容易理解知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，更別說在現(xiàn)實(shí)生活中靈活應(yīng)用了。因此，我們需要尋找一種新的教學(xué)方法，不僅能夠幫助學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)，還可以熟練地把理論應(yīng)用于實(shí)際生活中。

3 思維導(dǎo)圖在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中的應(yīng)用

在多年的教學(xué)工作中，筆者嘗試在教學(xué)活動(dòng)中融入思維導(dǎo)圖教學(xué)，不僅使學(xué)生更容易理解教學(xué)內(nèi)容，還能提高學(xué)習(xí)效率，學(xué)生的期末成績也有所提高。在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的各個(gè)教學(xué)過程中，比如備課、課堂、解題和復(fù)習(xí)中，都可以運(yùn)用思維導(dǎo)圖的教學(xué)方法。

3.1 備課

教師在備課的過程中，通過對(duì)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)和整理，構(gòu)建思維導(dǎo)圖，不僅可以清晰準(zhǔn)確的把握知識(shí)的重難點(diǎn)，還深化了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使整個(gè)教學(xué)過程更加流暢，有利于教師對(duì)課堂的整體把握，提高講課效率。以《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》獨(dú)立性知識(shí)點(diǎn)為例，教師由獨(dú)立性為中心主題，放射性的引出概念、教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)及其獨(dú)立和互斥之間的關(guān)系，見圖1。

圖1

3.2 課堂

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課的概念比較多，又容易混淆，將思維導(dǎo)圖應(yīng)用到概念講解中，將概念作為主題關(guān)鍵詞，發(fā)散性地分析條件及其結(jié)論，可以使學(xué)生輕松地掌握課程的重難點(diǎn)，也方便學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶。

在課堂教學(xué)過程中，教師首先給學(xué)生提出一個(gè)中心主題，讓學(xué)生展開討論，然后再歸納總結(jié)學(xué)生的討論結(jié)果，鼓勵(lì)學(xué)生自己制作思維導(dǎo)圖，最后由教師統(tǒng)一修改，這樣就將以“教師為主導(dǎo)”的課堂變?yōu)橐浴皩W(xué)生為中心”的課堂。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生更容易集中精力融入教師的整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，這樣在保證學(xué)生學(xué)會(huì)了每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，又幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，使學(xué)生更容易理解和記憶新知識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)效率。

在課堂教學(xué)中引入思維導(dǎo)圖，要注意以下幾點(diǎn)：第一，教師在引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖的過程中，為了增加學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在思維導(dǎo)圖支干細(xì)化時(shí)，教師可以引入實(shí)際生活中應(yīng)用本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的例子，比如，在概率的第一次課時(shí)，可以給學(xué)生講講概率的出身是“賭博”，舉蒙特霍爾三門問題，生日問題等等，讓學(xué)生憑直覺給出問題的答案，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的答案與直覺不一樣時(shí)，會(huì)引起學(xué)生的好奇，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)興趣。第二，教師在某一教學(xué)環(huán)節(jié)結(jié)束后，通過某一核心教學(xué)內(nèi)容作為思維導(dǎo)圖主干，引導(dǎo)學(xué)生拓展相關(guān)內(nèi)容，可以使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握更全面、具體。比如，在學(xué)習(xí)完《離散型隨機(jī)變量》后，可以讓學(xué)生把常見的離散型分布的概率分布和數(shù)字特征等繪制在一張思維導(dǎo)圖中，在繪制的過程中，學(xué)生通過對(duì)比概念間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，熟練掌握該部分的知識(shí)內(nèi)容。第三，教師利用思維導(dǎo)圖構(gòu)建知識(shí)體系，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

3.3 解題

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，例題的講解不僅可以幫助學(xué)生理解概念，性質(zhì)及其方法，還可以考察同學(xué)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。在解題時(shí)運(yùn)用思維導(dǎo)圖，引導(dǎo)學(xué)生解題前分析題目，找到關(guān)鍵詞，例如已知條件是什么？涉及哪些相關(guān)概念或定理，分析完了，學(xué)生的思維導(dǎo)圖相應(yīng)就畫出來了，下面就以連續(xù)型隨機(jī)變量的一道例題為例，闡述思維導(dǎo)圖在解題中的應(yīng)用。

例：設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為：

首先我們根據(jù)題目，找到關(guān)鍵詞，這道題要求的是什么？已知哪些條件？我們知道哪些相關(guān)知識(shí)點(diǎn)？根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的規(guī)范性，我們可以求出題中的系數(shù)A，也就相當(dāng)于求出了概率密度函數(shù)。接下來，根據(jù)分布函數(shù)的定義，可以求出分布函數(shù)。最后，區(qū)間概率可以利用概率密度函數(shù)計(jì)算，也可以根據(jù)分布函數(shù)定義計(jì)算。在思維導(dǎo)圖中，也可以把定義和性質(zhì)用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出來，這樣不僅可以復(fù)習(xí)了知識(shí)點(diǎn)，也可以讓學(xué)生通過思維導(dǎo)圖找到問題的突破口，見圖2。利用以上思維導(dǎo)圖解題，不僅培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的良好習(xí)慣，從總體把握題目，避免思路混亂，還能夠使學(xué)生在做題的過程中會(huì)更加游刃有余，達(dá)到事半功倍的效果。

圖2

3.4 復(fù)習(xí)

每一節(jié)課或每一章結(jié)束后，學(xué)生真正掌握了多少，作為教師如何檢驗(yàn)?zāi)兀總鹘y(tǒng)的方法都是通過作業(yè)或測試來檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，其實(shí)思維導(dǎo)圖也是一個(gè)很好的檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的手段。首先，教師可以讓那個(gè)學(xué)生結(jié)合教材，認(rèn)真回憶本節(jié)課或是本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容，把課程的所有知識(shí)點(diǎn)及其聯(lián)系，利用不同的顏色、圖形、關(guān)鍵詞將抽象的過程和知識(shí)結(jié)構(gòu)具體化，制成思維導(dǎo)圖。這樣不僅能夠幫助學(xué)生檢查對(duì)全部知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，還能發(fā)現(xiàn)問題，查缺補(bǔ)漏，提高復(fù)習(xí)效率，延長知識(shí)在大腦的存儲(chǔ)時(shí)間。同時(shí)也可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)性思考，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，還可以提高學(xué)生歸納總結(jié)能力。以隨機(jī)變量為例，筆者繪制的思維導(dǎo)圖，見圖3。

圖3

4 結(jié)論

本文探討了思維導(dǎo)圖在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課堂教學(xué)及課后復(fù)習(xí)的應(yīng)用，通過具體的教學(xué)案例，借助思維導(dǎo)圖改進(jìn)了傳統(tǒng)講解知識(shí)點(diǎn)的單一授課模式。從教師的教學(xué)角度講，教師借助思維導(dǎo)圖能夠?qū)⒔虒W(xué)達(dá)到事半功倍的效果。在備課過程中，運(yùn)用思維導(dǎo)圖可以幫助教師明確教學(xué)任務(wù)，重難點(diǎn)，提升教學(xué)水平。在教學(xué)過程中，可以將新知識(shí)和原有的知識(shí)很好的連貫起來，幫助教師循序漸進(jìn)地引入新課。從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度講，可以通過不同顏色、不同粗細(xì)線條的圖像吸引學(xué)生注意力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也可以幫助學(xué)生理解并掌握每個(gè)知識(shí)點(diǎn)及其它們之間的關(guān)系，提高學(xué)習(xí)效率。思維導(dǎo)圖還可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、形象化，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，形成更高階的數(shù)學(xué)思維。