楊 雄

(婁底職業(yè)技術(shù)學院,湖南 婁底 417000)

基本初等函數(shù)可用導數(shù)的定義求導,但一般初等函數(shù)的導數(shù)利用導數(shù)定義求導比較困難,因此需要建立基本導數(shù)公式及求導法則擴大基本導數(shù)公式的適用范圍,進而有函數(shù)的和、差、積、商的求導法則,并且通過求導法則可得出一些初等函數(shù)的求導公式,使得有能力求出所有的初等函數(shù)的導數(shù)。在教學中發(fā)現(xiàn)在求解函數(shù)積的導數(shù)時,有它的一些規(guī)律性,對其進行探索,發(fā)現(xiàn)一些有用的結(jié)論,對教學和學習提供幫助。

一、函數(shù)乘積的一階導數(shù)

法則1 設u(x)在x處可導,則u2(x)在x處可導,且(u2)′=2uu′.

u′(x)·2u(x)=2uu′

法則2[1]設u(x),v(x)都在x處可導,則u(x)v(x)在x處可導,且(uv)′=u′v+uv′.即兩個可導函數(shù)乘積的導數(shù)等于第一個因子的導數(shù)與第二個因子的乘積,加上第一個因子與第二個因子的導數(shù)乘積。

u′v+uv′.

法則3 設u(x),v(x),w(x)都在x處可導,則u(x)v(x)w(x)在x處可導,且(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′.可以推廣到n個函數(shù)的乘積的形式,即

例1 求y=(x2+1)(ex+sinx)的導數(shù)。

分析此類題,當然首先可以因式展開,再用基本初等函數(shù)求導公式求解,但如果因式較多,那么在展開的過程中計算量大。因此從前面的積的求導法則可以看出,積的求導一般不需要展開,直接用積求導法則求解。

解y′=(x2+1)′(ex+sinx)+(x2+1)(ex+sinx)′=2x(ex+sinx)+(x2+1)(ex+cosx)

二、函數(shù)乘積的高階導數(shù)

(一)Leibniz公式及證明

設u(x),v(x)在x處存在n階導數(shù),則u(x)v(x)在x處也存在n階導數(shù),且

設n時公式成立,則n+1時公式也成立:

即Leibniz公式成立。

(二)Leibniz公式在求導中的應用

例2 求(x2sinx)(80).

解因(x2-1)n=(x-1)n(x+1)n,故

2n·n!Pn(x)=[(x-1)n(x+1)n](n)=

((x+1)n)′+…+(x-1)n((x+1)n)(n).

當x=1時,((x-1)n)(k)=0(k=0,1,…,n-1)以及((x-1)n)(n)=n!,因此

2nn!Pn(1)=n!·(1+1)n=2nn!,

即Pn(1)=1.類似可計算得Pn(-1)=(-1)n.

三、函數(shù)積的導數(shù)公式其他形式

函數(shù)的積的導數(shù)其他表現(xiàn)形式其實質(zhì)與Leibniz公式是一致的。這些式子表現(xiàn)出完美的對稱性,體現(xiàn)出數(shù)學美,進而學習過程中賞心悅目,也能很好記憶。

(一)函數(shù)一階導數(shù)的其他形式

設u=u(x)≠0,v=v(x)≠0,w=w(x)≠0,且在定義域內(nèi)任意x處都可導,則有

分析此題可以直接應用商的求導法則求解,這里應用積求導的對稱式來求解,可以體會到數(shù)學對稱式的美感。

解

(二)函數(shù)積的二階導數(shù)的其他形式

設u=u(x)≠0,v=v(x)≠0,w=w(x)≠0,且在x處都可導,則有

(2)

(uvw)″=

例5 求x2ex的二階導數(shù)。

分析可以先求一階導數(shù),再求二階導數(shù),這里直接應用積的二階導數(shù)的對稱式求解,感覺解題過程是多么的和諧舒暢。

解

(2+4x+x2)ex

四、函數(shù)乘積的求導法則在其他方面的應用

(一)推導分部積分法的應用

(二)在求解微分方程中的應用

例6 已知微分方程為xy′+y=ex,求通解。

(三)在求解定積分中的應用

分析:可作為一個求導法則以及定積分方面的問題求解,基本思路是:首先將求函數(shù)lnx的定積分的問題,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的差的定積分問題,再根據(jù)積的求導法則可知(xlnx)'=lnx+1,從而可知求函數(shù)lnx的定積分的問題,進而可以轉(zhuǎn)化為求(xlnx)'的定積分與常數(shù)1的定積分的問題,然后問題得到了解決。當然此種解法,只是提供了求積分的另外一種思考方式,開闊思維,其實質(zhì)解題過程是分部積分法。

五、結(jié)論

求解函數(shù)積的導數(shù),一是要理解記憶積的求導法則,解題的基本功還是初等函數(shù)的求導公式,因此對一些常用的求導公式要熟悉,要能準確應用;二是通過對積的求導知識的積累和深入理解,進而達到靈活運用積的求導法則,實現(xiàn)選擇最優(yōu)方法解題。