王成強(qiáng)

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130)

引言

研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)科目中的試題，集甄別選拔功能、命題標(biāo)準(zhǔn)示范、教學(xué)引導(dǎo)等功能于一身.因此，考研中的數(shù)學(xué)問題往往是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和教授數(shù)學(xué)的重要素材[1].不定積分理論是大學(xué)數(shù)學(xué)最重要部分之一[2-3]，與之相關(guān)的問題的解題思路靈活，結(jié)構(gòu)多變，能很好地檢測出學(xué)習(xí)者對大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，能很好地把握學(xué)習(xí)者開展后續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.因此，在諸如大學(xué)數(shù)學(xué)的期末考試、考研數(shù)學(xué)考試、大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽等各類考試中，都會(huì)出現(xiàn)不定積分相關(guān)問題的身影[4-6].對典型不定積分問題開展一題多解的研究，能加深教師對該類問題的認(rèn)識(shí)，從而將問題從不同視角展示給學(xué)生，進(jìn)而能幫助教師改善課程教學(xué)效果[7].本文旨在對一道不定積分考研試題進(jìn)行一題多解研究，該不定積分問題是2018年中國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)(一)與(二)的試卷中的第三題中的第1 小題(全卷第15小題)，完整內(nèi)容表述如下：

文獻(xiàn)[8]給出了問題(*)的5種解答方法，文獻(xiàn)[9]給出了問題(*)的6種解答方法.本文擬給出問題(*)的12種解答方法，以期為大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的不定積分理論的學(xué)習(xí)與講授帶來更多思考.本文的研究結(jié)果在很大程度上補(bǔ)充了文獻(xiàn)[8] [9]研究的結(jié)果.

1 問題(*)的12種解法

從解法1的思路可看出，問題(*)考查的是常規(guī)知識(shí)點(diǎn).解法1能幫助學(xué)生加深對問題(*)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).解法1的求解思路可簡要描述為微分恒等式

解法8 主要利用分部積分，有

解法8的解題思路來自官方參考答案，它充分利用了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，因此，基于該方法的求解過程相對于其他方法的求解過程而言最為簡潔.在官方參考答案(見文獻(xiàn)[8]的解法4，文獻(xiàn)[9]的解法1)具體步驟中分部積分法的用法如下：

在本文解法8中分部積分法的用法如下：

解法9 首先得到微分恒等式

利用分部積分法，有

于是

解法9 與解法8的求解思路相似，想法都是利用分部積分法.在解法9解答過程中，下述步驟最關(guān)鍵：

解法10 主要借助于分部積分法，有

于是

解法10 與解法8、9的求解思路相似，想法都是利用分部積分法.在解法10解答過程中，下述步驟最關(guān)鍵：

解法8、9及10中思路的更多應(yīng)用可參見文獻(xiàn)[4-6].

解法11 經(jīng)開展微分運(yùn)算可發(fā)現(xiàn)，有

換言之，有

于是有

為求出待定參數(shù)c1，c2與c3，對上述等式兩端同時(shí)求導(dǎo)，得

解法12借助于待定系數(shù)的想法計(jì)算不定積分，受到解法11的解答過程的啟發(fā)與參考文獻(xiàn)[8]中的解法5用到的求解思路有異曲同工之妙.除換元積分法、分部積分法之外，待定系數(shù)法在求解不定積分的有關(guān)問題中有獨(dú)特的作用.

2 解法的比較分析

3 結(jié)語

本文對2018年中國碩士研究生入學(xué)考試試卷中的一道不定積分題分別給出基于整體代換法、換元積分法、分部積分法的12種解法，它們將問題(*)從不同側(cè)面展示在讀者面前，能加深讀者對問題(*)的理解，從而引發(fā)人們對不定積分理論的學(xué)習(xí)與教學(xué)更多的思考.

于是