■天津市咸水沽第三中學(xué) 張宗玲

2014 年教育部發(fā)布的《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》要求，把核心素養(yǎng)落實到學(xué)科教學(xué)中去，促進學(xué)生全面而有個性的發(fā)展?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出，信息技術(shù)的發(fā)展對中學(xué)數(shù)學(xué)教育的價值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式等多方面都具有很大的作用。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施，應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效性。在課堂教學(xué)中怎樣運用信息技術(shù)，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主線，將課程內(nèi)容有效地落地，并從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識落實中揭示知識背后的數(shù)學(xué)思想方法，再進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是我們一線教師不斷研究的問題。本文主要淺談一下幾何畫板在學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成中的作用。

一、縱向拉伸學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力

根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在課堂教學(xué)中促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。這就要求教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，尋找具體有效的教學(xué)方法和策略，使學(xué)生達到相應(yīng)水平的要求。數(shù)學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)概念部分的教學(xué)，要講清楚其內(nèi)涵和外延，而有些內(nèi)容對于內(nèi)涵的詮釋用語言描述清楚比較費時費力，有些學(xué)生很難想象出來，可這些內(nèi)容又是有助于學(xué)生縱向思維拉伸的關(guān)鍵點，這就需要借助于信息技術(shù)的介入，幫助學(xué)生提升思維的空間，起到事半功倍的作用。

例如：在反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)這一節(jié)課中，對于圖象的畫法以及圖象形成的過程，由于學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)和二次函數(shù)，學(xué)生對函數(shù)的作圖步驟已經(jīng)很清楚，但是由于前面兩種函數(shù)的自變量取值范圍是全體實數(shù)，決定了函數(shù)圖象的連續(xù)性，或一條直線或一條曲線。但反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的自變量取值范圍為x≠0，這樣就決定了函數(shù)圖象是間斷的、不連續(xù)的，與x軸和y軸的關(guān)系是怎樣的呢？這就需要學(xué)生的想象力來支撐。但對于初中學(xué)生來說，由于前面知識的負遷移，很容易產(chǎn)生思維障礙，出現(xiàn)各種問題：畫成折線、畫成連續(xù)的、畫成與x軸、與y 軸相交的……而利用幾何畫板的點追蹤和圖象的無限性，將無數(shù)點的發(fā)展趨勢很直觀地展現(xiàn)出來，將圖象的無限趨近于x 軸或y 軸，但不與之相交，讓學(xué)生很清晰地有了認識。這就是信息技術(shù)的強大功能，填補了思維能力較難達到的空白，助推了學(xué)生的思維向前邁了一步，使學(xué)生的空間觀念和抽象思維建立起完整的構(gòu)架。

二、橫向拉伸學(xué)生的思維，提升對幾何直觀和空間想象能力

數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)學(xué)生思維能力的學(xué)科，在課堂教學(xué)中經(jīng)常需要一題多變，一題多解來促進學(xué)生思維的橫向發(fā)展。對于數(shù)學(xué)題目之間的發(fā)展的內(nèi)在聯(lián)系，要依靠學(xué)生的想象力去發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，但是，有些規(guī)律比較隱蔽，學(xué)生單靠想象力是難以達到的，初中學(xué)生具有依靠直觀性來發(fā)展思維能力的特點，因此，就需要信息技術(shù)的力量將抽象的問題具體化，直觀化，加速學(xué)生觀察圖形、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的步伐。

問題1：已知等邊△ADE 和等邊△ABC，如圖1，當(dāng)點A、C、D三點共線時，探究下列問題：有幾對全等三角形？還有什么結(jié)論呢？如果將三角形旋轉(zhuǎn)就可以得到圖2情形下，圖1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否還成立？

圖1

圖2

利用幾何畫板的度量功能可以度量出相關(guān)的角度，度量相關(guān)線段長度，驗證線段關(guān)系的成立，從而可以驗證學(xué)生觀察、猜想出的結(jié)論的正確性，增強了學(xué)生繼續(xù)研究問題的信心，對學(xué)生的數(shù)感、幾何直觀的培養(yǎng)都起到了很好的作用。還可以利用幾何畫板的填充功能將全等三角形或等邊三角形很清晰地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，可以幫助學(xué)生比較直觀地理解數(shù)學(xué)問題，把復(fù)雜的問題簡單化、形象化，有利于解決問題的思路探索，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的幾何直觀能力和思維能力的提升。

為了進一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將問題深入探究下去，進而更加接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，因此，將本題的數(shù)學(xué)背景圖形進行改變。

問題2：將原來題目中的等邊三角形改成等腰直角三角形，如圖3，上述問題的結(jié)論，哪些依然成立？當(dāng)△ADE 繞點 A 旋轉(zhuǎn)至圖 4 時，連接 CE、BD 相交于點F，連接FA。問：圖3中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請說明理由。

圖3

圖4

利用幾何畫板將上述問題動起來，從兩個等邊三角形的特殊位置，到旋轉(zhuǎn)過程中的一般位置；從等邊三角形變形為等腰直角三角形的特殊位置，再到旋轉(zhuǎn)過程中的一般位置，讓學(xué)生充分觀察圖形之間的聯(lián)系，充分體驗圖形變化過程中，數(shù)學(xué)問題的神奇變化，學(xué)生去猜測、思考圖形在變化過程中不變因素和變化的因素。在這一探究中充分體現(xiàn)出信息技術(shù)的優(yōu)勢，使得數(shù)學(xué)問題中抽象，難以想象的問題，通過幾何畫板的強大功能，變得容易理解、容易想象了。這也符合初中學(xué)生的心理發(fā)展的特點，借助直觀發(fā)展想象。經(jīng)過幾何畫板的助力，讓學(xué)生的思維不僅增加了寬度，而且拉伸了深度，提升了學(xué)生認識數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)的思維特征——數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)。

三、揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，提升學(xué)生的空間觀念

在解決數(shù)學(xué)問題過程中，經(jīng)常會遇到有一類題無論怎樣冥思苦想，都很難發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。而直觀想象是依靠幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形的直觀性來理解和解決數(shù)學(xué)問題的思維過程。一個數(shù)學(xué)問題，只有當(dāng)把這個數(shù)學(xué)問題的直觀含義和思路想明白，才能真正解決。因此，借助于信息技術(shù)詮釋數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵，揭示其內(nèi)在的規(guī)律，是教師要用心挖掘的問題。

如圖5，已知等邊三角形ABC，邊長為a，點P 為邊BC上的點，點M為直線AC上的動點，∠MPN=90°，PM=PN，求BN的最小值。

圖5

圖6

這個數(shù)學(xué)問題是求線段最小值的問題，運用最短原理去探討最小值，關(guān)鍵是點N 的軌跡是什么不好想象，幾何畫板的點追蹤問題將此題中的本質(zhì)展示出來（如圖6），點N的運動軌跡是一條垂直于直線AC的直線，點B到軌跡直線的最小距離就是垂線段（垂足為N）BN的長度。

諸如這一類的問題，都可以用幾何畫板探究數(shù)學(xué)問題內(nèi)在所蘊含的規(guī)律，揭示事物的本質(zhì)，同時也拓展了學(xué)生思考問題的方法，將最值問題又可以提升出一種方法，點B 是固定點，點M 為直線上的動點，在三角形PMN形狀不變的條件下，考慮點N的運動軌跡是什么圖形，當(dāng)思維發(fā)展到這里，就抓住了解決問題的關(guān)鍵。幾何畫板恰恰彌補了思維有些難以達到的不足，有效地解決數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維障礙，將問題真相展示在學(xué)生面前，將學(xué)生的直觀想象和空間觀念又提升了一個高度，這就是信息技術(shù)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)帶來的驚喜。

課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主渠道，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是經(jīng)過長期的積累才能達到的。尤其在課堂中運用信息技術(shù)為學(xué)生搭建思維平臺，用信息技術(shù)助推思維向深、向?qū)拑蓚€方面發(fā)展，基于信息技術(shù)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是近幾年教育教學(xué)中不斷研究的課題，教師對信息技術(shù)的有效運用，使得學(xué)生在掌握知識的同時，更加關(guān)注依附在知識之上的數(shù)學(xué)思想方法，最終實現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)的提升，也是今后數(shù)學(xué)教學(xué)中恒抓不懈的課題。