劉 悅，張佳梁，趙利娟，甄子洋

(1. 南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 211106； 2. 上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

隨著反導(dǎo)技術(shù)的不斷發(fā)展，單個導(dǎo)彈很難成功突破敵方攔截網(wǎng)絡(luò),導(dǎo)彈對目標(biāo)的毀傷能力受到了極大限制，多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的概念隨之產(chǎn)生。參考自然界中生物的集群現(xiàn)象,比如狼群圍捕獵物,斑馬聚集產(chǎn)生視覺效果以抵御天敵等[1]。在協(xié)同作戰(zhàn)中，通過多枚導(dǎo)彈在空間位置相互配合協(xié)作，達到提高突防概率、目標(biāo)捕獲能力和抗干擾能力等目的，從而保證每枚導(dǎo)彈在復(fù)雜且無常的未來戰(zhàn)場上實現(xiàn)精確制導(dǎo)并配合群體中其他導(dǎo)彈完成多種作戰(zhàn)任務(wù)[2]。因此，協(xié)同制導(dǎo)策略可以極大地提升導(dǎo)彈突防概率和毀傷概率。實現(xiàn)多導(dǎo)彈系統(tǒng)協(xié)同攻擊，要求參與協(xié)同制導(dǎo)任務(wù)的多枚導(dǎo)彈可以從不同方向同時到達目標(biāo)，協(xié)同制導(dǎo)律作為多導(dǎo)彈系統(tǒng)協(xié)同作戰(zhàn)的核心，直接影響著制導(dǎo)精度以及協(xié)同制導(dǎo)的效果，這對多導(dǎo)彈系統(tǒng)的制導(dǎo)律提出了更高的要求[3]。

當(dāng)前針對多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)律的研究仍然處于起步階段，主要針對靜止或低速目標(biāo)的單約束協(xié)同制導(dǎo)律開展研究。近年來，在多約束協(xié)同制導(dǎo)律方面也有了一定的研究成果。2007年，Jeon等在文獻[4]中提出了一種同時具有期望攻擊角度以及時間約束的協(xié)同導(dǎo)引方法(impact-time-and-angle-control guidance，ITACG)。文獻[4]對彈目相對運動進行歸一化，以文獻[3]中的導(dǎo)引律為底層導(dǎo)引律，利用模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃(model predictive static programming，MPSP)法對初狀態(tài)估計進行調(diào)整并修正末狀態(tài)預(yù)測量。文獻[5]將多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型沿視線方向分解為兩個子系統(tǒng)。通過一致性理論和非奇異終端滑?？刂品椒?，設(shè)計了具有角度約束的協(xié)同方法。文獻[6]在三維空間內(nèi)基于最優(yōu)控制理論和滑?？刂评碚撛O(shè)計了一種可以同時控制時間和攻擊角度的制導(dǎo)律。文獻[7]基于非奇異終端滑模控制方法，提出了一種能夠同時控制時間和攻擊角度的制導(dǎo)律。文獻[8]基于二階滑模理論，通過反演法限制視線角速率變化軌跡的方法實現(xiàn)了多約束協(xié)同制導(dǎo)。文獻[9]使用反步法，提出了一種新的二階滑模控制方法，滿足碰撞時間和角度的限制。

多約束協(xié)同制導(dǎo)律可以在一定程度上提高單枚導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部效能及毀傷效果，多枚導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)可以在戰(zhàn)術(shù)上提高突防概率，實現(xiàn)群體作戰(zhàn)效能最大化。本文將針對二維平面內(nèi)制導(dǎo)問題，對彈目相對運動關(guān)系進行建模，結(jié)合二階滑模控制理論和反演法，選取保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的二階滑模面，設(shè)計期望攻擊角度變化軌跡，得到一種具有多約束條件的協(xié)同制導(dǎo)方法。

1 彈目相對運動數(shù)學(xué)建模

由于三維空間導(dǎo)彈和目標(biāo)之間運動關(guān)系復(fù)雜，需要在多個坐標(biāo)系之間進行數(shù)值轉(zhuǎn)換。偏航平面和俯仰平面兩者存在一定耦合關(guān)系，為簡化處理，選取偏航平面對其進行解耦，在二維平面內(nèi)建立彈目相對運動關(guān)系，如圖1所示。作出以下假設(shè)：①認(rèn)為導(dǎo)彈和目標(biāo)是質(zhì)點，忽略導(dǎo)彈和目標(biāo)形狀以及四周復(fù)雜環(huán)境干擾；②導(dǎo)彈及目標(biāo)運動速度大小保持不變；③橫側(cè)向加速度方向垂直于速度方向，用于改變速度方向，為有界控制輸入。

圖1 彈目相對運動關(guān)系Fig.1 Relative motion relationship of the missile and target

假設(shè)有i枚導(dǎo)彈，當(dāng)目標(biāo)為運動狀態(tài)時，彈目相對運動數(shù)學(xué)關(guān)系為

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：i代表第i枚導(dǎo)彈；θmi、θt分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)的彈道傾角；qi為目標(biāo)視線角；vmi、vt分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)的速度；ri為彈目距離；ami、at分別為導(dǎo)彈、目標(biāo)的橫側(cè)向加速度。

上述彈目相對運動方程以時間t作為變量。為了方便實現(xiàn)時間約束，將導(dǎo)彈橫坐標(biāo)位置xi作為變量，獲得彈目相對運動方程

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中，當(dāng)導(dǎo)彈和目標(biāo)之間距離較近時，ri取值較小，此時目標(biāo)視線角速率變化范圍較大。為了防止目標(biāo)視線角出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，應(yīng)將脫靶率限制在一定范圍內(nèi)；同時，由于導(dǎo)彈速度遠大于目標(biāo)速度，可保證目標(biāo)視線角不會出現(xiàn)突變。為了對制導(dǎo)時間和攻擊角度進行約束，設(shè)置各導(dǎo)彈初始條件及期望制導(dǎo)時間和期望攻擊角度約束條件如下：

yi(xi0)=yi0;t(xi0)=0;θ(xi0)=θi0

(10)

y(xt)=yt;t(xt)=td;θ(xt)=θdi

(11)

2 多約束協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

滑?？刂剖且环N具有結(jié)構(gòu)簡單、響應(yīng)速度快、魯棒性能好等優(yōu)點并且適用于非線性系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制方法[10]。為了改善經(jīng)典滑模控制系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，提出了高階滑?？刂频母拍頪11]。為了減少高階滑模計算復(fù)雜度，利用反演法對二階滑模面進行設(shè)計。反演法利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，確保每一個滑模面都是漸近穩(wěn)定的，從而保證由多個子系統(tǒng)組成的完整系統(tǒng)是穩(wěn)定的[12]。

下面采用二階滑?？刂品椒▉碓O(shè)計具有角度和時間約束下的協(xié)同制導(dǎo)。

2.1 期望視線角指令

期望目標(biāo)視線角以及期望目標(biāo)視線角速率隨xi的變化軌跡設(shè)計為[9]

(12)

(13)

使其滿足在約束時間內(nèi)以期望角度對目標(biāo)攻擊的條件，故初始條件為

(14)

終端條件為

(15)

將式(14)～(15)代入式(12)～(13)求得系數(shù)b、c、d、e分別為

(16)

(17)

(18)

(19)

式中，系數(shù)b、c、d、e都與a相關(guān)。為了保證期望攻擊時間，設(shè)置一定步長對a進行循環(huán)迭代，通過多次調(diào)節(jié)a的大小，得到制導(dǎo)時間隨a的變化曲線，獲得期望制導(dǎo)時間下最優(yōu)的a值。

2.2 二階滑?？刂?/h3>

考慮建立如下滑模面

si=qi-qdi

(20)

求導(dǎo)可得

(21)

為了使滑模面si趨近于零，選擇李雅普諾夫函數(shù)

(22)

其導(dǎo)數(shù)為

(23)

(24)

進而得到

(25)

(26)

求導(dǎo)可得

(27)

為了保證在有限時間內(nèi)讓s2i收斂到零，選擇李雅普諾夫函數(shù)

(28)

求導(dǎo)可得

(29)

對式(21)求導(dǎo)可得

(30)

由式(1)求導(dǎo)可得視線角的二階導(dǎo)數(shù)為

(31)

提取式(31)中與目標(biāo)運動狀態(tài)相關(guān)的項，整合后看作干擾項，即

(32)

由式(13)求導(dǎo)得出期望視線角的二階導(dǎo)數(shù)為

(33)

將式(31)～(33)代入式(30)得到

(34)

(35)

式中：ζ為正數(shù)；|εmax|為外界干擾項最大上界；sat(·)為飽和函數(shù)，代替?zhèn)鹘y(tǒng)開關(guān)函數(shù)，避免系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。

該制導(dǎo)律可以滿足V2負(fù)定，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，同時又能夠保證導(dǎo)彈在制導(dǎo)過程中完成以期望攻擊角度對目標(biāo)進行打擊的任務(wù)。

為了保證導(dǎo)彈在具有時間約束的情況下完成制導(dǎo)任務(wù)，通過調(diào)節(jié)a值來實現(xiàn)制導(dǎo)時間誤差(t-td)取最小值。一般選取期望制導(dǎo)時間td大于純比例制導(dǎo)律時的制導(dǎo)時間，但是當(dāng)td過大時，會發(fā)生脫靶率較大的情況。因此，可以通過對a值進行迭代來獲得期望制導(dǎo)時間的設(shè)置范圍。

3 仿真結(jié)果分析

為了對上述協(xié)同制導(dǎo)律進行驗證，分別針對靜止目標(biāo)和運動目標(biāo)兩種不同情況進行仿真。

3.1 對靜止目標(biāo)協(xié)同制導(dǎo)

在目標(biāo)靜止情況下對制導(dǎo)律進行仿真驗證。各導(dǎo)彈橫側(cè)向加速度限制為80 m/s2，導(dǎo)彈和目標(biāo)初始運動狀態(tài)如表1所示，期望制導(dǎo)時間和期望打擊角度如表2所示。圖2為彈目相對運動軌跡，其中“○”表示導(dǎo)彈，“☆”表示目標(biāo)。圖3繪制了制導(dǎo)過程中導(dǎo)彈橫側(cè)向加速度隨時間變化的曲線。圖4繪制了導(dǎo)彈目標(biāo)視線角隨時間變化的曲線。圖5繪制了導(dǎo)彈速度傾角隨時間變化的曲線。仿真結(jié)果見表4。

表1 導(dǎo)彈和目標(biāo)初始狀態(tài)Tab.1 Initial state of missile and target

表2 協(xié)同參數(shù)設(shè)置Tab.2 Cooperative guidance parameter setting

表3 制導(dǎo)律參數(shù)設(shè)置Tab.3 Guidance law parameter setting

圖2 彈目相對運動軌跡(靜止目標(biāo))Fig.2 Relative motion trajectory of each missile(static target)

圖3 導(dǎo)彈橫側(cè)向加速度(靜止目標(biāo))Fig.3 The lateral acceleration of each missile(static target)

圖4 導(dǎo)彈目標(biāo)視線角(靜止目標(biāo))Fig.4 LOS angle of each missile(static target)

圖5 導(dǎo)彈速度傾角(靜止目標(biāo))Fig.5 The velocity angle of each missile(static target)

表4 仿真結(jié)果Tab.4 The simulation results

由圖2～5可以看出，在橫側(cè)向加速度限制范圍內(nèi),兩枚導(dǎo)彈可以完成具有時間約束和角度約束的制導(dǎo)任務(wù)。由表4可以看出兩枚導(dǎo)彈的脫靶率較小，基本可以在期望制導(dǎo)時間點上對目標(biāo)進行打擊，期望攻擊角度誤差較小。

3.2 對運動目標(biāo)協(xié)同制導(dǎo)

當(dāng)目標(biāo)為運動狀態(tài)時，對制導(dǎo)律進行仿真驗證。導(dǎo)彈和目標(biāo)初始狀態(tài)信息、協(xié)同參數(shù)及制導(dǎo)律參數(shù)設(shè)置如表5～7所示。圖6繪制了彈目相對運動軌跡，其中“○”表示導(dǎo)彈，“☆”表示目標(biāo)。圖7繪制了導(dǎo)彈橫側(cè)向加速度隨時間變化的曲線。圖8繪制了導(dǎo)彈目標(biāo)視線角隨時間變化的曲線。圖9繪制了速度傾角隨時間變化的曲線。仿真結(jié)果見表8。

表5 導(dǎo)彈和目標(biāo)初始狀態(tài)Tab.5 Initial state of missile and target

表6 協(xié)同參數(shù)設(shè)置Tab.6 Cooperative guidance parameter setting

表7 制導(dǎo)律參數(shù)設(shè)置Tab.7 Guidance law parameter setting

圖6 彈目相對運動軌跡(運動目標(biāo))Fig.6 Relative motion trajectory of each missile(moving target)

圖7 導(dǎo)彈橫側(cè)向加速度(運動目標(biāo))Fig.7 The lateral acceleration of each missile(moving target)

圖8 導(dǎo)彈目標(biāo)視線角(運動目標(biāo))Fig.8 LOS angle of each missile(moving target)

圖9 導(dǎo)彈速度傾角(運動目標(biāo))Fig.9 The velocity angle of each missile(moving target)

表8 仿真結(jié)果Tab.8 The simulation results

由圖6～9可知，當(dāng)目標(biāo)為運動狀態(tài)時，目標(biāo)視線角和速度傾角都在制導(dǎo)末階段成功收斂到20°和-15°，且兩枚導(dǎo)彈橫側(cè)向加速度在限制范圍-80～80 m/s2內(nèi)完成制導(dǎo)任務(wù)。由表8可知，在目標(biāo)運動狀態(tài)下，脫靶率小于10 m，制導(dǎo)時間誤差小于0.1 s，攻擊角度誤差較小，即兩枚導(dǎo)彈都可以在期望時間節(jié)點以期望角度打擊目標(biāo)。

4 結(jié)束語

本文提出了一種多約束協(xié)同制導(dǎo)律，針對具有制導(dǎo)時間和攻擊角度約束的制導(dǎo)問題，基于二階滑?？刂评碚撛O(shè)計了期望目標(biāo)視線角變化軌跡，保證多枚導(dǎo)彈以期望角度攻擊的同時實現(xiàn)攻擊時間的協(xié)同。為了保證系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，利用反演法選取二階滑模面，通過引入飽和函數(shù)有效改善系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。由于獲取目標(biāo)運動狀態(tài)信息比較困難，將控制量中與目標(biāo)運動狀態(tài)信息有關(guān)的量視為外界環(huán)境干擾，使得目標(biāo)在靜止或運動狀態(tài)下導(dǎo)彈都可以完成制導(dǎo)任務(wù)。通過仿真驗證了該二階滑模制導(dǎo)律可以在一定的橫側(cè)向加速度限幅范圍內(nèi)實現(xiàn)制導(dǎo)時間和攻擊角度的協(xié)同制導(dǎo)。仿真結(jié)果表明，脫靶率、時間誤差和角度誤差均較小。兩枚導(dǎo)彈同時以不同的攻擊角度對目標(biāo)進行攔截包圍，可以較好地完成協(xié)同任務(wù)，進一步提高作戰(zhàn)成功概率，降低目標(biāo)反導(dǎo)系統(tǒng)的防御能力。