邵向鑫,王有朋,張笑鳴,于 鑫,江 虹

(長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130012)

1 引 言

對(duì)于大容量FBG傳感網(wǎng)絡(luò)測(cè)量系統(tǒng)來(lái)說(shuō),在采集光纖光柵傳感信號(hào)的過(guò)程中通常會(huì)伴隨噪聲干擾,特別是光路連接處和閑置的尾端等光纖端面產(chǎn)生的固有反射而引起FBG反射光產(chǎn)生的干涉噪聲,另外解調(diào)系統(tǒng)固有的電子學(xué)噪聲也會(huì)為光纖光柵信號(hào)的解調(diào)帶來(lái)不利影響,如何最大限度的去除噪聲,提高波長(zhǎng)分辨率,保持解調(diào)信號(hào)的精確性和穩(wěn)定性至關(guān)重要[1-4]。經(jīng)常用到的去噪方法有很多種,比如:典型的盲源分離法、獨(dú)立分量分析方法,但由于這些去噪方法在變換后的熵也相應(yīng)的增加,嚴(yán)重影響了信號(hào)本身具有的穩(wěn)定特性,而由于小波閾值去噪后重構(gòu)的熵值較低,本文決定采用小波閾值的方法進(jìn)行去噪。

Donoho教授于1995年提出非常著名的軟硬閾值去噪法[5-9],其優(yōu)點(diǎn)主要表現(xiàn)為易于實(shí)現(xiàn),運(yùn)算簡(jiǎn)單,且變換后能夠降低熵值,但是在實(shí)踐應(yīng)用中該方法仍然存在不足和缺陷。對(duì)于硬閾值函數(shù),為了保證其與真實(shí)小波系數(shù)的精確度,犧牲函數(shù)的連續(xù)性而誘發(fā)震蕩,學(xué)術(shù)界將此現(xiàn)象稱之為偽吉布斯效應(yīng)。而軟函數(shù)連續(xù)性雖然優(yōu)于硬函數(shù),但是用其處理含噪信號(hào)的本質(zhì)是增大了門(mén)限值,這會(huì)使處理前后小波系數(shù)間產(chǎn)生恒定的門(mén)限值誤差,降低原始信號(hào)的還原度。

雖然在文獻(xiàn)[10]～[14]中,王蓓、栗明等構(gòu)造的閾值函數(shù)在整個(gè)小波域上是連續(xù)的,但是在與真實(shí)小波系數(shù)的逼近程度上仍然不準(zhǔn)確。本文基于傳統(tǒng)閾值函數(shù)基礎(chǔ)上提出改進(jìn)的小波閾值函數(shù),該函數(shù)介于兩種傳統(tǒng)函數(shù)之間,憑借半軟閾值因子β來(lái)減小與真實(shí)小波系數(shù)之間的恒定誤差,而調(diào)節(jié)因子μ能夠?qū)崿F(xiàn)函數(shù)向軟、硬閾值函數(shù)的轉(zhuǎn)變,相比于軟、硬閾值函數(shù),含噪信號(hào)利用本文提出的新閾值函數(shù)處理后,能夠獲得明顯改善。

2 小波閾值去噪的過(guò)程及閾值函數(shù)

2.1 小波閾值去噪的過(guò)程

假設(shè)含噪信號(hào)的表達(dá)式如下:

s(t)=f(t)+n(t)

(1)

對(duì)s(t)作小波變換,則:

ωs(j,k)=ωf(j,k)+ωn(j,k),j=0,1,…,J,k=0,1,…,N

(2)

式中,s(t)、f(t)和n(t)分別代表含噪信號(hào)、初始無(wú)噪信號(hào)和噪聲信號(hào)。其中n(t)可被視為方差σ2的高斯白噪聲,滿足正態(tài)分布N(0,σ2)規(guī)律,ωj,k對(duì)應(yīng)信號(hào)在第j層下的小波系數(shù)；J和N分別表示最大的分解層數(shù)以及信號(hào)長(zhǎng)度。

一般地,有用信號(hào)f(t)具有連續(xù)性,這種特性主要表現(xiàn)在空間和時(shí)域上。相比較而言n(t)卻不具有連續(xù)性。學(xué)術(shù)界認(rèn)為噪聲生成小波系數(shù)的模值比原信號(hào)生成的模值小,將其同閾值對(duì)比,如果模值大于閾值,則認(rèn)為是原始信號(hào)產(chǎn)生的小波系數(shù),可采取保留操作；如果前者小于后者,則視為噪聲產(chǎn)生的小波系數(shù),將其默認(rèn)為0并摒棄,考慮到這一點(diǎn),要求實(shí)際去噪過(guò)程中必須明確閾值范圍,防止閾值選取過(guò)大或過(guò)小給去噪效果的精確性帶來(lái)不利影響,閾值處理后將進(jìn)入重構(gòu)環(huán)節(jié),通常該環(huán)節(jié)又被叫做小波逆變換。整個(gè)過(guò)程流程具體見(jiàn)圖1所示。

圖1 小波閾值去噪原理

2.2 閾值函數(shù)

本文提到的閾值函數(shù)指的是Donoho教授提出的軟、硬閾值函數(shù),硬閾值函數(shù)的算法原理是:將其中比閾值高的小波系數(shù)ωj,k保留下來(lái),而低于閾值的則視為0,函數(shù)的表達(dá)式以及圖像具體如下所示:

(3)

從圖2中能夠看出:硬閾值函數(shù)±λ處并不具有連續(xù)性,導(dǎo)致信號(hào)重構(gòu)過(guò)程中產(chǎn)生震蕩,通常將這種現(xiàn)象叫做偽吉布斯效應(yīng)。

圖2 硬閾值函數(shù)示意圖

軟閾值函數(shù)算法原理是:將模值比閾值高的ωj,k按照閾值縮減,可有效解決函數(shù)不連續(xù)的問(wèn)題,但這種解決辦法會(huì)帶來(lái)恒定偏差。函數(shù)的表達(dá)式以及圖像具體如下所示:

(4)

圖3 軟閾值函數(shù)示意圖

3 可調(diào)節(jié)半軟閾值函數(shù)的構(gòu)建

3.1 算法實(shí)現(xiàn)

針對(duì)兩種傳統(tǒng)函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的優(yōu)勢(shì)和劣勢(shì)展開(kāi)分析后,本文提出了新的函數(shù),該函數(shù)加入了調(diào)節(jié)因子和半軟閾值因子μ和β,其表達(dá)式見(jiàn)下:

(5)

圖4 新閾值函數(shù)示意圖

3.2 對(duì)構(gòu)造的新閾值函數(shù)的分析

(1)新閾值函數(shù)的連續(xù)性

當(dāng)ωj,k→λ時(shí),

(6)

故:

(7)

同理:

(8)

綜上所述,本文構(gòu)造的新函數(shù)在±λ均連續(xù),新函數(shù)的連續(xù)性表明改進(jìn)的閾值函數(shù)能夠避免吉布斯震蕩的產(chǎn)生。

(2)新閾值函數(shù)的漸進(jìn)性

故1-μ=1

(9)

(3)新函數(shù)的偏差性

(10)

(11)

綜上所述:

因此,從數(shù)學(xué)角度的分析,調(diào)節(jié)因子μ的引進(jìn)使新的閾值函數(shù)具備靈活可變的特點(diǎn),當(dāng)ωj,k→±λ時(shí),新函數(shù)在±λ處具有連續(xù)性,有效地規(guī)避了硬閾值函數(shù)不連續(xù)的缺點(diǎn)；而隨著ωj,k取值越大,其與真實(shí)小波系數(shù)恒定偏差越小,在極限的情況下偏差消失。

4 仿真與分析

表4 三種閾值函數(shù)處理Doppler含噪信號(hào)后的信噪比和均方根誤差對(duì)比

對(duì)圖5～圖8分析可知,相比于軟、硬閾值函數(shù),含噪信號(hào)利用本文提出的新閾值函數(shù)處理后,能夠獲得更優(yōu)良的效果,圖像中的曲線更平滑且圖中陰影部分更少,而從表1～4上展開(kāi)比較,“blocks”的含噪信號(hào)經(jīng)本文閾值函數(shù)去噪后,信噪比(SNR)相比于軟、硬閾值函數(shù)分別提高了0.8866 dB、5.6824 dB,均方根誤差(RMSE)相比于軟硬閾值函數(shù)分別降低了0.1924、0.0255。相應(yīng)的“bumps”的去噪信號(hào)信噪比(SNR)分別提高了1.2492 dB、1.5735 dB,均方根誤差(RMSE)相比于軟硬閾值函數(shù)分別降低了0.2433、0.0221；“heavy sine”的去噪信號(hào)信噪比(SNR)相比于軟、硬閾值函數(shù)分別提高了1.4352 dB、1.5003 dB；均方根誤差(RMSE)分別降低了0.1137、0.1954；“Doppler”的去噪信號(hào)信噪比(SNR)相比分別提高了0.5660 dB、0.9728 dB,均方根誤差(RMSE)分別降低了0.1169、0.4283,以上數(shù)據(jù)表明:含噪信號(hào)在經(jīng)過(guò)本文構(gòu)建的閾值函數(shù)去噪后,具有更高的信噪比以及更低的均方根誤差,因此本文構(gòu)建的閾值函數(shù)去噪效果更優(yōu)良。

圖5 幾種閾值函數(shù)對(duì)blocks信號(hào)的處理對(duì)比

圖6 幾種閾值函數(shù)對(duì)bumps信號(hào)的處理對(duì)比

圖7 幾種閾值函數(shù)對(duì)heavy sin信號(hào)的處理對(duì)比

圖8 幾種閾值函數(shù)對(duì)Doppler信號(hào)的處理對(duì)比

表1 三種閾值函數(shù)處理block含噪信號(hào)后的信噪比和均方根誤差對(duì)比

表2 三種閾值函數(shù)處理bumps含噪信號(hào)后的信噪比和均方根誤差對(duì)比

表3 三種閾值函數(shù)處理heavy sine含噪信號(hào)的信噪比和均方根誤差對(duì)比

5 結(jié) 論

本文首先介紹了小波閾值去噪算法的原理及步驟,分析了軟硬閾值函數(shù)各自的優(yōu)勢(shì)和缺點(diǎn),在兼顧優(yōu)點(diǎn)的前提下改進(jìn)了缺點(diǎn),進(jìn)而提出了一類新的閾值函數(shù),該函數(shù)在調(diào)節(jié)因子的作用下可以完成向軟、硬閾值函數(shù)的轉(zhuǎn)變,并且在半軟閾值因子的作用下降低了誤差。最后通過(guò)Matlab仿真可得,本文生成的四種含噪信號(hào)采用新閾值函數(shù)去噪后,信噪比(SNR)相比于軟、硬閾值函數(shù)均有所提高,平均提升了0.1034 dB、2.4327 dB,而均方根誤差(RMSE)相比于軟硬閾值函數(shù)均有所降低,平均降低了0.1665、0.1687,仿真結(jié)果表明,本文構(gòu)造的新閾值函數(shù)具有可行性,該方法對(duì)光纖傳感網(wǎng)絡(luò)解調(diào)系統(tǒng)FBG信號(hào)的提取、提高波長(zhǎng)檢測(cè)精度、準(zhǔn)確尋找波峰位置及降低尋峰誤差具有良好的應(yīng)用價(jià)值。